控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析課件

第4章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析4.1穩(wěn)定性的基本概念4.2勞思-赫爾維茨判據(jù)4.3Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)4.4穩(wěn)定性裕量1940年，美國(guó)華盛頓州的塔科瑪峽谷上花費(fèi)640萬(wàn)美元，建造了一座主跨度853.4米的懸索橋。只要有風(fēng)，這座大橋就會(huì)晃動(dòng)。建成4個(gè)月后，于同年11月7日碰到了一場(chǎng)風(fēng)速為19米/秒的風(fēng)。風(fēng)不算大，但橋卻發(fā)生了劇烈的扭曲振動(dòng)，且振幅越來(lái)越大（接近9米），直到橋面傾斜到45度左右，使吊桿逐根拉斷導(dǎo)致橋面鋼梁折斷而塌毀，墜落到峽谷之中。原因：流體對(duì)物體會(huì)產(chǎn)生一個(gè)周期性的交變橫向作用力，如果力的頻率與物體的固有頻率相接近,引起共振,使物體損壞。

第4章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析4.1穩(wěn)定性的基本概念4.2勞思-赫爾維茨判據(jù)4.3Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)4.4穩(wěn)定性裕量(a)穩(wěn)定(b)不穩(wěn)定穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入無(wú)關(guān)。4.1穩(wěn)定性的基本概念自動(dòng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)特征方程的根全部具有負(fù)實(shí)部，即:閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)全部在S平面左半部。設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：假設(shè)系統(tǒng)特征方程的根中有K個(gè)實(shí)根，2k個(gè)共軛復(fù)根在理想脈沖函數(shù)作用下，當(dāng)t>0時(shí)，r(t)=0,對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，時(shí)輸出量c(t)=0。如果pi和i均為負(fù)值,當(dāng)t時(shí),c(t)0，系統(tǒng)穩(wěn)定。此時(shí)R(s)=1第4章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析4.1穩(wěn)定性的基本概念4.2勞思-赫爾維茨判據(jù)4.3Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)4.4穩(wěn)定性裕量特點(diǎn)：無(wú)需求解特征根，直接通過(guò)特征方程的系數(shù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。勞思(routh)判據(jù)赫爾維茨(Hurwitz)判據(jù)4.2勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)不受系統(tǒng)階數(shù)限制，如不穩(wěn)定還能判斷有幾個(gè)根在s平面的右半部分。只適用于低階系統(tǒng)。勞思(routh)判據(jù)赫爾維茨(Hurwitz)判據(jù)4.2勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)如果符號(hào)相同系統(tǒng)具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)等于零系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號(hào)不同符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有的正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)系統(tǒng)不穩(wěn)定?？刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：勞思陣列第一列元素不改變符號(hào)?！暗谝涣兄懈鲾?shù)”注：通常a0>0，因此，勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以簡(jiǎn)述為勞斯陣列表中第一列的各數(shù)均大于零。勞思(routh)判據(jù)4.2.1勞思(routh)判據(jù)已知：特征方程如下

例1：判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性

所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定，具有兩個(gè)正實(shí)根。例3：

特殊情況1：第一列出現(xiàn)0

特殊情況2：某一行元素均為04.2.2勞思(routh)判據(jù)的特殊情況各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)用任意小正數(shù)代之

特殊情況1：第一列出現(xiàn)0S2行第一列出現(xiàn)0，說(shuō)明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)（不穩(wěn)定），如要再求有幾個(gè)正實(shí)部特征根，其解決方法：全0行的上一行元素構(gòu)成輔助方程各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)求導(dǎo)后方程系數(shù)代入全零行

特殊情況2：某一行元素均為0S3行出現(xiàn)全0，說(shuō)明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)（不穩(wěn)定），如要再求有幾個(gè)正實(shí)部特征根，其解決方法：系統(tǒng)在s平面有對(duì)稱分布的特征根大小相等、符號(hào)相反的實(shí)根共軛虛根對(duì)稱于實(shí)軸的兩對(duì)共軛復(fù)根原因分析：

