棋盤染色法的分類與應(yīng)用

棋盤染色法的分類與應(yīng)用摘要組合數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)應(yīng)用中非常重要的一門分支，染色法是其中非常重要的一種方法，隨著染色法的發(fā)明，一大系列難解的組合問題都得到了非常簡便地解決，本研究著重將過去比較模糊的染色法的概念做了一個系統(tǒng)的分類，創(chuàng)造了一種可行的發(fā)現(xiàn)新的染色方案的比較系統(tǒng)的思想，并將普遍的二維染色法做了一個推廣，解決了一個三維中的組合問題。研究得出的主要結(jié)論為：二維染色法的分類：雙色染色法（國際象棋盤染色法）；多色規(guī)則染色法（高度對稱）；不規(guī)則染色法（根據(jù)問題靈活轉(zhuǎn)變）；三維染色法的初步結(jié)論：三維染色法基于二維的一些情況進行推廣，解決了一個較為困難的三維覆蓋問題。關(guān)鍵詞：染色法；博弈問題；覆蓋問題；分類；推廣

一、引言：組合數(shù)學(xué)是一門研究離散的量的變化規(guī)律的學(xué)科。組合數(shù)學(xué)的方法千變?nèi)f化，沒有一種適用于所有問題。這些方法有一些共同點：1、所有的方法追求的是簡單與清晰。2、所有的方法都較難想到，而說破了卻又很簡單，解決問題后經(jīng)常有一種恍然大悟的感覺。作為一名數(shù)學(xué)愛好者，很多人喜歡解組合數(shù)學(xué)的問題，其中染色法是頗受欣賞的方法。但是在中學(xué)或大學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程中缺乏對染色法的系統(tǒng)研究，這使得人們很難學(xué)習(xí)與掌握該方法。做題時并不能真正的掌握問題的本質(zhì)，在下一次遇到可能用染色法解決的問題時并不能很好地找到正確的解決方法。我們不妨來看一下過去使用染色法解決問題的過程，一道問題的解答一半多以這樣開頭：“這道問題我們用染色法來解決，把點A涂上紅色……，如圖，分析一下各類不變量，我們得到……”。在做了大量的練習(xí)之后，筆者初步掌握了棋盤染色方法，對該染色法進行了分類，并研究了該染色法在解決組合問題中的具體應(yīng)用。二、棋盤染色法的分類:棋盤染色法是一類借助國際象棋棋盤通過染色解決組合問題的解踢方法的簡稱。經(jīng)過對染色法問題的系統(tǒng)研究，分析每種方法的解題特點，經(jīng)過歸納整理，可將棋盤染色法大致分為以下幾類：雙色相鄰染色法（國際象棋棋盤染色法）這個染色法的基本構(gòu)圖（如右圖），正如它的名字所言，是分析問題的奇偶本質(zhì)。我們可以發(fā)現(xiàn)這種染色法得到的一個圖像有以下幾個特點：這張圖具有高度的對稱性，不管是平移還是旋轉(zhuǎn)或是翻折，都無法改變它的性質(zhì)。這張圖總體來說黑白格子的個數(shù)相等，關(guān)鍵的一點是，所有的黑格都只與白格相鄰，同樣所有的白格都只與黑格相鄰。于是，在這張圖中任何一條格子到格子之間的路徑都經(jīng)過幾乎相同的黑白格數(shù)，至多相差一個；在這張圖內(nèi)任取一塊以黑白格子的邊界為邊界的區(qū)域所包含的黑白格數(shù)也至多只相差一個，這就導(dǎo)致了一個很強的性質(zhì)。多色染色法多色染色法的基本構(gòu)圖（右圖為三色染色）：該構(gòu)圖的特點如下：（1）類比與雙色染色法，多色染色法也有高度的對稱性，只是缺少了翻折對稱性。（2）這張圖中所有顏色的格子的個數(shù)全都相同，但各種顏色的格子只與兩種顏色的格子相鄰。