概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第七章 參數(shù)估計

第7章參數(shù)估計總體所服從的分布類型已知/未知估計總體中未知的參數(shù)參數(shù)估計抽樣現(xiàn)在是1頁\一共有62頁\編輯于星期五

參數(shù)估計問題是利用從總體抽樣得到的信息來估計總體的某些參數(shù).參數(shù)估計估計廢品率估計新生兒的體重估計湖中魚數(shù)現(xiàn)在是2頁\一共有62頁\編輯于星期五點估計§7.1現(xiàn)在是3頁\一共有62頁\編輯于星期五點估計X1,X2,…,Xn現(xiàn)從該總體抽樣，得到樣本設有一個統(tǒng)計總體，總體的分布函數(shù)向量).為F(x,)，其中為未知參數(shù)(可以是從樣本出發(fā)構(gòu)造適當?shù)慕y(tǒng)計量作為參數(shù)的估計量，即點估計。將 代入估計量，得到的估計值現(xiàn)在是4頁\一共有62頁\編輯于星期五點估計矩估計極大似然估計關鍵問題：如何構(gòu)造統(tǒng)計量?現(xiàn)在是5頁\一共有62頁\編輯于星期五矩估計樣本k階原點矩總體k階原點矩矩估計基本思想:用樣本矩估計總體矩.大數(shù)定律：K.皮爾遜現(xiàn)在是6頁\一共有62頁\編輯于星期五設總體的分布函數(shù)中含有k個未知參數(shù)(1)它的前k階原點矩都是這k個參數(shù)的函數(shù),記為：(2)用樣本i階原點矩替換總體i階原點矩現(xiàn)在是7頁\一共有62頁\編輯于星期五(3)解方程組，得

θi=hi(X1,X2,…,Xn)(i=1,2,…,k);則以hi(X1,X2,…,Xn)作為θi的估計量，并稱hi(X1,X2,…,Xn)為θi的矩法估計量，而稱hi(x1,x2,…,xn)為θi的矩法估計值?，F(xiàn)在是8頁\一共有62頁\編輯于星期五總體期望、方差的矩估計量分別是樣本均值和樣本二階中心矩。例1.設總體X的數(shù)學期望和方差分別是μ,σ2

，求μ,σ2的矩估計量。現(xiàn)在是9頁\一共有62頁\編輯于星期五例2:已知某產(chǎn)品的不合格率為p,有簡單隨機樣本X1,X2,…,

Xn求p的矩估計量。解：E(X)=p.現(xiàn)在是10頁\一共有62頁\編輯于星期五例3：設電話總機在某段時間內(nèi)接到呼喚的次數(shù)服從參數(shù)λ未知的泊松分布，現(xiàn)在收集了如下42個數(shù)據(jù)：接到呼喚次數(shù)012345出現(xiàn)的頻數(shù)71012832求未知參數(shù)λ的矩估計?，F(xiàn)在是11頁\一共有62頁\編輯于星期五例4.X~U(a,b),由簡單隨機樣本X1,X2,…,

Xn求a,b的矩估計量。解：E(X)=(a+b)/2,D(X)=(b-a)2/12.現(xiàn)在是12頁\一共有62頁\編輯于星期五

矩法的優(yōu)點是簡單易行,并不需要事先知道總體是什么分布.缺點是，當總體類型已知時，沒有充分利用分布提供的信息.矩法特點分析：現(xiàn)在是13頁\一共有62頁\編輯于星期五極大似然估計

例：設一箱中裝有若干個白色和黑色的球，已知兩種球的數(shù)目之比為3:1或1:3，現(xiàn)有放回地任取3個球，有兩個白球，問：白球所占的比例p是多少？現(xiàn)在是14頁\一共有62頁\編輯于星期五

如果只知道0<p<1,并且實測記錄是X=k(0≤k≤n),又應如何估計p呢?若總體分布已知，對于樣本值，選取適當?shù)膮?shù)，使樣本值出現(xiàn)的概率最大，這種估計方法就是極大似然估計法?，F(xiàn)在是15頁\一共有62頁\編輯于星期五極大似然估計法設總體X的分布律或概率密度為f(x;?),θ=(θ1,θ2,…,θk)是未知參數(shù)，X1,X2,…,Xn是總體X的樣本，則稱X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布律或概率密度函數(shù)為樣本的似然函數(shù)，簡記為L(θ)?，F(xiàn)在是16頁\一共有62頁\編輯于星期五對于固定的樣本觀測值x1,x2,…,xn。如果有現(xiàn)在是17頁\一共有62頁\編輯于星期五例1.設總體X~N(μ,σ2)，其中μ,σ2是

