集合論與無窮

集合論與無窮第一頁，共十六頁，2022年，8月28日1.問題的引入——有限和無窮香迪悖論小說《香迪傳》的講述者香迪曾說自己用了兩年時間來記錄其生活中頭兩天的歷史，然后香迪抱怨說，按照這種速度他永遠(yuǎn)也寫不完自己的傳記。在這一情節(jié)啟發(fā)下，數(shù)學(xué)家羅素巧妙利用“無限未來”的概念提出了香迪悖論：如果香迪可以永遠(yuǎn)活下去，而且堅持不懈的寫下去，那么，即是他的一生始終像開端那樣充滿需要記錄的內(nèi)容，他的傳記也不會遺留任何部分。羅素的論證大致如下：假定香迪生于1700年1月1日，而寫作開始于1720年1月1日。其寫作進(jìn)程如下：第二頁，共十六頁，2022年，8月28日寫作的年份涵蓋的事件17201700年1月1日17211700年1月2日17221700年1月3日…………但是，每一天對應(yīng)于一年，每一年對應(yīng)于一天。對于任何一天，在未來都由指定的一年去記錄它，絕無例外?！跋愕系膫饔洸粫z漏任何部分。”羅素的香迪悖論在常識看來不可思議。事實上，當(dāng)我們逐漸了解集合論中的無窮觀點后，就可以明白這一論證是正確的，并無荒謬之處。第三頁，共十六頁，2022年，8月28日無窮集合的概念集合論的基礎(chǔ)集合論的意義第四頁，共十六頁，2022年，8月28日無窮集合（元素個數(shù)無窮）——一個“矛盾”的集合Aristotle（亞里士多德）考慮過無窮集合，他認(rèn)為潛在的無窮（大）需要和真實的無窮（大）加以區(qū)別。微積分——重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分理論遇到嚴(yán)重的邏輯困難對微積分基礎(chǔ)的嚴(yán)密論證成為集合論產(chǎn)生的一個重要原因

2.無窮集合的概念第五頁，共十六頁，2022年，8月28日在重建微積分理論的過程中，Bolzano（波爾查諾）是第一個朝著建立集合的明確理論方向采取了積極步驟的人，他維護(hù)了集合的存在，并強(qiáng)調(diào)了兩個集合等價的概念，即兩個集合元素間的一一對應(yīng)關(guān)系。他注意到無限集合的部分或子集可以等價于整體，例如0到5之間的實數(shù)可以通過公式與0到12間的實數(shù)構(gòu)成一一對應(yīng)，雖然和第二個數(shù)集包含了第一個數(shù)集。但是他同樣也遇到了一些問題在他看來屬于悖論的，因此他認(rèn)為這些不必深入研究。3.集合論的基礎(chǔ)第六頁，共十六頁，2022年，8月28日xy0012.42.560.51.2512第七頁，共十六頁，2022年，8月28日隨著實數(shù)不可列性質(zhì)的確立，康托又提出一個新的，更大膽的問題。1874年，他考慮了能否建立平面上的點和直線上的點之間的一一對應(yīng)。從直觀上說，平面上的點顯然要比線上的點要多得多?？低凶约浩鸪跻彩沁@樣認(rèn)識的。但三年后，康托宣布：平面和直線之間可以建立一一對應(yīng)，證明簡述為只需證明區(qū)間(0,1)和單位正方形上的點一樣多即可。

