四川省成都市棠湖中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

四川省成都市棠湖中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在中，，，，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)（包含邊界）的點(diǎn)，且滿(mǎn)足（其中x，y為正實(shí)數(shù)），則當(dāng)xy最大時(shí)，的值是（

）A．

B．1

C.2

D．與∠A的大小有關(guān)參考答案：B過(guò)點(diǎn)P分別作AB,AC的平行線(xiàn)，與AB,AC的公共點(diǎn)分別是P,Q．首先，對(duì)于固定的角A，要使得最大，僅需最大，即最大，即平行四邊形AMPN的面積最大，顯然P需與B，C共線(xiàn)，此時(shí)．由基本不等式，知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，此時(shí)．故答案為：B.

2.已知函數(shù)是定義在內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)，給出下面四個(gè)命題：①不等式恒成立②函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，且③方程有兩個(gè)根④方程（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有唯一解，且.其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A.個(gè)

B.個(gè)

C.個(gè)

D.個(gè)

參考答案：B試題分析：令,則,注意到的任意性可得.由于當(dāng)時(shí),,因此①是正確的；由于,即函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),且,因此函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn),故②是正確的；設(shè),則,即函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),且只有一個(gè)零點(diǎn),故答案③是錯(cuò)誤的；令,因,故是單調(diào)遞增函數(shù),且,因此④是錯(cuò)誤的.故應(yīng)選B.考點(diǎn)：函數(shù)的定義及對(duì)應(yīng)法則及函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題是一道以函數(shù)滿(mǎn)足的條件為背景,考查的是導(dǎo)函數(shù)的與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系的綜合性應(yīng)用問(wèn)題.解答本題的關(guān)鍵是如何理解這一條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化化歸與利用.求解時(shí)依據(jù)題設(shè)條件先構(gòu)造函數(shù),則,然后逐一對(duì)所提供的四個(gè)答案進(jìn)行分析推證,從而使得問(wèn)題最終獲解.3.E，F(xiàn)是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點(diǎn)，則

A．

B．

C．

D．參考答案：D考查三角函數(shù)的計(jì)算、解析化應(yīng)用意識(shí)。解法1：約定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得，解得解法2：坐標(biāo)化。約定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夾角公式得，解得。4.觀(guān)察下列不等式：①；②；③；...請(qǐng)寫(xiě)出第個(gè)不等式_____________.參考答案：略5.已知i為虛數(shù)單位，且若為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．2

B．－2

C．

D．參考答案：D因?yàn)榍沂菍?shí)數(shù),所以,則，故選D.

6.已知集合，，則A．

B．

C．

D．參考答案：D略7.雙曲線(xiàn)y2﹣=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（0，），（0，﹣） B．（，0），（﹣，0） C．（0，2），（0，﹣2） D．（2，0），（﹣2，0）參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由雙曲線(xiàn)的方程分析可得該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)位置以及a、b的值，計(jì)算可得c的值，進(jìn)而有雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線(xiàn)的方程為y2﹣=1，其焦點(diǎn)在y軸上，且a=1，b=，則c==2，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）、（0，﹣2）；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，注意由雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程分析其焦點(diǎn)位置．8.下列說(shuō)法正確的是

（

）

A.命題“使得”的否定是：“”B.“”是“在上為增函數(shù)”的充要條件C.“為真命題”是“為真命題”的必要不充分條件D.命題p：“”，則p是真命題參考答案：B9.已知，，，，那么a，b，c的大小關(guān)系是(

)A．a(chǎn)>c>b

B．c>a>b

C．b>c>a

D．c>b>a參考答案：D10.設(shè)A＝{x|x－a＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，且A∩B＝B，則實(shí)數(shù)a的值為()A．1

B．－1C．1或－1

D．1，－1或0參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，約成書(shū)于四、五世紀(jì)，傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷，其中下卷：“物不知數(shù)”中有如下問(wèn)題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二，問(wèn)：物幾何？”其意思為：“現(xiàn)有一堆物品，不知它的數(shù)目，3個(gè)3個(gè)數(shù)，剩2個(gè)，5個(gè)5個(gè)數(shù)，剩3個(gè)，7個(gè)7個(gè)數(shù)，剩2個(gè)，問(wèn)這堆物品共有多少個(gè)？”試計(jì)算這堆物品至少有

個(gè)．參考答案：23【分析】根據(jù)“三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二”找到三個(gè)數(shù)：第一個(gè)數(shù)能同時(shí)被3和5整除；第二個(gè)數(shù)能同時(shí)被3和7整除；第三個(gè)數(shù)能同時(shí)被5和7整除，將這三個(gè)數(shù)分別乘以被7、5、3除的余數(shù)再相加即可求出答案．【解答】解：我們首先需要先求出三個(gè)數(shù)：第一個(gè)數(shù)能同時(shí)被3和5整除，但除以7余1，即15；第二個(gè)數(shù)能同時(shí)被3和7整除，但除以5余1，即21；第三個(gè)數(shù)能同時(shí)被5和7整除，但除以3余1，即70；然后將這三個(gè)數(shù)分別乘以被7、5、3除的余數(shù)再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再減去3、5、7最小公倍數(shù)的整數(shù)倍，可得：233﹣105×2=23，或者105k+23（k為正整數(shù)）．∴這堆物品至少有23，故答案為：23．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是帶余數(shù)的除法，簡(jiǎn)單的合情推理的應(yīng)用，根據(jù)題意下求出15、21、70這三個(gè)數(shù)是解答此題的關(guān)鍵，屬于中檔題．12.圓心在原點(diǎn)，并與直線(xiàn)相切的圓的方程為