在這類圖中沒有二色染色中非常強的性質(zhì)，但令人意外的是，它卻能解決不少有關(guān)于模n性質(zhì)的問題。不規(guī)則染色法不規(guī)則染色法的構(gòu)圖（這種染色法的構(gòu)圖不唯一，右圖為一個簡單的例子）：特點如下：靈活多變，沒有明確的形式。問題的解決明快，簡單，但不容易想到。右圖在用這個圖形覆蓋時就有非常有用的特點，永遠覆蓋到奇數(shù)個黑格。三、棋盤染色法的推廣——三維染色法一般來說，棋盤染色法都只在二維的范圍內(nèi)應(yīng)用，但若將棋盤一個一個疊放在一起就構(gòu)成了一個三維的圖形，這就導(dǎo)致了三維染色的可能。三維染色法是基于二維染色法的一些情況進行推廣，方法更多變。在后文中有一個較為成功的染色法的例子，它解決的是三維覆蓋的問題。四、棋盤染色法的應(yīng)用1、雙色染色法的應(yīng)用問題1一個5*5的房間網(wǎng)，相鄰房間是相通的，問能否從箭頭房間進入走遍整個房間網(wǎng)并且不重復(fù)的走入一個房間？右圖黑線就是這樣一條路徑。這個問題的可以這樣來考慮，5*5=25是一個奇數(shù)，可以利用染色法嘗試，由前面所推得的性質(zhì)3得到：這條路徑所經(jīng)過的黑白格的格數(shù)相差至多為1，但是若走遍整個房間網(wǎng)的話，黑白格數(shù)不是也只相差1嗎？又由題意發(fā)現(xiàn)，起點在黑格，無論終點在黑格還是白格，都無法使白格數(shù)多于黑格數(shù)，于是，不存在這樣的路徑。有這個問題了以后，自然的想到了推廣，若是用1*2的小方塊覆蓋棋盤的話會有什么結(jié)果，巧的是，有一個著名的銀行家曾經(jīng)提出過類似的問題，下面的問題就來自那位銀行家。問題2一個8*8的格子紙，去掉對角兩格，是否能用1*2的方塊來覆蓋它？第一個思路就是看總格數(shù)能否被2整除，答案是可以。這個問題曾經(jīng)困擾過許多人，在沒有染色法以前，一般想到的都是半枚舉的做法，這個做法一般為（如右下圖），一行一行的去試，根據(jù)行與行之間的關(guān)系來推導(dǎo)出下一行于下一行之間的關(guān)系，而不久就發(fā)現(xiàn)這個辦法不可行，因為一行有七八個格子，至少有10種可能性，10的8次方是一個巨大的天文數(shù)字，一秒算一下的話也要兩年多。當計算機被發(fā)明了之后，利用計算機強大運算功能的想法就逐漸發(fā)展起來，當搜索完備了之后雖然也可行，但是一旦行數(shù)增加上去之后發(fā)現(xiàn)搜索量呈幾何級數(shù)上升，方法不可行。但問題的描述是那么簡單，難道就沒有好方法了嗎？問題本質(zhì)是1*2的方塊的覆蓋，這啟示我們問題基于的是奇偶性，我們把1*2的方塊蓋于國際象棋棋盤之上后發(fā)現(xiàn)，由于黑的方格只與白的方格相鄰，所以不管怎么放都灰蓋住以黑一白兩塊，這是一個重大的突破，我們數(shù)一下原問題中的黑白格數(shù)，發(fā)現(xiàn)黑格比白格少兩個！于是該圖形不可被1*2的方塊覆蓋。這個結(jié)論同時也引發(fā)了新的問題，如果1*2的方塊無法被覆蓋的條件是黑白格數(shù)不等，如果是1*3的條狀方塊呢？1*n呢？這個問題就要用到多色染色法了。2、多色染色法的應(yīng)用問題3一個8*8的格子紙，去掉右下角的一格，問能否用1*3的方塊覆蓋它？如果用1*3的方塊覆蓋的話，我們發(fā)現(xiàn)，不管方塊如何擺放，都將覆蓋住一個黑的格子，一個灰的格子，和一個白的格子。如果這三種顏色的格子數(shù)不相同的話，就無法將整個方格覆蓋滿。題中黑的格子有21個，白的有22個，灰的只有20個，于是無法用1*3的方塊覆蓋。這種簡單的覆蓋問題可以推廣到1*n。