2-1 不等式的性質(zhì)及一元二次不等式（精講）（基礎(chǔ)版）（解析版）

2.1不等式的性質(zhì)及一元二次不等式（精講）（基礎(chǔ)版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)【例1-1】（2022·北京·高三學(xué)業(yè)考試）已知a，b是實(shí)數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于，所以，A選項(xiàng)正確.，BD選項(xiàng)錯(cuò)誤.，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A【例1-2】（2022·山東省淄博第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知a，b，，那么下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【解析】．若，當(dāng)時(shí)，，所以不成立；．若，當(dāng)時(shí)，則，所以不成立；．因?yàn)?，將兩邊同除以，則，所以成立．若且，當(dāng)時(shí)，則，所以，則不成立．故選：．【一隅三反】1．（2022·江西上饒·高三階段練習(xí)（理））若，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】對于A，若，則，所以A錯(cuò)誤，對于B，若，則，所以B錯(cuò)誤，對于C，若，則，所以C錯(cuò)誤，對于D，因?yàn)椋?，所以，所以，所以D正確，故選：D2．（2022·重慶市育才中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A.當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；B.當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；

C.當(dāng)時(shí)，，不成立，故錯(cuò)誤；D.由，則，則，故正確；故選：D3．（2022·北京房山·一模）若，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】取滿足，且，此時(shí)，A錯(cuò)誤；取滿足，且，此時(shí)，B錯(cuò)誤；可得，C正確；取滿足，且，此時(shí)，D錯(cuò)誤.故選：C.考點(diǎn)二代數(shù)式的范圍【例2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)實(shí)數(shù)、滿足，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知得，，，故，故選：B.【一隅三反】1．（2021·黑龍江·哈爾濱市呼蘭區(qū)第一中學(xué)校）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則解得，∴，又，，∴即.故選：B.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，由，?故選：A.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.設(shè)，所以，解得：，，因?yàn)?，，所以，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以.故選：C考點(diǎn)三比較大小【例3-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)＜＜＜1，則()A．a(chǎn)a＜ab＜ba B．a(chǎn)a＜ba＜abC．a(chǎn)b＜aa＜ba D．a(chǎn)b＜ba＜aa【答案】C【解析】∵＜＜＜1，∴0＜a＜b＜1.∴＝aa－b＞1.∴ab＜aa.∵＝，,0＜＜1，a＞0，∴＜1.∴aa＜ba.∴ab＜aa＜ba.故答案為C【例3-2】（2022·山東·滕州市第一中學(xué)新校高三開學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C．a(chǎn)<c<b D．c<a<b【答案】D【解析】，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，與相交于點(diǎn)和原點(diǎn)時(shí)，，即故選：D.【一隅三反】1．（2022·江蘇江蘇·高三期末）已知＝，b＝3－ln4，c＝，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【答案】C【解析】，,即，，，，，，故選：C2．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，又因，所以且，所以，所以，故選：D3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則下列結(jié)論正確的序號是（

）①，②，③，④若，則A．①② B．①③ C．①④ D．②④【答案】B【解析】因?yàn)椋?，則，得.對于①，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)為上的減函數(shù)，則，①對；對于②，，則，②錯(cuò)；對于③，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即，故，③對；對于④，，則，則，④錯(cuò).故選：B.考點(diǎn)四已知一元二次不等式的解求參【例4-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知不等式ax2+bx+2＞0的解集為，則不等式2x2+bx+a＜0的解集為_____.【答案】（﹣2，3）【解析】∵不等式ax2+bx+2＞0的解集為{x|}，∴，是ax2+bx+2＝0的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，解得a＝﹣12，b＝﹣2.則不等式2x2+bx+a＜0化為2x2﹣2x﹣12＜0，即x2﹣x﹣6＜0，解得﹣2＜x＜3.∴不等式2x2+bx+a＜0的解集為（﹣2，3）.故答案為：（﹣2，3）.【例4-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若關(guān)于的不等式的解集為或，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)原不等式可以推出，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛颍?，是方程的兩根，且，所?故選:A【例4-3】（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則所有符合條件的a的值之和是（

）A．13 B．18 C．21 D．26【答案】C【解析】設(shè)，其圖象為開口向上，對稱軸為的拋物線，根據(jù)題意可得，，解得，因?yàn)榻饧杏星覂H有3個(gè)整數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的對稱性可得，即，解得，又所以a=6，7，8，所以符合題意的a的值之和6+7+8=21.故選：C【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集為【答案】ABD【解析】關(guān)于的不等式的解集為選項(xiàng)正確；且－2和3是關(guān)于的方程的兩根，由韋達(dá)定理得，則，則，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；不等式即為，解得選項(xiàng)正確；不等式即為，即，解得或選項(xiàng)正確.故選：.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．4【答案】D【解析】由且不等于1，由題意得，，解得.故選：D.3．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】一元二次不等式的解集為，所以，是方程的兩個(gè)根，所以，，即，，則，可知其解集為，故選：C．考點(diǎn)五一元二次不等式恒成立問題【例5-1】（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知不等式的解集為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由解得故選：B【例5-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，“對恒成立”的一個(gè)充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，對恒成立；當(dāng)時(shí)，若，對恒成立，則必須有，解之得，綜上，的取值范圍為.故“對恒成立”的一個(gè)充要條件是，故選：B【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知“，使得不等式”不成立，則下列a的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椤?，使得不等式”不成立，則不等式對恒成立，等價(jià)于時(shí)恒成立，因?yàn)椋蔅CD不正確．故選：A.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的范圍是（

）A． B．C． D．或【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，該不等式為，解集為，不成立；當(dāng)時(shí)，由不等式的解集為，得，解得，故選：B.考點(diǎn)六解含參的一元二次不等式【例6】（2022·全國·高三專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式．【答案】答案見解析.【解析】原不等式可化為ax2＋(a－2)x－2≥0．①當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式化為x＋1≤0，解得x≤－1．②當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式化為(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1．③當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式化為(x＋1)≤0．當(dāng)＞－1，即a＜－2時(shí)，解得－1≤x≤；當(dāng)＝－1，即a＝－2時(shí)，解得x＝－1滿足題意；當(dāng)＜－1，即－2＜a＜0，解得≤x≤－1．綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x≤－1}；當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)－2＜a＜0時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a＝－2時(shí)，不等式的解集為{－1}；當(dāng)a＜－2時(shí)，不等式的解集為．【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式：()．【答案】當(dāng)①或時(shí)，不等式的解集為；②當(dāng)或時(shí)，不等式的解集為；③當(dāng)或時(shí)，不等式的解集為．【解析】原不等式化為，①或時(shí)，不等式為，所以不等式的解集為；②當(dāng)或時(shí)，，不等式的解集為；③當(dāng)或時(shí)，，不等式的解集為．綜上所述：當(dāng)①或時(shí)，不等式的解集為；②當(dāng)或時(shí)，不等式的解集為；③當(dāng)或時(shí)，不等式的解集為．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式.【答案】答案見解析.【解析】當(dāng)時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式對應(yīng)方程的根為或2，①當(dāng)時(shí)，不等式即的解集為；②當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；③當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；④當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式：