未知參數(shù)。求μ,σ2的極大似然估計?，F(xiàn)在是18頁\一共有62頁\編輯于星期五現(xiàn)在是19頁\一共有62頁\編輯于星期五求極大似然估計量的步驟：(1)根據(jù)f(x;θ)，寫出似然函數(shù)(2)對似然函數(shù)取對數(shù)(3)寫出方程若方程有解，求出L(θ)的最大值點

現(xiàn)在是20頁\一共有62頁\編輯于星期五例3.已知某產(chǎn)品的不合格率為p,有簡單隨機樣本X1,X2,…,

Xn，求p的極大似然估計量。若抽取100件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)10件次品，試估計p.例2.設總體X服從參數(shù)λ>0的泊松分布，求參數(shù)λ的極大似然估計量?，F(xiàn)在是21頁\一共有62頁\編輯于星期五例4.設X1,X2,…,Xn為取自總體X~U(a,b)的樣本,求a,b的極大似然估計量.

現(xiàn)在是22頁\一共有62頁\編輯于星期五回顧：

設X1,X2,…Xn是取自總體X的一個樣本求的矩估計量和極大似然估計量.其中

>0,解：(1)矩估計現(xiàn)在是23頁\一共有62頁\編輯于星期五(2)極大似然估計現(xiàn)在是24頁\一共有62頁\編輯于星期五§7.2點估計量的評價標準

現(xiàn)在是25頁\一共有62頁\編輯于星期五評價一個估計量的好壞，不能僅僅依據(jù)一次試驗的結(jié)果，而必須由多次試驗結(jié)果來衡量.即確定估計量好壞必須在大量觀察的基礎上從統(tǒng)計的意義來評價。常用的幾條標準是：1．無偏性2．有效性3．一致性現(xiàn)在是26頁\一共有62頁\編輯于星期五一、無偏性則稱為的無偏估計.設是未知參數(shù)的估計量，若現(xiàn)在是27頁\一共有62頁\編輯于星期五則稱較有效.都是參數(shù)的無偏估計量，若有設和二、有效性現(xiàn)在是28頁\一共有62頁\編輯于星期五例1：設X1,X2,X3是來自某總體X的樣本，且E(X)=μ,討論μ的以下估計量的無偏性和一致性?，F(xiàn)在是29頁\一共有62頁\編輯于星期五例2：設X1,X2,…,Xn是來自某總體X的樣本，且,判斷的矩估計量是否是無偏估計?，F(xiàn)在是30頁\一共有62頁\編輯于星期五三、一致性(相合性)是參數(shù)的估計量，若有設則稱 是參數(shù)的一致估計量.現(xiàn)在是31頁\一共有62頁\編輯于星期五切比雪夫大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律現(xiàn)在是32頁\一共有62頁\編輯于星期五§7.3區(qū)間估計現(xiàn)在是33頁\一共有62頁\編輯于星期五置信區(qū)間定義：則稱區(qū)間是θ

的置信度為

的置信區(qū)間.分別稱為置信下限和置信上限.滿足設θ是一個待估參數(shù)，給定若由樣本X1,X2,…Xn確定的兩個統(tǒng)計量現(xiàn)在是34頁\一共有62頁\編輯于星期五正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計§7.4現(xiàn)在是35頁\一共有62頁\編輯于星期五期望的區(qū)間估計

σ2已知時μ的置信區(qū)間

σ2未知時μ的置信區(qū)間2.求方差的區(qū)間估計

μ已知時σ2的置信區(qū)間

μ未知時σ2的置信區(qū)間單正態(tài)總體四種類型的區(qū)間估計現(xiàn)在是36頁\一共有62頁\編輯于星期五已知方差，求期望的區(qū)間估計例1：隨機地從一批服從正態(tài)分布N(μ,0.022)的零件16個，分別測得其長度為：2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11估計該批零件的平均長度μ，并求μ的置信區(qū)間(α=0.05)現(xiàn)在是37頁\一共有62頁\編輯于星期五求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間.設X1,…Xn是取自的樣本，查正態(tài)分布表得使現(xiàn)在是38頁\一共有62頁\編輯于星期五例1：隨機地從一批服從正態(tài)分布N(μ,0.022)的零件16個，分別測得其長度為：2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11估計該批零件的平均長度μ，并求μ的置信區(qū)間(α=0.05)解：μ的置信區(qū)間為(2.115,2.135).現(xiàn)在是39頁\一共有62頁\編輯于星期五求置信區(qū)間的步驟(1)構(gòu)造僅與待估參數(shù)θ有關，但分布已知的函數(shù)U；(2)給定置信度1-α，得常數(shù)a,b，使