問題4一個無限大的棋盤中有一個由棋子組成的m*n的矩形，一種操作稱之為跳是指一個棋子間隔一個棋子跳入一個沒有棋子的空檔，只認可橫向和豎向的跳，比如說（見右圖），問當且僅當m，n為何值時能將這個游戲跳到只剩一個棋子？這個問題就不是那么容易想了，由于同上述覆蓋問題不同，這個問題并沒有十分明顯的提示應(yīng)該使用染色法，但有一點是肯定的，這個問題也是在棋盤上的組合題。開始研究時筆者遇到了一些困難。由于它是操作題，所以一般先從簡單的情況進行著手。首先考慮小一點的m和n，通過實際的操作，筆者發(fā)現(xiàn)，對小的m與n當且僅當m*n不是3倍數(shù)時可以跳到最后那一步，于是這使筆者產(chǎn)生了聯(lián)想，可能3倍數(shù)不可行的證明可以考慮用染色法。先要看一下這個問題的最簡單也是最基本的一項操作，問題基于基本的操作步驟“跳”，跳這個步驟涉及到三個格子，有三色染色法性質(zhì)，這三個一定是三個不同顏色的格子，于是，白格和灰格中各少一個棋子，黑格中增加一個棋子，這樣一來，三種顏色的格子中的棋子個數(shù)之差的的改變量就是0或2，這就提示我們?nèi)タ紤]在黑白灰各色格中棋子的總數(shù)之間的奇偶關(guān)系，我們發(fā)現(xiàn)，不管進行多少次操作，棋子個數(shù)的奇偶關(guān)系都不會改變，即原來相同的仍然相同，原來不同的仍然不同，若m*n是3的倍數(shù)，則在黑格，白格，灰格中的棋子個數(shù)奇偶性相同，但由于不可能將所有的棋子消去，于是，只可能將棋子的個數(shù)減至2個，于是問題簡單的被解決了。3、不規(guī)則染色法的應(yīng)用問題5現(xiàn)有一個n*m的方陣，下要求滿足能用這個圖形覆蓋方陣的m與n所必須滿足的充要條件？這個問題用我們已經(jīng)用過的方法比較難解出，于是就需要考慮第三種——不規(guī)則染色法，這種染色法需要根據(jù)題目的條件靈活運用。這種方法只能基于不同的題目條件，所以我們必須仔細分析題目中的條件。對于這個問題，首先想到可以將題目所給的圖形進行初始的分析，不難發(fā)現(xiàn)，問題等價于用這個圖形和這個圖形來覆蓋整個方陣。這兩個圖形有什么性質(zhì)呢？先用簡單想到的國際象棋染色法，但不幸的是這個方法沒有成功。那么，為什么不成功呢，這是因為這兩個圖形都是比較對稱的，相對于二色染色的對稱性幾乎是相同的，所以我們要另辟蹊徑。這個圖形在4*4的概念下對稱形有較大的不同，所以我們考慮以4*4位對稱單元的染色方案，在對m，n較小的情況下只有當m或n是12的倍數(shù)時或m*n是8的倍數(shù)時滿足條件，于是我們寄希望以證明對某一種染色方案是這兩種圖形只能覆蓋奇數(shù)個染色方塊，于是我對4*4內(nèi)的染色方案進行枚舉，最后發(fā)現(xiàn)，如右圖的染色法能滿足我們的條件，整體上看是這樣一個效果。無論是第一種圖形還是第二種圖形，都只能在圖中覆蓋奇數(shù)個黑格，于是這個問題有了完備證明。這個問題體現(xiàn)了染色方法的技巧性，而下一個問題能體現(xiàn)染色法之中的優(yōu)與劣。問題6一個國際象棋的棋盤（8*8的正方形），將1到64填入所有的格子中，下進行如下操作，對其中的3*3或4*4的方塊內(nèi)的數(shù)同時加一或同時減一，問能否有一種填法使無論如何操作，都無法將表中的所有數(shù)字全部變?yōu)榱?？這個問題有一定的難度，所有用不規(guī)則染色法來解的問題都有一定的難度，首先考慮最基礎(chǔ)的元素，即3*3的方塊（先考慮3*3的問題），當下面對這類問題有用的染色方案一般能使最基礎(chǔ)的元素具有特殊的特點，較令人期待的是有一部分格子在這類改變下奇偶不變。