2020年江蘇省南京市鼓樓區(qū)八年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷

期中數(shù)學(xué)試卷題號一二三四總分得分一、選擇題（本大題共8小題，共16.0分）有些國家的國旗設(shè)計成了軸對稱圖形，觀察如圖代表國旗的圖案，你認(rèn)為是軸對稱圖形的有（）

A.4個 B.3個 C.2個 D.1個在實數(shù)-，，0，-，2.161161161…，中，無理數(shù)有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個等腰三角形兩邊長分別為4和8，則這個等腰三角形的周長（）A.16 B.18 C.20 D.16或20以下列數(shù)組為邊長的三角形中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A.5，12，13 B.8，15，16 C.9，16，25 D.12，15，20下列說法中，正確的有（）A.只有正數(shù)才有平方根 B.27的立方根是±3

C.立方根等于-1的實數(shù)是-1 D.1的平方根是1如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC長是（）

A.6 B.5 C.4 D.3如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）A.5個

B.4個

C.3個

D.2個

如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x、y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列四個說法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中說法正確的是（）A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④二、填空題（本大題共10小題，共20.0分）由四舍五入法得到的近似數(shù)2.5×103精確到______位．16的平方根為______；（-4）3的立方根是______．若，則x-y=______．如圖中有6個條形方格圖，圖上由實線圍成的圖形與（1）是全等形的有______．

如圖，△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AB=5，BC=7，則△ABD的周長是______．

已知等腰三角形的一個外角等于110°，則它的頂角是______°．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，則∠1+∠2+∠3+∠4=______°．

如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、點D．若∠BAC=130°，那么∠EAD=______．

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AC=BD，AC與BD相交于O，且AC⊥BD．

①AB∥CD；②△ABD≌△BAC；③AB2+CD2=AD2+CB2；④∠ACB+∠BDA=135°．

其中結(jié)論正確的是______（填序號）．

如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于點O，且OE=OD，則AP的長為______．

三、計算題（本大題共2小題，共12.0分）計算：

（1）-

（2）（）2+|1-|+（）0．

求下列各式中的x的值

（1）4x2-9=0

（2）64（x+1）3=-125．

四、解答題（本大題共7小題，共52.0分）已知：如圖，C是AB的中點，AE=BD，∠A=∠B．求證：∠ACE=∠BCD．

如圖，在△ABC中，AB=5，AC=13，AD是邊BC上的中線，E在AD的延長線上，AD=ED=6，求△ABC的面積．

如圖，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．

（1）證明：AD=BE；

（2）求∠AEB的度數(shù)．

如圖（1）是用硬板紙做成的兩個全等的直角三角形，兩直角邊的長分別為a和b，斜邊長為c，請你開動腦筋，將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形．

（1）畫出拼成的這個圖形的示意圖，并用這個圖形證明勾股定理；

（2）假設(shè)圖（1）中的直角三角形有若干個，你能運用圖（1）中所給的直角三角形拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的示意圖（無需證明）

閱讀理解：求的近似值．

小明的方法：設(shè)=10+x，其中0＜x＜1，則105=（10+x）2，即105=100+20x+x2．

∵0＜x＜1

∴0＜x2＜1，

∴105≈100+20x，解之得x≈0.25，即的近似值為10.25，

小莉的方法：設(shè)=11-y，其中0＜y＜1，則105=（11-y）2，即105=121-22y+y2，

∵0＜y＜1

∴0＜y2＜1，

∴105≈121-22y，解之得y≈0.73，即的近似值為10.27．

【反思比較】你認(rèn)為______的方法更接近．（填“小明”或“小莉”）

【深入思考】下面關(guān)于x與y之間的數(shù)量關(guān)系

A．x+y＞1B．x+y=1C．x+y＜1D．無法確定

你認(rèn)為正確的是______．請說明理由．

（1）我們已經(jīng)如道：在△ABC中，如果AB=AC，則∠B=∠C，下面我們繼續(xù)研究：如圖①，在△ABC中，如果AB＞AC，則∠B與∠C的大小關(guān)系如何？為此，我們把AC沿∠BAC的平分線翻折，因為AB＞AC，所以點C落在AB邊的點D處，如圖②所示，然后把紙展平，連接DE．接下來，你能推出∠B與∠C的大小關(guān)系了嗎？試寫出說理過程．

（2）如圖③，在△ABC中，AE是角平分線，且∠C=2∠B．

求證：AB=AC+CE．

（3）在（2）的條件下，若點P，F(xiàn)分別為AE、AC上的動點，且S△ABC=15，AB=8，則PF+PC的最小值為______．

如圖，已知等邊△ABC，點D為△ABC內(nèi)的一點，連接DA、DB、DC，∠ADB=120°．以CD為邊向CD上方作等邊△CDE，連接AE（0°＜∠ACE＜60°）．

