第22講自相關序列與正則方程

2023/4/1現代數字信號處理江漢理工大學通信工程學院無線通信系通信對抗教研室2023/4/1第22講自相關序列與正則方程時間序列模型AR過程MA過程ARMA過程

正則方程（Yule-Walker方程）2023/4/10、復習：有理功率譜如果平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度為有理函數，表示為其中，多項式和的根位于平面的單位圓內。那么根據白噪聲序列產生隨機過程的線性濾波器也是有理函數，可表示為2023/4/1對于具有式給定的有理系統函數的線性系統，輸出和輸入通過如下差分方程相聯系：區(qū)分三種特定情況：自回歸（AR）過程。，這種情況下，線性濾波器是一個全極點濾波器，表示輸入輸出關系的差分方程為即產生修正過程的噪聲白化濾波器是一個全零點濾波器

0、復習：有理功率譜2023/4/1滑動平均（MA）過程。。這種情況下，線性濾波器是一個全零點濾波器，表示輸入輸出關系的差分方程為

MA過程的噪聲白化濾波器是一個全極點濾波器。自回歸滑動平均（ARMA）過程。這種情況下，線性濾波器在平面內既有極點也有零點。從產生修正過程的逆系統也是一個形如的極點-零點系統。0、復習：有理功率譜1、時間序列信號模型三種時間序列模型假設信號模型用一個P階差分方程描述:x(n)+a1x(n-1)+…+apx(n-p)

=w(n)+b1w(n-1)+…+bqw(n-q)(***)式中,w(n)是零均值、方差為σ2w的白噪聲;x(n)是我們要研究的隨機序列。根據系數取值情況，將模型分成以下三種。1、時間序列信號模型

1.滑動平均模型（MovingAverage，簡稱MA模型）當上式中ai=0,i=1,2,3,…,p時,該模型稱為MA模型。模型差分方程和系統函數分別用下式表示：x(n)=w(n)+b1w(n-1)+…+bqw(n-q)H(z)=B(z)B(z)=1+b1z-1+b2z-2+…+bqz-q…上式表明該模型只有零點,沒有除原點以外的極點，因此此模型也稱為全零點模型。如果模型全部零點都在單位圓內部，則是一個最小相位系統，且模型是可逆的。1、時間序列信號模型

2.自回歸模型（Autoregressive,簡稱AR模型）當（***）式中bi=0,i=1,2,3,…，q時，該模型稱為AR模型。模型差分方程和系統函數分別用下式表示：x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)+…+apx(n-p)=w(n)A(z)=1+a1z-1+a2z-2+…+apz-p

上式表明該模型只有極點,沒有除原點以外的零點，因此該模型也稱為全極點模型。只有當全部極點都在單位圓內部時，模型才穩(wěn)定。1、時間序列信號模型3.自回歸-滑動平均模型（簡稱ARMA模型）該模型的差分方程用（****）式描述，系統函數用下式表示：式中，分子部分稱為MA部分，分母部分稱為AR部分，這兩部分無公共因子，應分別滿足穩(wěn)定性和可逆性的條件。1、時間序列信號模型

(1)沃爾德(Wold)分解定理：任意一個實平穩(wěn)隨機序列x(n)均可以分解成：x(n)=u(n)+v(n)，式中u(n)是確定性信號,v(n)是具有連續(xù)譜分布函數的平穩(wěn)隨機MA序列。這里確定性部分可以不存在或者事先去掉，MA部分常常是有限階的。

2、三種模型的關系如何證明？

（2）任意一個MA序列可用無限階AR信號模型表示，或者用階數足夠大的AR信號模型近似表示。2、三種模型的關系如何證明？B-1(z)=G(z)=1+g1z-1+g2z-2+…

b0=1對上式進行Z變換得到X(z)=B(z)W(z)式中，B(z)是MA信號模型的系統函數，或者說是bi(i=1,2,3,…)序列的Z變換。設MA信號模型滿足可逆性條件，即B-1(z)存在，令證明如下：設MA序列為這樣X(z)G(z)=(1+g1z-1+g2z-2+…)X(z)=W(z)對上式進行Z反變換，得到x(n)+g1x(n-1)+g2x(n-2)+…=w(n)上式表示的就是x(n)的AR信號模型差分方程，因此證明了一個時間序列可以用有限階MA信號模型表示時，也可以用無限階的AR模型表示，對于ARMA模型也同樣可以證明。2、三種模型的關系例如,ARMA模型系統函數為設AR模型系統函數用HAR(z)表示：令HAR(z)=H(z),即可以求出ci系數2、三種模型的關系

以上說明MA和ARMA模型可以用無限階AR模型表示。反過來的結論也正確。例如：用MA模型表示：i=0i≥12、三種模型的關系表明三種信號模型可以相互轉化，而且都具有普遍適用性。

2、三種模型的關系AR模型適合表示時間序列的功率譜有尖峰而沒有深谷的信號；MA模型適合表示其功率譜有深谷而沒有尖峰的信號；ARMA模型則適合尖峰和深谷都有的情況。如果信號的功率譜有尖峰而沒有深谷，用具有極點的AR模型表示將比用MA模型表示用的系數少，即效率高。如何選擇？2023/4/13、濾波器參數和自相關序列的關系一般的ARMA過程差分方程：2023/4/1當平穩(wěn)隨機過程的功率譜密為有理函數時，自相關序列和通過白噪聲序列濾波產生過程的線性濾器的參數和存在基本關系。其中，

是

和

之間的互相關序列，為：

3、濾波器參數和自相關序列的關系2023/4/13、濾波器參數和自相關序列的關系

和參數，之間的非線性關系為：一般來說，式中的關系式適用于ARMA過程。對于AR過程可簡化為式；對于MA過程情況下可簡化為式，見課本。

2023/4/13、濾波器參數和自相關序列的關系AR過程可以簡化為：把這些方程寫成矩陣的形式，就稱為Yule-Walker方程2023/4/13、濾波器參數和自相關序列的關系Yule-Walker方程則樣求解正則方程？2023/4/