在區(qū)間(0,1)內(nèi)的點都可以表示成一個無窮小數(shù)，比如0.2574892……

如果是1/4，可以表示成0.25000000……。

以0.257489257621……為例

我們把它的奇數(shù)位和偶數(shù)位分別取出來

得到兩個新的數(shù)0.278272……和0.549561……

第八頁，共十六頁，2022年，8月28日1845.3.3－1918.1.6GeorgCantor

集合論的創(chuàng)立者是GeorgCantor，Cantor對集合所下的定義是一些確定的，不同東西的總體，這些東西使人能意識到并判斷一個給定的東西是否屬于這個總體。對Cantor來說，如果一個集合能夠和它的一部分構(gòu)成一一對應(yīng)，它就是無窮的。當(dāng)他把全體自然數(shù)看作一個集合時,他是把無限的整體作為了一個構(gòu)造完成了的東西,這樣他就肯定了實無窮。他定義了基數(shù),可數(shù)集合（凡是能和自然數(shù)集一一對應(yīng)的集合都稱作可數(shù)集，也叫可列集）等概念。第九頁，共十六頁，2022年，8月28日過去數(shù)學(xué)家認(rèn)為靠得住的只有有限，而無窮最多只是模模糊糊的一個記號。而康托爾把無窮分成許多“層次”。在最初階段，康托爾主要證明了無窮之間也有差別，既存在可數(shù)的無窮，比如自然數(shù)集，也存在那種像實數(shù)集合那樣不可數(shù)的無窮。我們不妨看一些有關(guān)這些無窮集合分類的最基本的證明，了解一些最基本的數(shù)學(xué)思想。首先康托爾證明了有理數(shù)是可數(shù)集隨后他又證明了實數(shù)是不可數(shù)集第十頁，共十六頁，2022年，8月28日

實數(shù)不可數(shù)集（局部化思想）在（0，1）上考慮實數(shù)可表示為0.…為非負(fù)整數(shù)10.……20.……30.…………令b=0.……當(dāng)=5，=4；當(dāng)≠5=5。b=0.……=矛盾！反證法第十一頁，共十六頁，2022年，8月28日隨著實數(shù)不可列性質(zhì)的確立，康托又提出一個新的，更大膽的問題。1874年，他考慮了能否建立平面上的點和直線上的點之間的一一對應(yīng)。從直觀上說，平面上的點顯然要比線上的點要多得多?？低凶约浩鸪跻彩沁@樣認(rèn)識的。但三年后，康托宣布：平面和直線之間可以建立一一對應(yīng)，證明簡述為只需證明區(qū)間(0,1)和單位正方形上的點一樣多即可。

在區(qū)間(0,1)內(nèi)的點都可以表示成一個無窮小數(shù)，比如0.2574892……

如果是1/4，可以表示成0.25000000……。

以0.257489257621……為例

我們把它的奇數(shù)位和偶數(shù)位分別取出來

得到兩個新的數(shù)0.278272……和0.549561……

第十二頁，共十六頁，2022年，8月28日以它們作為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的點是單位正方形內(nèi)的一個點。所以區(qū)間(0,1)內(nèi)的任意點都可以在單位正方形內(nèi)找到唯一的對應(yīng)點。

反過來，單位正方形內(nèi)的一個點，(0.278272……,0.549561……)

可以對應(yīng)為一個數(shù)0.257489257621……，

即單位正方形內(nèi)的任意一個點都可以在區(qū)間(0,1)上找到唯一的對應(yīng)點。所以區(qū)間(0,1)和單位正方形上的點一樣多

同理可證直線和平面上的點一樣多這一結(jié)果是出人意外的。就連康托本人也覺得“簡直不能相信”。然而這又是明擺著的事實，它說明直觀是靠不住的，只有靠理性才能發(fā)現(xiàn)真理，避免謬誤。第十三頁，共十六頁，2022年，8月28日集合論基礎(chǔ)我們知道，在有限集合中，兩個元素是可以比較大小的，自然數(shù)集中的元素是同樣可以比較大小的。在一般的無限集合中是怎樣的情況呢？康托爾系統(tǒng)地研究了序數(shù)理論，提出了良序原理，即可以給任何集合內(nèi)的所有元素定義一個大小關(guān)系，使得任意兩個元素都可以比較大小，且該集合的任意子集都有最小元素。集合論本身出現(xiàn)矛盾20世紀(jì)集合論和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的出發(fā)點第十四頁，共十六頁，2022年，8月28日

從無窮集合發(fā)展起來的集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)理論。它的概念和方法已經(jīng)滲透到代數(shù)、拓?fù)浜头治龅仍S多數(shù)學(xué)分支以及物理學(xué)和質(zhì)點力學(xué)