高能物理過程的精確計算

高能物理過程的精確計算2023/4/21第一頁，共四十二頁，2022年，8月28日1.引言標準模型的檢驗

W，Z，top等粒子的物理特性的精確測量…Higgs粒子的尋找與測量

Higgs粒子是否存在

Higgs粒子的物理特性是否是標準模型的Higgs粒子新物理的發(fā)現(xiàn)與精確測量

超對稱，額外維，小Higgs模型…等新模型的發(fā)現(xiàn)；模型參數(shù)測量2023/4/22第二頁，共四十二頁，2022年，8月28日高能對撞機Tevatron(running)

com:

1.96

TeV

PPbarlumi:

2E32

cm-2s-1

CDF,D0LHC(2007)

com:

14

TeV

PPlumi:

2E33

cm-2s-1@lowluminisity,then2E34

cm-2s-1

ATLAS，CMS，LHCb，AliceLC(inthefuture)e+e-collisionandgamma-gammacollision,ore-gammacollision

NLC,JLC,TESLA,CLIC2023/4/23第三頁，共四十二頁，2022年，8月28日大量費曼圖的計算；標量積分函數(shù)的計算；張量積分函數(shù)推導(dǎo)為標量積分函數(shù)的計算；控制數(shù)值計算的精度。多體末態(tài)!高精度！理論上高精度計算存在的四個主要問題:2023/4/24第四頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.量子場論計算的基礎(chǔ)知識可觀測量O的期望值:其中為過程的矩陣元（動力學部分）為相空間體積元2023/4/25第五頁，共四十二頁，2022年，8月28日a)費曼規(guī)則:費曼圖數(shù)學表達式

圖形與幅度的轉(zhuǎn)換過程是按照費曼圖圖形技術(shù)中所對應(yīng)的規(guī)則進行的;外線對應(yīng)自由波函數(shù)，內(nèi)線對應(yīng)著傳播函數(shù)，頂點對應(yīng)相互作用頂點。例:費米子傳播函數(shù)的規(guī)則和三膠子作用頂點的規(guī)則：

2023/4/26第六頁，共四十二頁，2022年，8月28日例：矩陣元其中2023/4/27第七頁，共四十二頁，2022年，8月28日二階張量圈圖積分函數(shù)部分：矩陣元中剩余部分：標量積分函數(shù)：2023/4/28第八頁，共四十二頁，2022年，8月28日b)IR和UV發(fā)散的正規(guī)化

k0,IR發(fā)散!kinf,UV發(fā)散!維數(shù)正規(guī)化方案（n=4-2）

UV發(fā)散的l圈圖積分函數(shù)則出現(xiàn)最高達階極點項。

IR發(fā)散的l圈圖積分函數(shù)則可以出現(xiàn)直到階的極點項。2023/4/29第九頁，共四十二頁，2022年，8月28日c)

N條外線過程的NLO計算含膠子、光子或輕夸克輻射的N+1條外線樹圖的對應(yīng)幅度產(chǎn)生；實(膠子、光子、輕夸克)輻射過程軟、共線發(fā)散的分離；PDF抵消項貢獻中紅外發(fā)散(共線發(fā)散)的分離；N條外線單圈圖(包括抵消項圖)的對應(yīng)幅度的產(chǎn)生；計算單圈圖，分離出軟、共線發(fā)散；將上述貢獻相加，消除紫外及紅外發(fā)散；有限貢獻的幅度數(shù)值計算。2023/4/210第十頁，共四十二頁，2022年，8月28日3.單圈標量積分函數(shù)計算

n（=4-2）維下費曼圖對應(yīng)的幅度可以表示為對張量積分函數(shù)與外部張量S的乘積求和，即其中S只與外線運動學相關(guān)．2023/4/211第十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日

I的一般形式為：

對應(yīng)于對稱張量組合．例如：標量系數(shù)可以通過Passarino-Veltman方法求出．它們由標量積分函數(shù)表示出．上述即為張量積分的約化過程。

2023/4/212第十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日（1）標量A,B,C,D圈積分函數(shù)定義;

其中:2023/4/213第十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日（2)基本標量積分函數(shù)計算:

以為例來說明標量函數(shù)的計算。1）Feynman或Schwiger參數(shù)化.Feynman參數(shù)化

Schwiger參數(shù)化2）積分變量平移.

定義:

2023/4/214第十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日3）Wick旋轉(zhuǎn).4）D維歐氏空間的球坐標變換.2023/4/215第十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日5）角向及徑向積分.