（1）求證：△BDC≌△AEC．

（2）若DC=2n，AD=AE，則△ADE的面積為______．

（3）若DA=n2+1，DB=n2-1，DC=2n（n為大于1的整數(shù)）．求證：DA2+DC2=AC2．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：根據(jù)軸對稱的概念可知：加拿大國旗、瑞士國旗是軸對稱圖形，符合題意；

澳大利亞國旗、烏拉圭國旗都不是軸對稱圖形，不符合題意．

故選：C．

根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形．這條直線叫做對稱軸．

掌握軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．

2.【答案】B

【解析】解：在實數(shù)-，，0，-，2.161161161…，中，無理數(shù)有-，-，一共2個．

故選：B．

無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)，由此可得出無理數(shù)的個數(shù)．

此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．

3.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和三邊關(guān)系，解答此題時注意分類討論，不要漏解．

由于題中沒有指明哪邊是底哪邊是腰，則應(yīng)該分兩種情況進行分析．

【解答】

解：①當(dāng)4為腰時，4+4=8，故此種情況不存在；

②當(dāng)8為腰時，8-4＜8＜8+4，符合題意．

故此三角形的周長=8+8+4=20．

故選：C．

4.【答案】A

【解析】解：A、∵52+122=132，∴A正確；

B、∵82+152≠162，∴B錯誤；

C、∵92+162≠252，∴C錯誤；

D、∵122+152≠202，∴D錯誤；

故選：A．

要構(gòu)成直角三角形必須滿足3個數(shù)字為勾股數(shù)，分別對每個選項的3個數(shù)字進行驗證即可解題．

本題考查了勾股數(shù)的組成條件，本題中分別對每個選項進行驗證是否是勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．

5.【答案】C

【解析】解：A、只有正數(shù)才有平方根，錯誤，0的平方根是0，故本選項錯誤；

B、27的立方根是3，故本選項錯誤；

C、立方根等于-1的實數(shù)是-1正確，故本選項正確；

D、1的平方根是±1，故本選項錯誤．

故選C．

根據(jù)平方根，立方根的定義對各選項分析判斷后利用排除法求解．

本題考查了立方根，平方根的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．

6.【答案】D

【解析】解：過點D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，

∴DE=DF=2，

∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，

解得AC=3．

故選：D．

過點D作DF⊥AC于F，然后利用△ABC的面積公式列式計算即可得解．

本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)并利用三角形的面積列出方程是解題的關(guān)鍵．

7.【答案】A

【解析】解：共有5個．

（1）∵AB=AC,

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線,

∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，

∵△ABC是等腰三角形，

∴∠EBC=∠ECB，

∴△BCE是等腰三角形；

（3）∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，

又BD是∠ABC的角平分線，

∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，

∴△ABD是等腰三角形；

同理可證△CDE和△BCD是等腰三角形．

故選：A．

根據(jù)已知條件和等腰三角形的判定定理，對圖中的三角形進行分析，即可得出答案．

此題主要考查學(xué)生對等腰三角形判定和三角形內(nèi)角和定理的理解和掌握，屬于中檔題．

8.【答案】B

【解析】解：由題意，

①-②得2xy=45

③，

∴2xy+4=49，

①+③得x2+2xy+y2=94，

∴（x+y）2=94，

∴①②③正確，④錯誤．

故選：B．

由題意，①-②可得2xy=45記為③，①+③得到（x+y）2=94由此即可判斷．

本題考查勾股定理，二元二次方程組等知識，解題的關(guān)鍵學(xué)會利用方程的思想解決問題，學(xué)會整體恒等變形的思想，屬于中考?？碱}型．

9.【答案】百

【解析】解：2.5×103精確到百位．

故答案是：百．

根據(jù)近似數(shù)的精確度和有效數(shù)字的定義進行判斷．

本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法．從一個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字．

10.【答案】±4；-4

【解析】解：16的平方根為±4；（-4）3的立方根是-4．

故答案為：±4、-4．

根據(jù)平方根及立方根的知識，進行運算即可．

本題考查了立方根與平方根的知識，一個數(shù)的立方根只有一個，一個正數(shù)的平方根有兩個且互為相反數(shù)．

11.【答案】5

【解析】解：根據(jù)題意得，x-3=0，y+2=0，

解得x=3，y=-2，

x-y=3-（-2）=3+2=5．

故答案為：5．

根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可求解．

本題考查了平方數(shù)非負(fù)數(shù)，算術(shù)平方根非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾個非負(fù)數(shù)的和等于0，則每一個算式都等于0列式是解題的關(guān)鍵．