于是筆者憑直覺對一部分染色方案進行了測試，最先發(fā)現(xiàn)的染色方案如右圖，圖中任何一塊3*3的方塊都包含4個黑格，于是，只要使填在這36個中的數(shù)之和是奇數(shù)，則每次操作都不會改變這個和的奇偶性，于是，這36個格子就不可能全部為零，那么問題的答案就是否定的了。但是這幅圖能否適用于4*4方塊操作的問題呢？答案是否定的。因為4*4的方塊不僅能覆蓋奇數(shù)個黑格，還能覆蓋偶數(shù)個黑格，那么，沒辦法，只能另辟蹊徑。筆者又對一系列染色方案進行了測試，發(fā)現(xiàn)了一種能解決4*4的方案（如右圖），此時，筆者又將3*3的方塊覆蓋于圖上意外地發(fā)現(xiàn)這張圖也能解決3*3時候的操作問題，這究竟是巧合還是有原因的？我仔細分析了一下這張圖，發(fā)現(xiàn)這樣一個特點：這張圖用4*4方塊來分隔以后呈現(xiàn)的是軸對稱，用3*3的方塊來分割的話是平移對稱，兩者又都是中心對稱。這真是一種奇特的性質(zhì)，這導(dǎo)致了使用這種染色策略能夠一舉兩得。這才是染色方案中的佳品。三維染色法的創(chuàng)造如果將二維棋盤推廣為三維棋盤空間，染色法又如何應(yīng)用呢？我自行改編了這樣一個可能性問題。問題1一個9*15*24的三維立方塊，問用這樣的立體圖形（在點的方塊下還有一個方塊）能否組成原立體圖形？三維的染色法比較難設(shè)計，但根據(jù)二維已經(jīng)得到的結(jié)論可以將它推廣致三維，為了達到證明問題的目的，筆者首先來研究一下問題中的最小而又最重要的組成單元。這個組成單元是有兩層構(gòu)成的，上面一層由三個格子，下面一層有一個格子。筆者希望建立一種對應(yīng)關(guān)系，使這種立體圖形在覆蓋時具有一一對應(yīng)的性質(zhì)，在二維中，一般使用雙色染色法來解決問題，筆者發(fā)現(xiàn)在這個立方體中有一個側(cè)面正好是一個雙奇數(shù)的側(cè)面，即雙色染色后黑白格數(shù)不一樣，于是，在二維的基礎(chǔ)上進行推廣，得到了這樣一個三維的染色策略（如右圖）。9在另一維上則相同的復(fù)制24層，這樣就得到了一個完整的9*15*24的長方體。在這種染色方案的幫助下，用題中的三維圖形進行覆蓋時，都將覆蓋2個白格和兩個黑格，而……這張圖中黑格的數(shù)量比白格多24個，從而無法用題中的三維圖形覆蓋。問題15至此得到圓滿解決。最后我來總結(jié)一下方法性的結(jié)論：搞清楚問題的本質(zhì)，即是關(guān)鍵性的元素究竟具有什么樣的性質(zhì)。根據(jù)這些元素的性質(zhì)，盡量選擇對稱性較大的分割。在這些較為明確后，在小范圍里利用枚舉來解決問題。

參考書目：華羅庚數(shù)學(xué)競賽課本（中國大百科全書出版社）奧數(shù)教程1，2，3冊（華師大出版社，2021）大學(xué)組合數(shù)學(xué)基本教程

咖啡店創(chuàng)業(yè)計劃書第一部分：背景在中國，人們越來越愛喝咖啡。隨之而來的咖啡文化充滿生活的每個時刻。無論在家里、還是在辦公室或各種社交場合，人們都在品著咖啡?？Х戎饾u與時尚、現(xiàn)代生活聯(lián)系在一齊。遍布各地的咖啡屋成為人們交談、聽音樂、休息的好地方，咖啡豐富著我們的生活，也縮短了你我之間的距離，咖啡逐漸發(fā)展為一種文化。隨著咖啡這一有著悠久歷史飲品的廣為人知，咖啡正在被越來越多的中國人所理解。第二部分：項目介紹第三部分：創(chuàng)業(yè)優(yōu)勢目前大學(xué)校園的這片市場還是空白，競爭壓力小。而且前期投資也不是很高，此刻國家鼓勵大學(xué)生畢業(yè)后自主創(chuàng)業(yè)，有一系列的優(yōu)惠政策以及貸款支持。