P{a<U<b}=1-α；(3)將a<U<b變形，使得：(4)結(jié)論現(xiàn)在是40頁\一共有62頁\編輯于星期五方差未知，求期望的區(qū)間估計例2：隨機地從一批服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的零件16個，分別測得其長度為：2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11估計該批零件的平均長度μ，并求μ的置信區(qū)間(α=0.05)現(xiàn)在是41頁\一共有62頁\編輯于星期五使查t分布表得求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間.設X1,…Xn是取自的樣本，現(xiàn)在是42頁\一共有62頁\編輯于星期五例1：用一個儀表測量某物理量9次，得到樣本均值為56.32，樣本標準差為0.22.測量標準差σ反映了測量儀表的精度，試求σ的置信水平為0.95的置信區(qū)間。μ未知,求方差的區(qū)間估計例2：假設某地區(qū)18~25歲女青年身高現(xiàn)抽取30名，樣本均值為158cm,樣本方差為(5cm)2，求σ2的置信水平為95%的區(qū)間估計?，F(xiàn)在是43頁\一共有62頁\編輯于星期五求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間.設X1,…Xn是取自的樣本，確定分位數(shù)使現(xiàn)在是44頁\一共有62頁\編輯于星期五例2：假設某地區(qū)18~25歲女青年身高現(xiàn)抽取30名，樣本均值為158cm,樣本方差為(5cm)2，求σ2的置信水平為95%的區(qū)間估計?，F(xiàn)在是45頁\一共有62頁\編輯于星期五例3：隨機地從一批服從正態(tài)分布N(2.12,σ2)的零件16個，分別測得其長度為：2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11試求σ2的置信水平為0.95的置信區(qū)間。μ已知,求方差的區(qū)間估計

現(xiàn)在是46頁\一共有62頁\編輯于星期五求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間.設X1,…Xn是取自的樣本，μ已知確定分位數(shù)使現(xiàn)在是47頁\一共有62頁\編輯于星期五例4.對飛機的飛行速度進行15次獨立試驗，測得飛機的最大飛行速度(單位：m/s)如下：422.2418.7425.6420.3425.8423.1431.5428.2438.3434.0411.3417.2413.5441.3423.0假設飛機最大飛行速度服從求最大飛行速度的方差的置信度為0.90的置信區(qū)間。解：σ2的置信區(qū)間為(41.407010,142.549270).現(xiàn)在是48頁\一共有62頁\編輯于星期五雙總體設總體X~N(μ1,σ12)，總體Y~N(μ2,σ22)，X1,X2,…,Xm來自X，Y1,Y2,…,Yn來自Y，且兩樣本相互獨立。均值差μ1-μ2的區(qū)間估計方差比σ12/σ22的區(qū)間估計現(xiàn)在是49頁\一共有62頁\編輯于星期五例1.設甲乙兩地區(qū)女青年身高分別服從 分布。甲地區(qū)抽取100名，樣本均值為163cm；乙地區(qū)抽取100名，樣本均值為160cm,求的置信水平為90%的置信區(qū)間?，F(xiàn)在是50頁\一共有62頁\編輯于星期五σ1,σ2已知時,μ1-μ2的置信區(qū)間即得μ1-μ2的置信區(qū)間現(xiàn)在是51頁\一共有62頁\編輯于星期五例2：今抽樣甲乙兩地區(qū)18~25歲女青年身高的數(shù)據(jù)如下：甲地區(qū)抽取50名,樣本均值為163cm,樣本標準差為4cm;乙地區(qū)抽取50名,樣本均值為160cm,樣本標準差為3cm。假設身高均服從正態(tài)分布并具有公共方差，求的置信水平為90%的置信區(qū)間?，F(xiàn)在是52頁\一共有62頁\編輯于星期五σ1,σ2未知,但σ1=σ2=σ時,μ1-μ2的置信區(qū)間現(xiàn)在是53頁\一共有62頁\編輯于星期五μ1-μ2的置信區(qū)間：現(xiàn)在是54頁\一共有62頁\編輯于星期五σ1,σ2未知,且σ1≠σ2，但容量m,n很大時,

μ1-μ2的置信區(qū)間現(xiàn)在是55頁\一共有62頁\編輯于星期五例7：兩位化驗員A,B獨立對某種化合物的含氯量用相同方法各作了10次測量，測量的樣本方差分別為S12=0.5419,S22=0.6065，設A,B所測量值總體為X,Y，并且均服從正態(tài)分布，方差分別為例8：假設人體身高服從正態(tài)分布，今抽樣甲乙兩地區(qū)18~25歲女青年身高的數(shù)據(jù)如下：甲地