非簡并態(tài)微擾論

非簡并態(tài)微擾論第一頁，共二十二頁，2022年，8月28日第一節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論一、非簡并定態(tài)微擾理論體系哈密頓量不顯含時間，能夠分解成兩部分：主要部分和微擾部分，且主要部分的解是已知的或是容易直接求解，微擾部分和主要部分相比很小。即：而哈密頓量

的本征值和本征函數分別為和，即：與相比，發(fā)生了一定程度的移動，一般與能級間隔相比移動較小，其原因就是因為多了的作用。第二頁，共二十二頁，2022年，8月28日為了明顯的表示微擾小的程度，我將微擾哈密頓量寫成：其中λ是一個很小的實數，它只作為微擾級別的標志。相應的把哈密頓量的本征值和本征函數展開成為λ和無微擾本征值和本征函數的函數，即：這時我們稱無微擾的本征值和本征函數為微擾作用下的零級近似本征值和本征函數，而和的一級修正。下面將本征能量和本征波函數展開式代入到含微擾作用的薛定諤方程，則得到方程展開式：第三頁，共二十二頁，2022年，8月28日λ同次冪的系數應該相等，從而可以得到以下系列方程組：(1)(2)(3)方程(1)正是無微擾的薛定諤方程，方程(2)是確定一級修正的方程，由方程并利用一級修正可確定二級修正。對于方程(2)，若是方程的解，則也是方程的解。？？第四頁，共二十二頁，2022年，8月28日(2)假設所討論的第n能級為非簡并能級，則對應的波函數只有一個，設該本征波函數已歸一化。下面由方程(2)確定本征能量和本征值的一級修正。設λ=1，所以將再換成。上式兩同時左乘并對全空間積分得：根據哈密頓量厄密算符的性質，方程左邊為：第五頁，共二十二頁，2022年，8月28日所以得能量的一級修正為：為求波函數的一級修正，將一級修正波函數按零級近似波函數展開為：由于對于方程(2)，若是方程的解，則也是方程的解。所以上面的展開式完全可以不包括第

n

項。即：求和號上的一撇表示求和不包含第n

項。將展開式代入(2)式得：第六頁，共二十二頁，2022年，8月28日即：上式兩同時左乘并對全空間積分得：即：所以得：所以波函數的一級修正為：對第(3)式利用同樣的方式，可以求得能量二級修正為：第七頁，共二十二頁，2022年，8月28日這樣得到能量準確到二級修正為：二、非簡并定態(tài)微擾理論適用的條件微擾理論適用的條件就是以上兩式的級數收斂，由于不知道一般項的表達式，所以對于現有已知的項要求：可見微擾理論的成立不僅與微擾矩陣元有關，而且還與能級間隔有關，所以對于同一體系的不同能級，微擾理論成立的條件不一定一樣的。？？第八頁，共二十二頁，2022年，8月28日三、例題一電荷為e

的線性諧振子，受恒定弱電場E

作用，電場沿正x

方向，用微擾法求體系的定態(tài)能量（到二級近似）和波函數（到一級近似）。解：體系的哈密頓算符為：弱電場引起的附加能量可以看作微擾，因此哈密頓量可以分解為：體系是在線性諧振子的基礎上加上微擾，所以其零級近似為線性諧振子的本征值和本征能量。第九頁，共二十二頁，2022年，8月28日所以直接利用公式計算微擾修正，則第n

個能級的一級修正為：再計算能量的二級修正，由于所以先計算微擾矩陣元：第十頁，共二十二頁，2022年，8月28日即：能量二級修正的求和中只有m=n-1和m=n+1兩項，即：能級移動與n

無關。第十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日類似的可以計算出波函數的一級修正為：對于n=0上面的求和計算中應去掉第n-1項，諧振子能級間隔都相等，在偶極電場中，電場的附加能量對各能級都是相等的。這說明在偶極電場中能級間隔仍然相等，仍具有諧振子的特點。這一點通過對哈密算符配方，很容易看出。第十二頁，共二十二頁，2022年，8月28日可見加入電場后，能級低了，而平衡點也向右移動了。勢能曲線如下頁圖所示。第十三頁，共二十二頁，2022年，8月28日第十四頁，共二十二頁，2022年，8月28日例2.設Hamilton量的矩陣形式為：（1）設c<<1，應用微擾論求H本征值到二級近似；（2）求H的精確本征值；（3）在怎樣條件下，上面二結果一致。解：（1）c<<1，可取0級和微擾Hamilton量分別為：H0是對角矩陣，是HamiltonH0在自身表象中的形式，而且能級是非簡并的。所以能量的0級近似為：第十五頁，共二十二頁，2022年，8月28日E1(0)=1E2(0)=3E3(0)=-2由非簡并微擾公式得能量一級修正（此處每一能級都要修正?。旱谑?，共二十二頁，2022年，8月28日能量二級修正為：準確到二級近似的能量為：第十七頁，共二十二頁，2022年，8月28日設H的本征值是E，由久期方程可解得：解得：(2)精確解：與近似解比較：第十八頁，共二十二頁，2022年，8月28日可知，微擾論二級近似結果與精確解展開式不計c4及以后高階項的結果相同。比較（1）和（2）之解(3)將準確解按

c(<<1)展開：﹟第十九頁，共二十二頁，2022年，8月28日總結：非簡并微擾論處理問題的方法（2）寫出未微擾哈密頓的解（3）求微擾哈密頓在零級近似波函數的平均值

—能量的一級近似（4