特殊情況2：某一行元素均為0課堂練習(xí)P1684-1(1)(5)4-2(1)系統(tǒng)的n階赫樂(lè)維茨行列式取各階主子行列式作為1階~（n-1）階赫爾維茲行列式赫爾維茨行列式控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當(dāng)a0>0時(shí)，各階赫爾維茨行列式1、2、…、n均大于零。一階系統(tǒng)二階系統(tǒng)a0>0時(shí),a1>0(全部系數(shù)同號(hào))a0>0時(shí),a1>0,a2>0(全部系數(shù)同號(hào))a0>0時(shí)a0>0時(shí)赫爾維茨(Hurwitz)判據(jù)一階系統(tǒng)a1>0(全部系數(shù)同號(hào))a1>0,a2>0(全部系數(shù)同號(hào))a1>0,a2>0,a3>0(全部系數(shù)同號(hào))a1a2>a0a3a1>0,a2>0,a3>0,a4>0(全部系數(shù)同號(hào))歸納：a0>0時(shí)二階系統(tǒng)三階系統(tǒng)四階系統(tǒng)K值的穩(wěn)定范圍應(yīng)用P148表中四階系統(tǒng)赫爾維茨判據(jù)例題：求K值的穩(wěn)定范圍課堂練習(xí)：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng),已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下：判斷上述系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益K的穩(wěn)定域，并說(shuō)明開(kāi)環(huán)積分環(huán)節(jié)數(shù)目對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。系統(tǒng)1的閉環(huán)特征方程為：K的穩(wěn)定域?yàn)椋合到y(tǒng)2的閉環(huán)特征方程為：K的穩(wěn)定域?yàn)椋航Y(jié)論：增加系統(tǒng)開(kāi)環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性不利。系統(tǒng)3的閉環(huán)特征方程為：由于特征方程缺項(xiàng)，不存在K的穩(wěn)定域。特征矢量幅角變化與穩(wěn)定性關(guān)系一階系統(tǒng)D(s)可視為復(fù)平面上的向量。特征方程：D(s)=s+p＝04.3.1米哈伊洛夫定理4.3Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)當(dāng)ω變化時(shí)，D(jω)的端點(diǎn)沿虛軸滑動(dòng)，其相角相應(yīng)發(fā)生變化。在頻域：D(jω)=p+jω若特征根為負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)穩(wěn)定若特征根為正實(shí)根，系統(tǒng)不穩(wěn)定二階系統(tǒng)特征方程：D(s)=s2+2ns+n2＝(s+p1)(s+p2)=0實(shí)根情形(ξ≥1)當(dāng)ω由0變化到∞時(shí)：共軛虛根情形(0<ξ<1)設(shè)根位于左半s平面當(dāng)ω由0變化到∞時(shí)，jω+p1的相角變化范圍：-0~π/2變化量：π/2+0

jω+p2的相角變化范圍：0~π/2變化量：π/2-0

根位于右半s平面共軛虛根情形(0<ξ<1)當(dāng)ω由0變化到∞時(shí)，jω+p1的相角變化量：-π/2-0jω+p2的相角變化量：-π/2+0

若所有特征根都在左半s平面，則當(dāng)ω由0變化到∞時(shí)若有q個(gè)特征根在右半s平面，則當(dāng)ω由0變化到∞時(shí)

n階系統(tǒng)對(duì)于n階系統(tǒng)，若有p個(gè)根位于復(fù)平面的右半面，有q個(gè)根在原點(diǎn)上，其余n-p-q個(gè)根位于左半面，則當(dāng)ω由0變化到∞時(shí)，矢量D(jω)的相角變化量米哈伊洛夫定理：n階系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：當(dāng)ω由0變化到∞時(shí)，矢量D(jω)的相角變化量穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定系統(tǒng)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)各特征多項(xiàng)式間的關(guān)系開(kāi)環(huán)含有積分環(huán)節(jié)

