高三數(shù)學綜合測試題(含答案)

高三數(shù)學試題（理科）一、選擇題(本大題共12小題,每小題5.0分,共60分)1.已知復平面的平行四邊形ABCD中，定點A對應的復數(shù)為i(i是虛數(shù)單位)，向量QUOTEBC對應的復數(shù)為2＋i，則點D對應的復數(shù)為()A．2B．2＋2iC．－2D．－2－2i2.在判斷兩個變量y與x是否相關(guān)時，選擇了4個不同的模型，它們的相關(guān)指數(shù)分別為：模型1的相關(guān)指數(shù)為0.98，模型2的相關(guān)指數(shù)為0.80，模型3的相關(guān)指數(shù)為0.50，模型4的相關(guān)指數(shù)為0.25.其中擬合效果最好的模型是()．A．模型1B．模型2C．模型3D．模型43.設(shè)隨機變量X的分布列如下表，且E(X)＝1．6，則a－b＝()A．0．2B．0．1C．－0．2D．－0．44.若方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有解，則實數(shù)m的取值圍是()A．[－2,2]B．[0,2]C．[－2,0]D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)5.已知圓上9個點，每兩點連一線段，所有線段在圓的交點有()A．36個B．72個C．63個D．126個6.函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1有極值的一個充分而不必要條件是()A．a(chǎn)<0B．a(chǎn)>0C．a(chǎn)<－1D．a(chǎn)<17.若（n∈N*),且,則()A．81B．16C．8D．18.一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a，b，c∈(0,1))，已知他投籃一次得分的均值為2(不計其他得分情況)，則ab的最大值為()A．B．C．D．9.高三畢業(yè)時，甲、乙、丙等五位同學站成一排合影留念，已知甲、乙二人相鄰，則甲、丙相鄰的概率是()A．B．C．D．10.已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如表:假設(shè)根據(jù)如表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為,若某同學根據(jù)表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為,則以下結(jié)論正確的是()A．,B．,C．,D．,11.某人射擊一發(fā)子彈的命中率為0.8，現(xiàn)在他射擊19發(fā)子彈，理論和實踐都表明，在這19發(fā)子彈中命中目標的子彈數(shù)X的概率滿足P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，19)，則他射完19發(fā)子彈后，擊中目標的子彈最可能是()A．14發(fā)B．15發(fā)C．16發(fā)D．15發(fā)或16發(fā)12.函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，若a＋b＋c＝0，導函數(shù)f′(x)滿足f′(0)f′(1)>0，設(shè)f′(x)＝0的兩根為x1，x2，則|x1－x2|的取值圍是()A．B．C．D．第II卷非選擇題二、填空題(本大題共4小題,每小題5.0分,共20分)13.某人從某城市的A地乘公交車到火車站，由于交通擁擠，所需時間(單位：分鐘)X～N(50,)，則他在時間段(30,70]趕到火車站的概率為________．14.如圖(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，則AB2＝BD·BC；若類比該命題，如圖(2)，三棱錐A－BCD中，AD⊥面ABC，若A點在三角形BCD所在平面的射影為M，則有________．15.設(shè)M＝，則M與1的大小關(guān)系是__________．16.若對任意的x∈A，則x∈，就稱A是“具有伙伴關(guān)系”的集合．集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)為________．三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.（本小題共12分）已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)．(1)若x＝是方程的根，求a的值；(2)若x1，x2是方程兩個虛根，且|x1－1|＞|x2|，求a的取值圍．18.（本小題共12分）隨著生活水平的提高，人們的休閑方式也發(fā)生了變化．某機構(gòu)隨機調(diào)查了n個人，其中男性占調(diào)查人數(shù)的.已知男性中有一半的人的休閑方式是運動，而女性只有的人的休閑方式是運動．(1)完成如圖2×2列聯(lián)表：(2)若在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，可認為“休閑方式有關(guān)與性別”，那么本次被調(diào)查的人數(shù)至少有多少？(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，本次被調(diào)查的人中，至少有多少人的休閑方式是運動？參考公式：＝，其中n=a+b+c+d.參考數(shù)據(jù)：19.若n為正整數(shù)，試比較3·2n－1與n2＋3的大小，分別取n＝1,2,3,4,5加以試驗，根據(jù)試驗結(jié)果猜測一個一般性結(jié)論，并用數(shù)學歸納法證明．20.為防止風沙危害，某地決定建設(shè)防護綠化帶，種植樹、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳．各株沙柳的成活與否是相互獨立的，成活率為p，設(shè)ξ為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學期望E(ξ)為3，標準差為.(1)求n和p的值，并寫出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種．求需要補種沙柳的概率．21.已知函數(shù)f(x)＝(ax－x2)ex.(1)當a＝2時，求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在(－1,1]上單調(diào)遞增，求a的取值圍；(3)函數(shù)f(x)是否可為R上的單調(diào)函數(shù)？若是，求出a的取值圍，若不是，說明理由．22.設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－a|＋x.(1)當a＝2時，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立時a的取值圍．