.參考答案：圓心到直線(xiàn)的距離，即圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。13.定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（4）=1，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，已知函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示．若兩正數(shù)a，b滿(mǎn)足f（2a+b）＜1，則的取值范圍是

．參考答案：（）【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a、b的范圍，最后利用不等式的性質(zhì)得到答案．【解答】解：由圖可知，當(dāng)x＞0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f'（x）＞0，原函數(shù)單調(diào)遞增，∵兩正數(shù)a，b滿(mǎn)足f（2a+b）＜1，又由f（4）=1，即f（2a+b）＜4，即2a+b＜4，又由a＞0．b＞0；點(diǎn)（a，b）的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，不包括邊界，的幾何意義是區(qū)域的點(diǎn)與A（﹣2，﹣2）連線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)AB，AC的斜率分別是，3；則∈（，3）；故答案為：（）．14.（幾何證明選講選做題）如圖ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D．以BD為直徑的圓與BC交于點(diǎn)E．下面的結(jié)論正確的是

． ①CE·CB=AD·DB;

②CE·CB=AD·AB;

③AD·AB=CD2參考答案：15.已知點(diǎn)在直線(xiàn)上，則的最小值為

.參考答案：16.若的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是______。參考答案：

略17.已知函數(shù)，其中．當(dāng)時(shí)，的值域是______；若的值域是，則的取值范圍是______．參考答案：，若，則，，此時(shí)，即的值域是。若，則，。因?yàn)楫?dāng)或時(shí)，，所以要使的值域是，則有，即，所以，即的取值范圍是。

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的圖象（部分）如圖所示．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且a=l，b+c=2，f（A）=1，求△ABC的面積．參考答案：解：（1）∵函數(shù)的最大值為2，∴A=2又∵函數(shù)的周期T=4（﹣）=π，∴ω==2，得函數(shù)表達(dá)式為f（x）=2sin（2x+φ）∵f（）=2為函數(shù)的最大值，∴2×+φ=+2π（k∈Z）結(jié)合|φ|＜，取k=0得φ=∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+）（2）由（1）得f（A）=2sin（2A+）=1，∵A∈（0，π），∴2A+=，得A=根據(jù)余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc（1+cos），即1=22﹣2bc（1+cos），解之得bc==3（2﹣）因此，△ABC的面積S=bcsinA=3（2﹣）×sin=略19.（14分）

如圖，在直三棱柱中，，D、E分別是AA1、B1C的中點(diǎn).(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)求異面直線(xiàn)與所成角的大小；(Ⅲ)求二面角C-B1D-B的大小.參考答案：解析：方法一：（Ⅰ）證明：如圖，設(shè)G為BC的中點(diǎn)，連接EG，AG，在中，，

，且，

又，且，

，

四邊形為平行四邊形，

，

------------------------2分

又平面ABC，平面ABC，

平面.

--------------------------4分（Ⅱ）解：如圖，設(shè)F為BB1的中點(diǎn)，連接AF，CF，

直三棱柱，且D是AA1的中點(diǎn)，

，

為異面直線(xiàn)與所成的角或其補(bǔ)角.

-------------------7分

在Rt中，，AB=1，BF=1，

，同理，

在中，，

在中，，.

異面直線(xiàn)與所成的角為.

----------------------9分（Ⅲ）解：直三棱柱，，

又，平面.

----------------------10分如圖，連接BD，在中，，，即，是CD在平面內(nèi)的射影，，為二面角C-B1D-B的平面角.

--------------------12分在中,,BC=1,，,二面角C-B1D-B的大小為.

--------------------14分

方法二：（Ⅰ）同方法一.

----------------------4分（Ⅱ）如圖，以B為原點(diǎn)，BC、BA、BB1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，

則，

,

----------------------6分，異面直線(xiàn)與所成的角為.

----------------------9分（Ⅲ）解：直三棱柱，，

又，平面.

---------------------------10分

如圖，連接BD，在中，，，即，是CD在平面內(nèi)的射影，，

為二面角C-B1D-B的平面角.

-----------------------12分，，

二面角C-B1D-B的大小為.

------------------------14分

20.（本小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，證明：存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有成立；（3）當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程僅有負(fù)實(shí)數(shù)解？當(dāng)時(shí)的情形又如何？(只需寫(xiě)出結(jié)論).參考答案：（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）當(dāng)與時(shí)，均不存在滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù).試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其定義域?yàn)?，求?dǎo)得，∵，，∴函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為；（2）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，求?dǎo)，得，令，解得，，當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：

∴函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又∵，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，記，其中為兩數(shù)，中較大的數(shù)，綜上，當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立；（3）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，令，則，∴當(dāng)時(shí)，，∴在，上單調(diào)遞增，而，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上的值域?yàn)?，即方程不可能只有?fù)根，滿(mǎn)意題意的實(shí)數(shù)不存在，同理可知當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)也不存在.考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；3.分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.21.某班同學(xué)利用國(guó)慶節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì)歲的人群隨機(jī)抽取人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀(guān)念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀(guān)念的稱(chēng)為“低碳族”，否則稱(chēng)為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：

（Ⅰ）補(bǔ)全頻率分布直方圖并求、、的值；（Ⅱ）從歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取人參加戶(hù)外低碳體驗(yàn)活動(dòng)，其中選取人作為領(lǐng)隊(duì)，記選取的名領(lǐng)隊(duì)中年齡在歲的人數(shù)為，求的分布列和期望。參考答案：解：（Ⅰ）第二組的頻率為1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高為．頻率直方圖如下：第一組的人數(shù)為，頻率為0.04×5=0.2，所以．由題可知，第二組的頻率為0.3，所以第二組的人數(shù)為1000×0.3=300，所以．第四組的頻率為0.03×5=0.