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)穿越法Bode圖中的Nyquist穩(wěn)定判據(jù)4.3.2Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)各特征多項(xiàng)式間的關(guān)系G(S)H(S)R(s)C(s)A(s)B(s)-閉環(huán)特征多項(xiàng)式開(kāi)環(huán)特征多項(xiàng)式設(shè)新變量F(s)F(s)建立了系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式、開(kāi)環(huán)特征多項(xiàng)式和開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)之間的關(guān)系系統(tǒng)各特征多項(xiàng)式間的關(guān)系G(S)H(S)R(s)C(s)A(s)B(s)-S=j代入Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)是通過(guò)圖解方法判斷系統(tǒng)是否滿足穩(wěn)定的充分必要條件。也就是利用系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅頻特性G(jω)H(jω)來(lái)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)情況一：開(kāi)環(huán)穩(wěn)定時(shí)閉環(huán)穩(wěn)定開(kāi)環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)在開(kāi)環(huán)狀態(tài)穩(wěn)定的條件,閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)ω由0變化到∞時(shí)，1+G(j)H(j)軌跡不包圍[1+GH]平面的原點(diǎn)。系統(tǒng)在開(kāi)環(huán)狀態(tài)穩(wěn)定的條件,閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)ω由0變化到∞時(shí)，開(kāi)環(huán)G(j)H(j)軌跡不包圍GH平面的(-1,j0)點(diǎn)。在復(fù)平面上將1+G(jω)H(jω)的軌跡向左移動(dòng)一個(gè)單位，便得到G(jω)H(jω)的軌跡情況二：開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定時(shí)而閉環(huán)穩(wěn)定要求：設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)特征根有p個(gè)位于右半s平面，q個(gè)位于原點(diǎn)。若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定，且有p個(gè)開(kāi)環(huán)特征根位于右半s平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：當(dāng)ω由0變化到∞時(shí)，開(kāi)環(huán)G(j)H(j)相對(duì)（－1，j0）點(diǎn)的角變化量為（p+q）。ω:0∞例：已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)K>1時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定當(dāng)K<1時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定當(dāng)K=1時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定∞0系統(tǒng)開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定情況二：開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定時(shí)特殊情況特殊情況，若q=0:若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定，且有p個(gè)開(kāi)環(huán)特征根位于右半s平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：當(dāng)ω由0變化到∞時(shí)，開(kāi)環(huán)G(j)H(j)軌跡逆時(shí)針包圍GH平面(-1，j0)點(diǎn)p/2次。ω:0∞而閉環(huán)穩(wěn)定要求：系統(tǒng)在閉環(huán)狀態(tài)下是穩(wěn)定的。開(kāi)環(huán)狀態(tài)是不穩(wěn)定的(m=2)G(j)H(j)軌跡逆時(shí)針?lè)较虬鼑?-1,j0)點(diǎn)一次開(kāi)環(huán)穩(wěn)定G(j)軌跡相對(duì)(-1,j0)點(diǎn)角度變化90o閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定，有1個(gè)開(kāi)環(huán)特征根位于原點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：當(dāng)ω由0變化到∞時(shí)，開(kāi)環(huán)G(j)相對(duì)（－1，j0）點(diǎn)的角變化量為90o繪制G(jw)軌跡課堂練習(xí)P1694-6(1)

情況三：開(kāi)環(huán)含有積分環(huán)節(jié)開(kāi)環(huán)含有積分環(huán)節(jié)（原點(diǎn)處存在極點(diǎn)）或者在虛軸上存在極點(diǎn)。用半徑ε→0的半圓在虛軸上極點(diǎn)的右側(cè)繞過(guò)這些極點(diǎn)，即將這些極點(diǎn)劃到左半s平面。乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的另一表述