12.【答案】（2），（3），（6）

【解析】解：由圖可知，圖上由實線圍成的圖形與（1）是全等形的有（2），（3），（6），

故答案為：（2），（3），（6），

根據(jù)全等形是可以完全重合的圖形進行判定即可．

本題主要考查學(xué)生對全等形的概念的理解及運用，此題的關(guān)鍵是從邊的角度來進行分析．

13.【答案】12

【解析】解：∵DE是AC的垂直平分線，

∴DA=DC．

∵AB=5，BC=7，

∴△ABD的周長=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=12，

故答案為：12．

根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DC，根據(jù)三角形的周長公式計算即可．

本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．

14.【答案】70或40

【解析】解：①若110°是頂角的外角，則頂角=180°-110°=70°；

②若110°是底角的外角，則底角=180°-110°=70°，那么頂角=180°-2×70°=40°．

故它的頂角是70°或40°．

故答案為：70或40．

此外角可能是頂角的外角，也可能是底角的外角，需要分情況考慮，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和為180°，可求出頂角的度數(shù)．

考查了等腰三角形的性質(zhì)，當(dāng)外角不確定是底角的外角還是頂角的外角時，需分兩種情況考慮，再根據(jù)三角形內(nèi)角和180°、三角形外角的性質(zhì)求解．

15.【答案】180

【解析】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，

∴∠1+∠4=90°，

∵∠2和∠3所在的三角形全等，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠1+∠2+∠3十∠4=180°．

故答案為：180．

仔細(xì)分析圖中角度，可得出，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，進而得出答案．

此題主要考查了全等圖形，解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用．

16.【答案】80°

【解析】解：∵∠BAC=130°，

∴∠B+∠C=50°，

∵DA=DB，EA=EC，

∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，

∴∠DAE=∠BAC-（∠DAB+∠EAC）=∠BAC-（∠B+∠C）=80°．

故答案為：80°

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C=50°，根據(jù)等邊對等角、結(jié)合圖形計算即可．

本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．

17.【答案】③④

【解析】解：在四邊形ABCD中，∠ABD與∠BAC不一定相等，

故①AB∥CD；②△ABD≌△BAC都不一定成立，

∵AC⊥BD，

∴Rt△CDH中，CD2=DH2+CH2；

Rt△ABH中，AB2=AH2+BH2；

Rt△ADH中，AD2=DH2+AH2；

Rt△BCH中，BC2=CH2+BH2；

∴AB2+CD2=AD2+CB2，故③正確；

∵AC⊥BD，

∴∠ABH+∠BAH=90°，

又∵AB=AC=BD，

∴等腰△ABC中，∠ACB=（180°-∠BAC），

等腰△ABD中，∠ADB=（180°-∠ABD），

∴∠ACB+∠BDA=（180°-∠BAC）+（180°-∠ABD）

=180°-（∠ABH+∠BAH）

=180°-45°

=135°，故④正確．

故答案為：③④．

依據(jù)AC⊥BD，運用勾股定理即可得到AB2+CD2=AD2+CB2，依據(jù)AB=AC=BD，且AC⊥BD，運用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠ACB+∠BDA=135°．

本題主要考查了命題與定理、勾股定理、全等三角形的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；解決問題的關(guān)鍵是掌握勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)．

18.【答案】4.8

【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，

由折疊的性質(zhì)可知△ABP≌△EBP，

∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，

在△ODP和△OEG中，

，

∴△ODP≌△OEG（ASA），

∴OP=OG，PD=GE，

∴DG=EP，

設(shè)AP=EP=x，則PD=GE=6-x，DG=x，

∴CG=8-x，BG=8-（6-x）=2+x，

根據(jù)勾股定理得：BC2+CG2=BG2，

即62+（8-x）2=（x+2）2，

解得：x=4.8，

∴AP=4.8，

故答案為：4.8．

設(shè)AP=x，證明△ODP≌△OEG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OP=OG，PD=GE，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用x表示出PD、OP，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．

本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，翻折變換是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．

19.【答案】解：（1）原式=5-（-3）=5+3=8；

（2）原式=3+-1+1=3+．

【解析】（1）原式利用平方根及立方根定義計算即可得到結(jié)果；

（2）原式利用二次根式的性質(zhì)，絕對值的代數(shù)意義，以及零指數(shù)冪法則計算即可得到結(jié)果．

此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．

20.【答案】解：（1）移項4x2=9，

系數(shù)化為1，x2=，

x=±；

（2）（x+1）3=-，

x+1=-，

x=-．

【解析】（1）先求出x2的值，再根據(jù)平方根的定義解答；

（2）把（x+1）看作一個整體并求出其值，再根據(jù)立方根的定義解答．

本題考查了利用平方根和立方根求未知數(shù)的值，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．

21.【答案】證明：∵C是AB的中點，

∴AC=BC，

在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴∠ACE=∠BCD．

【解析】只要證明△ACE≌△BCD，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)即可解題．

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，本題中求證△ACE≌△BCD是解題的關(guān)鍵．

