習(xí)題及答案未

［3-1］基本微分方程中沒有包含水的密度，為什么說它表示了質(zhì)量守恒定律?答：首先，連續(xù)性方程：-［雪+冬+當(dāng)］-△y△"=觸n瓜△y△/表達了滲流區(qū)內(nèi)任何一個“局部”所必須滿足的質(zhì)量守恒定律，且各種研究地下水運動的微分方程都是根據(jù)連續(xù)性方程和反映動量守恒定律的方程（如Darcy定律）建立起來的。其次，在基本微分方程，如承壓水運動微分方程中：ayIah

ayI它表明單位時間內(nèi)流入、流出單位體積含水層的水量差等于同一時間內(nèi)單位體積含水層彈性釋放（或彈性貯存）的水量。它還通過應(yīng)用Darcy定律反映了地下水運動中的能量守恒與轉(zhuǎn)化關(guān)系?？梢姡疚⒎址匠瘫磉_了滲流區(qū)中任何一個“局部”都必須滿足質(zhì)量守恒和能量守恒定律。這一結(jié)論也適用于半承壓水運動和潛水運動的基本微分方程。最后，由：R=—dVb+dV=apg+nppg=pgQ+n0），所以在各基本微分方程當(dāng)中，水的密度的影響是通過貯水率心來表達的。［3-2］推導(dǎo)滲流的連續(xù)性方程、承壓水運動的基本微分方程、半承壓水運動的基本微分方程、潛水運動的基本微分方程（選做其二）。答：（1）連續(xù)性方程：設(shè)在充滿液體的滲流區(qū)內(nèi)，以p（x，y，z）點為中心取一無限小的平行六面體（其各邊長度分別為△x，△y，△z，且和坐標(biāo)軸平行）作為均衡單元體（圖1）。z圖1z圖1均衡單元體如p（x…z）點沿坐標(biāo)軸方向的滲流速度分量為如p（x…z）點沿坐標(biāo)軸方向的滲流速度分量為vx、vy、vz，液體密度為通過abcd面，在△t時間內(nèi)流入的水流質(zhì)量pvx］可利用Taylor級數(shù)求得：p，那么，同理pvAyAzAt=x1pv- 3Vx'AxAyAzAtx2ax(1.1)可求出通過右側(cè)Q?C，d面流出的質(zhì)量為(1.2)1a(pv)^1pv+ AxAyAzAtx2ax因此沿l軸方向流入和流出單元體的質(zhì)量差為:AxAyAz>At=-AxAyAzAtax同理（1.3）同理可以寫出沿y軸方向和沿z軸方向流入和流出這個單元體的液體質(zhì)量差，分別為："yAAyAzAt和-'"z'AxAyAzAtay az因此在^t時間內(nèi)，流入與流出這個單元體的總質(zhì)量差為:4因此在^t時間內(nèi)，流入與流出這個單元體的總質(zhì)量差為:4v)a(pv)—+ayAxAyAzAt（1.4）在均衡單元體內(nèi)，液體所占的體積為n△x△y△z，其中n為孔隙度。相應(yīng)的，單元體內(nèi)的液體質(zhì)量為^n△x△y△z。因此，在△t時間內(nèi)，單元體內(nèi)液體質(zhì)量的變化量為:（1.5）—tpnAxAyAz1At（1.5）在連續(xù)流條件下（滲流區(qū)充滿液體等），根據(jù)質(zhì)量守恒定律，兩者應(yīng)該相等。因此，a(pva(pv)a^pv)a(pv) x-+ + z-d.xAxAyAz'—[pnAxAyAz1

at（1.6）式（1.6）即為滲流的連續(xù)性方程。（2）承壓水運動的基本微分方程：假設(shè)，地下水流動主要是沿水平面方向進行，垂直流速可以忽略，只考慮垂向壓縮。于是，只有水的密度/、孔隙度n和單元體高度△z三個量隨壓力而變化，（1.6）式的右端可改寫成；—[pnAx—[pnAxAyAz1at=「淤z喈+pAzG-n釁+必zp喈=pQ+nP)apAxAyAzAxAy（2.1）于是連續(xù)性方程（1.6）變?yōu)?d(pv)d于是連續(xù)性方程（1.6）變?yōu)?d(pv)d(pv)d(pv) + y—+ z—AxAyAz=pQ+nP)—AxAyAzdt因為水頭H=z+'，故有:

ydpdt=pgdHpdp

dtpdt.dV將dp=-pv=ppdp式代入上式得;因為水的壓縮性很小，1-6k,1所以dp dH一Mpg——dt dt將（2.5）式代入（2.2）式，得:'dvdvd'dvdvdv x+ y+ z、dxdydzIdp dpv—-+v—-+v、xdx ydydpI zdzAxAyAz（2.6）二p2g(a+np)"^AxAyAzdt于是(2.6于是(2.6)式變?yōu)?同時dvxdx同時dvxdxdv dv+y+zdy dzAxAyAz=pgQ+nP)°"AxAyAzdt（2.7）根據(jù)Darcy定律在各向同性介質(zhì)中，有:（2.8）將式（2.8）代入式（2.7），得:d（2.8）將式（2.8）代入式（2.7），得:d+dy根據(jù)貯水率的定義，上式可改寫為:AxAyAz=pgQ+nP)°"AxAyAz(2.9)

dtdyIdy)AxAyAz（2.10）=-嗯整理上式，得:d.xay)d.xay)ah二hksat(2.11)上述方程就是承壓水非穩(wěn)定運動的基本微分方程。(3)半承壓水運動的基本微分方程：近似地認為水基本上是垂直地通過弱透水層，折射900后在主承壓含水層中基本上是水平地流動的，主含水層中的水流可近似地作二維流問題來處理，水頭看作是整個含水層厚度上水頭的平均值，即：H=H(x,y,t)=—IMH(x,y,z,t)dz (3.1)M0為簡化起見，在以后敘述中略去H上方的橫杠。同時假設(shè)和主含水層釋放的水及相鄰含水層的越流量相比，弱透水層本身釋放的水量小到可以忽略不計。由圖2所示的均衡單元體，根據(jù)水均衡原理可以寫出下列形式的連續(xù)性方程fQ鼻fQ鼻學(xué)]Ixax2)Qy-率Ay\yyy))-fQ耳Ax]Ixax2)-Qy+崇三vyyy))a,( ) ah.At+卬一v)Ax,AyAt=h* AxAyAt21 at式中：v1式中：v1、v2分別為通過上部和下部弱透水層的垂直越流速率或越流強度，即v1vv1v2TOC\o"1-5"\h\z=—K 1=K 1(3.3)az 1m(3.3)1aH H-H=—K 2-=Kaz 2式中：m1和m2分別為厚度為M的承壓含水層上、下的弱透水層厚度，0和K2分別為承壓含水層上、下弱透水層的滲透系數(shù)。H1(x,y,t)和H2(x,y,t)分別為上含水層(圖中為潛水含水層)和下含水層(圖中為下承壓含水層)中的水頭，如以T表示主含水層的導(dǎo)水系數(shù)，Q=—Tx(3.4)ayAayAx圖2半承壓含水層中的均衡單元體ay圖2半承壓含水層中的均衡單元體2Ax~2箸卜小aH卜kaxJayIay) 1aH=u* at（3.5）把式（3.4）代入式（3.2箸卜小aH卜kaxJayIay) 1aH=u* at（3.5）這就是不考慮弱透水層彈性釋水條件下非均質(zhì)各向同性越流含水層中非穩(wěn)定運動的基本微分方程。（4）潛水運動的基本微分方程：潛水面是個自由面，相對壓強p=0。對整個含水層來說，可以不考慮水的壓縮性。先考慮一維問題。取平行于xoz平面的單位寬度進行研究。在滲流場內(nèi)取一土體，它的上界面是潛水面，下界面為隔水底板，左右為二個相星叢x的垂直斷面。上斷面流入的流量aqAx aqAx為qT ,下斷面流出的流量為q+Tk，設(shè)單位時間、單位面積上垂向補給含水層ax2 ax2的水量為W（入滲補給或其它人工補給取正值，蒸發(fā)等取負值）。在△t時間內(nèi)，從上游流入和由下游流出的水量差，根據(jù)Dupuit假設(shè)為:aq.. a。h)..AxAt=-xAxAt(4.1)ax ax(4.1)在^t時間內(nèi)，垂直方向的補給量為W△x△t。因此，△t時間內(nèi)小土體中水量總的變化為：+WAxAta(vh)

x-

+WAxAt 一，一，，、小人、一一一，，…，dH 一小土體內(nèi)水量的變化必然會引起潛水面的升降。設(shè)潛水面變化的速率為況，則在△△時間內(nèi)，由于潛水面變化而引起的小土體內(nèi)水體積的增量為:R里AxAt

dt當(dāng)潛水面上升時〃為飽和差，下降時為給水度，此時忽略了水和固體骨架彈性貯存的變化。d(d(vh) 關(guān)—dx（4.2）+WAxAt=i1dHAxAtd（4.2）v=-K——xdx代入上式，得;H=H(x)W