常規(guī)方法：(1)作出ω由0+→∞變化時(shí)的Nyquist曲線；(2)從G(j0+)開(kāi)始，以∞為半徑逆時(shí)針補(bǔ)畫(huà)v×90°的圓弧(輔助線)。ω由0→0+變化時(shí)的軌跡具有零根的開(kāi)環(huán)G(jω)H(jω)軌跡(b)(a)以半徑為無(wú)窮大的圓弧順時(shí)針?lè)较蜻B接正實(shí)軸端和G(jω)H(jω)軌跡的起始端。對(duì)于最小相位系統(tǒng)，其輔助線的起始點(diǎn)始終在無(wú)窮遠(yuǎn)的正實(shí)軸上。(c)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為應(yīng)用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。開(kāi)環(huán)穩(wěn)定m=0，開(kāi)環(huán)Nyquist曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。ω＝0+：A(0+)＝∞，(0+)＝－270°Nyquist曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)半次，而m＝1系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，應(yīng)用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定，m=1穿越：指開(kāi)環(huán)Nyquist曲線穿過(guò)(-1,j0)點(diǎn)負(fù)實(shí)軸時(shí)的情況。正穿越：ω增大時(shí)，Nyquist曲線由上而下穿過(guò)

-1~-∞段實(shí)軸。正穿越時(shí)相當(dāng)于Nyquist曲線正向包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈。負(fù)穿越：ω增大時(shí)，Nyquist曲線由下而上穿過(guò)

-1~-∞段實(shí)軸。負(fù)穿越相當(dāng)于Nyquist曲線反向包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)穿越法圖例半次穿越：G(jω)H(jω)軌跡起始或終止于(-1,j0)點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸。+1/2次穿越-1/2次穿越當(dāng)ω由0變化到∞時(shí)，Nyquist曲線在(-1,j0)點(diǎn)左邊實(shí)軸上的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于m/2時(shí)(m為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)數(shù))，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定開(kāi)環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定m=1?次穿越閉環(huán)穩(wěn)定Nyquist圖與Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系原點(diǎn)為圓心的單位圓0分貝線。單位圓以外L(ω)>0的部分；單位圓內(nèi)部L(ω)<0的部分。負(fù)實(shí)軸－180°線。相連(v為開(kāi)環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目)起始點(diǎn)(0+)

Nyquist曲線的輔助線(0+)+v90°線對(duì)伯德圖判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性正穿越對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻特曲線當(dāng)ω增大時(shí)從下向上穿越－180°線(相角滯后減小)；(-1,j0)點(diǎn)以左實(shí)軸的穿越點(diǎn)L(ω)>0范圍內(nèi)的與－180°線的穿越點(diǎn)。負(fù)穿越對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻特性曲線當(dāng)ω增大時(shí)，從上向下穿越－180°線(相角滯后增大)。對(duì)數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù)若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)m個(gè)位于右半s平面的特征根，則當(dāng)在L(ω)>0的所有頻率范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻特性曲線(ω)(含輔助線)與-180°線的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于m/2時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)不穩(wěn)定。開(kāi)環(huán)特征方程有兩個(gè)右根，m=2正負(fù)穿越數(shù)之和-1閉環(huán)不穩(wěn)定。開(kāi)環(huán)特征方程有兩個(gè)右根，m=2正負(fù)穿越數(shù)之和+1閉環(huán)穩(wěn)定。開(kāi)環(huán)特征方程無(wú)右根，m=0正負(fù)穿越數(shù)之和0閉環(huán)穩(wěn)定。開(kāi)環(huán)特征方程無(wú)右根，m=0。L()>0范圍內(nèi)()和-線不相交即正負(fù)穿越數(shù)之和為0閉環(huán)穩(wěn)定。例：課堂練習(xí)P1694-6(1)

相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕量增益交界頻率和相位交界頻率系統(tǒng)的穩(wěn)定性裕量4.4穩(wěn)定性裕量特征方程最近虛軸的根和虛軸的距離穩(wěn)定性裕量可以定量地確定系統(tǒng)離開(kāi)穩(wěn)定邊界的遠(yuǎn)近，是評(píng)價(jià)系統(tǒng)穩(wěn)定性好壞的性能指標(biāo)，是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)之一。相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕量注意：虛軸是系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定邊界G(j)H(j)軌跡靠近(-1,j0)點(diǎn)的程度GH平面增益交界頻率cG(j)H(j)軌跡與單位圓交點(diǎn)相位交界頻率gG(j)H(j)軌跡與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)GH平面ggcc1-穩(wěn)定系統(tǒng)2-不