答案解析1.B2.A3.C4.A5.D【解析】此題可化歸為：圓上9個點可組成多少個四邊形，每個四邊形的對角線的交點即為所求，所以，交點有＝126(個)6.C7.A8.D9.C10.C11.D【解析】由≥且≥，解得15≤k≤16，即P(X＝15)＝P(X＝16)最大12.A【解析】由題意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵x1，x2是方程f′(x)＝0的兩個根，∴x1＋x2＝－2b3a，x1·x2＝c3a，∴|x1－x2|2＝(x＋x2)2－4x1·x2＝∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴|x1－x2|2＝4b2-12ac9a2＝49(ba)∵f′(0)·f′(1)>0，f′(0)＝c＝－(a＋b)，且f′(1)＝3a＋2b＋c＝2a＋b，∴(a＋b)(2a＋b)<0，即2a2＋3ab＋b2<0，∵a≠0，兩邊同除以a2，得(ba)2＋3ba＋2<0，解得－2<由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當ba＝－32時，|x1－x2|2有最小值為13，當ba趨于－1時，|x1－x2|故|x1－x2|2∈[13，49)，故|x1－x2|∈[3313.0．954414.S△ABC2＝S△BCM·S15.【答案】M<1【解析】∴M＝＝1.16.【答案】15【解析】具有伙伴關(guān)系的元素組有－1；1；，2；，3；共4組，所以集合M的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴關(guān)系的元素組中的任一組、二組、三組、四組，又集合中的元素是無序的，因此，所求集合的個數(shù)為＋＋＋＝15．17.解(1)已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)，若x＝34＋74i是方程的根，則x＝34(34＋74i)＋(34-74i)＝a，解得(2)x1，x2是方程x2－ax＋1＝0的兩個虛根，不妨設(shè)x1＝a-4-a2i2，x2|x1－1|＞|x2|，∴(a2－1)2＋(－4-a22)2＞(a2)2∴a＜1.綜上，－2＜a＜1.18.【解】(1)依題意，被調(diào)查的男性人數(shù)為，其中有人的休閑方式是運動；被調(diào)查的女性人數(shù)為，其中有人的休閑方式是運動，則2×2列聯(lián)表如圖。(2)由表中數(shù)據(jù)，得＝，要使在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為“性別與休閑方式有關(guān)”，則≥3.841，∴≥3.841，解得n≥.276.又n∈N*且∈N*，∴n≥140，即本次被調(diào)查的人數(shù)至少是140.(3)由(2)可知，140×＝56，即本次被調(diào)查的人中，至少有56人的休閑方式是運動．19.解當n＝1時，3·2n－1＜n2＋3；n＝2時，3·2n－1＜n2＋3；n＝3時，3·2n－1＝n2＋3；n＝4時，3·2n－1＞n2＋3；n＝5時，3·2n－1＞n2＋3；猜想：當n≥4且n∈N*時，3·2n－1＞n2＋3.證明：當n＝4時，3·2n－1＞n2＋3成立，假設(shè)當n＝k(k≥4且k∈N*)時，3·2k－1＞k2＋3成立，則當n＝k＋1時，左式＝3·2k＝2·3·2k－1＞2(k2＋3)，右式＝(k＋1)2＋3，因為2(k2＋3)－[(k＋1)2＋3]＝k2－2k＋2＝(k－1)2＋1＞0，所以，左式＞右式，即當n＝k＋1時，猜想也成立．綜上所述，當n≥4且n∈N*時，3·2n－1＞n2＋3成立．20.【解】由題意知，ξ服從二項分布B(n，p)，P(ξ＝k)＝，k＝0,1，…，n.(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，得1－p＝，從而n＝6，p＝.ξ的分布列為(2)記“需要補種沙柳”為事件A，則P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝，或P(A)＝1－P(ξ＞3)＝1－＝.所以需要補種沙柳的概率為.21.【解】(1)當a＝2時，f(x)＝(2x－x2)ex.f′(x)＝(2－2x)ex＋(2x－x2)ex＝(2－x2)ex，令f′(x)≤0，即2－x2≤0，解得x≤－2或x≥2，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－2)和(2，＋∞)．(2)函數(shù)f(x)在(－1,1]上單調(diào)遞增，所以f′(x)≥0，對于x∈(－1,1]都成立，即f′(x)＝[a＋(a－2)x－x2]ex≥0，對于x∈(－1,1]都成立，故有a≥x2+2xx+1＝x令g(x)＝x＋1－1x+1，則g′(x)＝1＋1故g(x)在(－1,1]上單調(diào)遞增，g(x)max＝g(1)＝32所以a的取值圍是[32(3)假設(shè)f(x)為R的上單調(diào)函數(shù)，則為R的上單調(diào)遞增函數(shù)或單調(diào)遞減函數(shù)．①若函數(shù)f(x)為R上單調(diào)遞增函數(shù)，則f′(x)≥0，對于x∈R都成立，即[a＋(a－2)x－x2]ex≥0恒成立．由ex>0，x2－(a－2)x－a≤0對于x∈R都恒成立，由h(x)＝x2－(a－2)x－a是開口向上的拋物線，則h(x)≤0不可能恒成立，所以f(x)不可能為R上的單調(diào)增函數(shù)．②若函數(shù)f(x)為R上單調(diào)遞減函數(shù)，則f′(x)≤0，對于x∈R都成立，即[a＋(a－2)x－x2]ex≤0恒成立，由ex>0，x2－(a－2)x－a≥0對于x∈R都恒成立，故由Δ＝(a－2)2＋4a≤0，整理得a2＋4≤0，顯然不成