作變換：

并對徑向作積分：有：角向積分：2023/4/216第十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日（3）A,B標量積分函數(shù)的解析結(jié)果：G.'tHooftandM.Veltman,NLB153,365(1979)

2023/4/217第十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日對標量五點積分函數(shù)：

(A.DennerandS.Dittmaier,hep-ph/0212259)

(4)五點標量函數(shù)計算:2023/4/218第十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日(5)六點標量積分函數(shù)計算:Guo方法：定義5點和6點標量積分函數(shù)：并用表示消去傳播子后得到的5點函數(shù)。2023/4/219第十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日定選擇系數(shù)，使得：?。?023/4/220第二十頁，共四十二頁，2022年，8月28日得到：其中，為Gram行列式。Binoth的方法：其中：2023/4/221第二十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日2023/4/222第二十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日4.張量積分函數(shù)計算(1)Passarino-Veltman方法：

例如，對于3點2階張量積分：N點p階張量積分：利用下面的性質(zhì)降階：2023/4/223第二十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日其中：三、四、五點張量積分函數(shù)推導(dǎo)中出現(xiàn)的Gram矩陣分別為：

將p階的N點張量積分函數(shù)系數(shù)表示為低階張量的N點和N-1,N-2,…的積分函數(shù)系數(shù)。降階過程中會出現(xiàn)Gram矩陣求逆。遞歸地采用PV方法，解線性方程組，最終將張量積分函數(shù)系數(shù)表示為標量積分函數(shù)。2023/4/224第二十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日小結(jié)：該方法原則上適用于所有1，2，3，4，5點張量多點積分函數(shù)的計算。這種方法會出現(xiàn)Gram矩陣求逆，當Gram行列式值很小時會產(chǎn)生積分函數(shù)數(shù)值計算的不穩(wěn)定性。四點以下（含四點）積分函數(shù)數(shù)值計算中Gram行列式值很小的區(qū)域僅僅出現(xiàn)在相空間的邊緣附近（如前后向區(qū)，閾值附近）。5點積分函數(shù)數(shù)值計算中Gram行列式值很小的區(qū)域可能出現(xiàn)在相空間中間。2023/4/225第二十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日(2)Denner-Dittmaier方法:（hep-ph/0212259）2023/4/226第二十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日矢量積分：2階張量積分：2023/4/227第二十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日3階張量積分：2023/4/228第二十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日該方法避免出現(xiàn)Gram矩陣求逆的計算。2023/4/229第二十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日5.

六點張量積分的計算（1）Guo方法：利用上式將6點張量積分化為5點同階及低階張量積分。得到的5點張量積由Denner-Dittmaier方法化為5點及更低點標量積分的計算。2023/4/230第三十頁，共四十二頁，2022年，8月28日2023/4/231第三十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日(2)Denner-Dittmaier方法：

(hep-ph/0509141)6點張量積分:2023/4/232第三十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日張量積分的系數(shù)為:2023/4/233第三十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日6.IR發(fā)散的分離（Nucl.Phys.B675(2003)447）

定義變量：一條無質(zhì)量外線粒子連接兩條無質(zhì)量的內(nèi)線傳播子，設(shè)外線動量為類光四矢量：發(fā)散發(fā)生在此時傳播子n的動量與外線的動量在共線位形上，因此這種發(fā)散稱為共線發(fā)散。2023/4/234第三十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日兩個在殼的粒子間交換一個無質(zhì)量的粒子，此時發(fā)散發(fā)生在，傳播子n的動量，因此這種發(fā)散稱為軟發(fā)散。2023/4/235第三十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日圈積分中的紅外發(fā)散的分離:為了得到維數(shù)正規(guī)化方案下的標量圈積分的表達式，將一個圈積分劃分為有限部分和發(fā)散部分。其中有限部分的計算是與正規(guī)化方案無關(guān)，我們可以用標準的程序包FF在質(zhì)量正規(guī)化方案下計算。而發(fā)散部分可以用相應(yīng)的3點積分表示。

發(fā)散部分的計算：

其中對于共線發(fā)散：2023/4/236第三十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日

對于軟發(fā)散：例:五點圖發(fā)散部分的計算2023/4/237第三十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日

根據(jù)前面的公式計算出相應(yīng)不為零的3點函數(shù)的系數(shù)：2023/4/238第三十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日最后得到該五點函數(shù)的