+——=

W

+——=

K1dHK~dt（4.3）上式為有入滲補給的潛水含水層中地下水非穩(wěn)定運動的基本方程（沿x方向的一維運動），通常稱為Boussinesq方程。在二維運動情況下，可用類似方法導(dǎo)出相應(yīng)的方程為:dH)dH)W一十—二dyJK1dHK~dt(4.4)當(dāng)隔水層水平時，上式中h=H。對于非均質(zhì)含水層，Boussinesq方程有如下形式:dH

dt(4.5)d(dH

dt(4.5)+—Kh +W=1dIdJBoussinesq方程是研究潛水運動的基本微分方程。[3-3]為什么初始時刻可以任意選定，不一定選用地下水的原始狀態(tài)?答：所謂初始條件，就是給定某一選定時刻（通常表示為=0）滲流區(qū)內(nèi)各點的水頭值，用于表明所研究實際問題的特定條件。所以，利用滲流區(qū)內(nèi)已知的水頭H的分布情況，即可以作為初始時刻。[3-4]為什么可以根據(jù)具體條件任意用一個區(qū)作為計算區(qū)，它的周界就作為邊界？答：邊界條件，即滲透區(qū)邊界所處的條件，用來表示水頭H（或滲流量q）在滲流區(qū)邊界上所應(yīng)滿足的條件，也就是滲流區(qū)內(nèi)水流與其周圍環(huán)境相互制約的關(guān)系。邊界條件和初始條件合稱定解條件。一個描述某實際問題的數(shù)學(xué)模型中，定解條件用來表明所研究實際問題的特定條件。我們用這樣的模型來再現(xiàn)一個實際水流系統(tǒng)。所以，只要其周界能夠比較好的符合邊界條件的選取要求，能夠相對簡單準(zhǔn)確的給出數(shù)學(xué)模型的定解條件，該區(qū)域就可以作為計算區(qū)[3-5]如果選用天然邊界作為計算區(qū)邊界，有什么優(yōu)越性？答：選取方便求解準(zhǔn)確[3-6]邊界上的泉一般作為什么邊界條件？如在開采過程中泉水可能被疏干，還能作為邊界嗎？答：通過實際觀測可以得到邊界上的泉單位面積（二維空間為單位寬度）上流出時的流量q時，因此泉可以作為第二類邊界或給定流量的邊界。泉水疏干后，相當(dāng)于各點在每一時刻的水頭都是已知的，此時這部分邊界可作為第一類邊界。[3-7]為什么一定要有識別（校正）模型這個階段？直接用野外試驗所得的參數(shù)值和邊界條件建立模型，不經(jīng)過上述階段行不行？答：當(dāng)已建立確定性模型來描述實際地下水流后，我們對通過上述步驟建立的模型是否能確實代表所研究的地質(zhì)體還沒有把握；模型中出現(xiàn)的參數(shù)這時一般也不能確切給出。因此，必須對所建立的模型進行檢驗，即把模型預(yù)測的結(jié)果與通過抽水試驗或其它試驗對含水層施加某種影響后所得到的實際觀測結(jié)果或一個地區(qū)地下水動態(tài)長期觀測資料進行比較，看兩者是否一致。若不一致，就要對模型進行校正，直至滿意地擬合為止。這一步驟稱為識別模型或校正模型。模擬實際問題的數(shù)學(xué)模型還應(yīng)滿足下列基本條件這個解對原始數(shù)據(jù)是連續(xù)依賴的（穩(wěn)定性）。這意味著當(dāng)參數(shù)或定解條件發(fā)生微小變化時，所引起的解的變化也是很微小的。只有有了這條保證，當(dāng)參數(shù)和定解條件的數(shù)據(jù)有某些誤差時，所求得的解才能仍然接近于真解；否則，解是不可信的，并應(yīng)該認為此時的數(shù)學(xué)模型是有毛病的。在實際工作中，原始數(shù)據(jù)有某種誤差，在所難免，所以這個條件很重要。所以一定要有識別（校正）模型這個階段，不能直接用野外試驗所得的參數(shù)值和邊界條件建立模型。[3-8]下圖所示為均質(zhì)、各向同性的潛含水層，地下水流為平面非穩(wěn)定流，且與河水有直接的水力聯(lián)系。已知滲流區(qū)內(nèi)的A區(qū)為稻田區(qū)，其灌溉水的補給強度W（m/d）；B區(qū)為開采區(qū)，其開采強度為￡（m/d），在A、B區(qū)的右側(cè)有3口分散的開采井，其開采量分別為Q1、Q2和Q3（m3/d）。區(qū)內(nèi)其它地方均沒有垂直方向的水量交換，試寫出該地區(qū)地下水運動的數(shù)學(xué)模型。CC習(xí)題［3-8］圖解：邊界BCD為天然隔水邊界。地下水流與河水有直接的水力聯(lián)系。因此，邊界AE可以作第一類邊界處理。在遠離開采區(qū)的、實際上不受該區(qū)抽水影響的地段人為地劃定一條邊界。以二條流線（BA和DE）作為邊界。這時計算區(qū)就由ABCDEA所圍的區(qū)域組成。根據(jù)給出的條件描述這一均質(zhì)潛水流的方程應(yīng)是有入滲補給的潛水含水層中地下水非穩(wěn)定運動的基