22.【答案】解：∵AD是邊BC上的中線，

∴BD=CD，

在△ABD和△ECD中，，

∴△ABD≌△ECD（SAS），

∴AB=CE=5，

∵AE=AD+ED=12，AC=13，CE=5，

∴AE2+CE2=AC2，

∴△ACE是直角三角形，

∴△ABC的面積=△ACE的面積=×5×12=30．

【解析】首先證得△ABD≌△ECD（SAS），得出AB=CE=5，利用勾股定理逆定理證得△ACE是直角三角形，求得△ACE的面積，即可得出△ABC的面積．

此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理的運用，三角形的面積計算方法，掌握三角形全等的判定方法與勾股定理逆定理是解決問題的關(guān)鍵．

23.【答案】解：（1）∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD=60°-∠CDB=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴AD=BE．

（2）∵△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠BEC．

∵△DCE為等邊三角形，

∴∠CDE=∠CED=60°．

∵點A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC=120°，

∴∠BEC=120°．

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°．

【解析】（1）先證出∠ACD=∠BCE，那么△ACD≌△BCE，根據(jù)全等三角形證出AD=BE；

（2）∠ADC=∠BEC，求出∠ADC=120°，得出∠BEC=120°，從而證出∠AEB=60°．

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．

24.【答案】解解：（1）如圖所示，是梯形；

由上圖我們根據(jù)梯形的面積公式可知，梯形的面積=（a+b）（a+b）．

從上圖我們還發(fā)現(xiàn)梯形的面積=三個三角形的面積，即ab+ab+c2．

兩者列成等式化簡即可得：a2+b2=c2；

（2）畫邊長為（a+b）的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊．

【解析】（1）此題要由圖中給出的三個三角形組成一個梯形，而且上底和下底分別為a，b，高為a+b；此題主要是利用梯形的面積和三角形的面積公式進行計算，根據(jù)圖中可知，由此列出等式即可求出勾股定理；

（2）此題的方法很多，這里只舉一種例子，即把四個直角三角形組成一個正方形．

本題考查了勾股定理的證明，此題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系，由等量關(guān)系求證勾股定理．

25.【答案】小明

C

【解析】解：我認(rèn)為小明的方法更接近．

故答案為小明．

因為x≈0.25，y≈0.73．

所以x+y＜1

故答案為C．

根據(jù)估算無理數(shù)的大小的方法，閱讀理解材料即可說明．

本題考查了估算無理數(shù)的大小，解題關(guān)鍵是理解閱讀材料．

26.【答案】

【解析】解：（1）∠C＞∠B，

理由如下：∵點C落在AB邊的點D處，

∴∠ADE=∠C，

∵AC沿∠BAC的平分線翻折，∠ADE為△EDB的一個外角，

∴∠ADE=∠B+∠DEB，

∴∠ADE＞∠B，

即：∠C＞∠B；

（2）如圖3，在AB上截取AD=AC，連接DE，

∵AE是角平分線，

∴∠BAE=∠CAE．

在△ADE

和△ACE中，

∴△ADE≌△ACE（SAS），

∴∠ADE=∠C，DE=CE．

∵∠ADE=∠B+∠DEB，且∠C=2∠B．

∴∠B=∠DEB，

∴DB=DE，

∵AB=AD+DB，AD=AC，DB=DE=CE．

∴AB=AC+CE．

（3）如圖4，在AB上截取AH=AF，連接CH，

∵AH=AF，∠HAP=∠FAP，AP=AP，

∴△AHP≌△AFP（SAS），

∴HP=PF，

∴PF+PC=PH+PC，

∴點P在線段CH上，且CH⊥AB時，PF+PC的值最小，

∵S△ABC=15=×AB×CH，AB=8，

∴CH=，

∴PF+PC的最小值為，

故答案為：．

（1）先根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)得出∠ADE=∠C，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）在AB上截取AD=AC，連接DE．由AE是角平分線，可得∠BAE=∠CAE，由“SAS”可證△ADE≌△ACE，所以∠ADE=∠C，DE=CE，由三角形外角的性質(zhì)可知，∠ADE=∠B+∠DEB，再由∠C=2∠B可得出∠B=∠DEB，所以AB=AD+DB，AD=AC，DB=DE=CE，由此即可得出結(jié)論；

（3）在AB上截取AH=AF，連接CH，由“SAS”可證△AHP≌△AFP，可得HP=PF，則PF+PC=PH+PC，即點P在線段CH上，且CH⊥AB時，PF+PC的值最小，由三角形面積公式可求解．

本題是幾何變換綜合題，考查的是翻折變換，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是