再者大學(xué)生往往對未來充滿期望，他們有著年輕的血液、蓬勃的朝氣，以及初生牛犢不怕虎的精神，而這些都是一個創(chuàng)業(yè)者就應(yīng)具備的素質(zhì)。大學(xué)生在學(xué)校里學(xué)到了很多理論性的東西，有著較高層次的技術(shù)優(yōu)勢，現(xiàn)代大學(xué)生有創(chuàng)新精神，有對傳統(tǒng)觀念和傳統(tǒng)行業(yè)挑戰(zhàn)的信心和欲望，而這種創(chuàng)新精神也往往造就了大學(xué)生創(chuàng)業(yè)的動力源泉，成為成功創(chuàng)業(yè)的精神基礎(chǔ)。大學(xué)生創(chuàng)業(yè)的最大好處在于能提高自己的潛力、增長經(jīng)驗，以及學(xué)以致用;最大的誘人之處是透過成功創(chuàng)業(yè)，能夠?qū)崿F(xiàn)自己的理想，證明自己的價值。第四部分：預(yù)算1、咖啡店店面費用咖啡店店面是租賃建筑物。與建筑物業(yè)主經(jīng)過協(xié)商，以合同形式達成房屋租賃協(xié)議。協(xié)議資料包括房屋地址、面積、結(jié)構(gòu)、使用年限、租賃費用、支付費用方法等。租賃的優(yōu)點是投資少、回收期限短。預(yù)算10-15平米店面，啟動費用大約在9-12萬元。2、裝修設(shè)計費用咖啡店的滿座率、桌面的周轉(zhuǎn)率以及氣候、節(jié)日等因素對收益影響較大。咖啡館的消費卻相對較高，主要針對的也是學(xué)生人群，咖啡店布局、格調(diào)及采用何種材料和咖啡店效果圖、平面圖、施工圖的設(shè)計費用，大約6000元左右3、裝修、裝飾費用具體費用包括以下幾種。(1)外墻裝飾費用。包括招牌、墻面、裝飾費用。(2)店內(nèi)裝修費用。包括天花板、油漆、裝飾費用，木工、等費用。(3)其他裝修材料的費用。玻璃、地板、燈具、人工費用也應(yīng)計算在內(nèi)。整體預(yù)算按標準裝修費用為360元/平米，裝修費用共360*15=5400元。4、設(shè)備設(shè)施購買費用具體設(shè)備主要有以下種類。(1)沙發(fā)、桌、椅、貨架。共計2250元(2)音響系統(tǒng)。共計450(3)吧臺所用的烹飪設(shè)備、儲存設(shè)備、洗滌設(shè)備、加工保溫設(shè)備。共計600(4)產(chǎn)品制造使用所需的吧臺、咖啡杯、沖茶器、各種小碟等。共計300凈水機，采用美的品牌，這種凈水器每一天能生產(chǎn)12l純凈水，每一天銷售咖啡及其他飲料100至200杯，價格大約在人民幣1200元上下?？Х葯C，咖啡機選取的是電控半自動咖啡機，咖啡機的報價此刻就應(yīng)在人民幣350元左右，加上另外的附件也不會超過1200元。磨豆機，價格在330―480元之間。冰砂機，價格大約是400元一臺，有點要說明的是，最好是買兩臺，不然夏天也許會不夠用。制冰機，從制冰量上來說，一般是要留有富余?？钪票鶛C每一天的制冰量是12kg。價格稍高550元，質(zhì)量較好，所以能夠用很多年，這么算來也是比較合算的。5、首次備貨費用包括購買常用物品及低值易耗品，吧臺用各種咖啡豆、奶、茶、水果、冰淇淋等的費用。大約1000元6、開業(yè)費用開業(yè)費用主要包括以下幾種。(1)營業(yè)執(zhí)照辦理費、登記費、保險費;預(yù)計3000元(2)營銷廣告費用;預(yù)計450元7、周轉(zhuǎn)金開業(yè)初期，咖啡店要準備必須量的流動資金，主要用于咖啡店開業(yè)初期的正常運營。預(yù)計2000元共計： 120000+6000+5400+2250+450+600+300+1200+1200+480+400+550+1000+3000+450+2000=145280元第五部分：發(fā)展計劃1、營業(yè)額計劃那里的營業(yè)額是指咖啡店日常營業(yè)收入的多少。在擬定營業(yè)額目標時，必須要依據(jù)目前市場的狀況，再思考到咖啡店的經(jīng)營方向以及當前的物價情形，予以綜合衡量。按照目前流動人口以及人們對咖啡的喜好預(yù)計每一天的營業(yè)額為400-800，根據(jù)淡旺季的不同可能上下浮動2、采購計劃依據(jù)擬訂的商品計劃，實際展開采購作業(yè)時，為使采購資金得到有效運用以及商品構(gòu)成達成平衡，務(wù)必針對設(shè)定的商品資料排定采購計劃。透過營業(yè)額計劃、商品計劃與采購計劃的確立，我們不難了解，一家咖啡店為了營業(yè)目標的達成，同時有效地完成商品構(gòu)成與靈活地運用采購資金，各項基本的計劃是不可或缺的。當一家咖啡店設(shè)定了營業(yè)計劃、商品計劃及采購計劃之后，即可依照設(shè)定的采購金額進行商品的采購。經(jīng)過進貨手續(xù)檢驗、標價之后，即可寫在菜單上。之后務(wù)必思考的事情，就是如何有效地將這些商品銷售出去。3、人員計劃為了到達設(shè)定的經(jīng)營目標，經(jīng)營者務(wù)必對人員的任用與工作的分派有一個明確的計劃。有效利用人力資源，開展人員培訓(xùn)，都是我們務(wù)必思考的。4、經(jīng)費計劃經(jīng)營經(jīng)費的分派是管理的重點工作。通常能夠?qū)⒖Х鹊杲?jīng)營經(jīng)費分為人事類費用(薪資、伙食費、獎金等)、設(shè)備類費用(修繕費、折舊、租金等)、維持類費用(水電費、消耗品費、事務(wù)費、雜費等)和營業(yè)類費用(廣告宣傳費、包裝費、營業(yè)稅等)。還能夠依其性質(zhì)劃分成固定費用與變動費用。我們要針對過去的實際業(yè)績設(shè)定可能增加的經(jīng)費幅度。5、財務(wù)計劃財務(wù)計劃中的損益計劃最能反映全店的經(jīng)營成果?？Х鹊杲?jīng)營者在營運資金的收支上要進行控制，以便做到經(jīng)營資金合理的調(diào)派與運用?？傊?，以上所列的六項基本計劃(營業(yè)額、商品采購、銷售促進、人員、經(jīng)費、財務(wù))是咖啡店管理不可或缺的。當然，有一些咖啡店為求管理上更深入，也能夠配合工作實際需要制訂一些其他輔助性計劃。第六部分：市場分析2019-2021年中國咖啡市場經(jīng)歷了高速增長的階段，在此期間咖啡市場總體銷售的復(fù)合增長率到達了17%;高速增長的市場為咖啡生產(chǎn)企業(yè)帶給了廣闊的市場空間，國外咖啡生產(chǎn)企業(yè)如雀巢、卡夫、ucc等企業(yè)紛紛加大了在中國的投資力度，為爭取未來中國咖啡市場的領(lǐng)先地位打下了良好的基礎(chǔ)。咖啡飲料主要是指速溶咖啡和灌裝即飲咖啡兩大類咖啡飲品;在速溶咖啡方面，2018-2021年間中國速溶咖啡市場規(guī)模年均增長率到達16%，顯示出還處于成長階段的中國速溶咖啡市場的高增長性和投資空間;在灌裝即飲咖啡方面，2008-2010年間中國灌裝即飲咖啡市場年均增長率也同樣到達15%;未來幾年，中國咖啡飲料的前景仍將被看好?，F(xiàn)今咖啡店主要是以連鎖式經(jīng)營，市場主要被幾個集團壟斷。但由于幾個集團的咖啡店并沒有個性主題，很難配合講求特式的年青人。我們亦有思考到其他飲品店的市場競爭狀況，但發(fā)現(xiàn)這些類似行業(yè)多不是以自助形式經(jīng)營，亦很難配合講求效率