2019數(shù)學(xué)（理）通用版二輪精準(zhǔn)提分練習(xí)第二篇 第13練空間幾何體

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第13練空間幾何體［小題提速練]［明晰考情］1.命題角度：空間幾何體的三視圖,球與多面體的組合，一般以計(jì)算面積、體積的形式出現(xiàn).2.題目難度：中等或中等偏上。考點(diǎn)一空間幾何體的三視圖與直觀圖要點(diǎn)重組（1)三視圖畫法的基本原則：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊,寬相等；畫圖時(shí)看不到的線畫成虛線。（2）由三視圖還原幾何體的步驟eq\x（定底面）—eq\x(根據(jù)俯視圖確定)↓eq\x（定棱及側(cè)面)—eq\x（\a\vs4\al\co1（根據(jù)正主視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面特征，,調(diào)整實(shí)線、虛線對(duì)應(yīng)棱的位置))↓eq\x（定形狀）—eq\x（確定幾何體的形狀）（3）直觀圖畫法的規(guī)則：斜二測(cè)畫法.1。如圖，在三棱錐A－BCD中，側(cè)面ABD⊥底面BCD，BC⊥CD，AB＝AD＝4，BC＝6，BD＝4eq\r(3)，則該三棱錐三視圖的正（主)視圖為（)答案C解析由題意，三棱錐三視圖的正（主)視圖為等腰三角形,在△BCD中，BC⊥CD，BC＝6，BD＝4eq\r(3)，所以CD＝2eq\r（3），設(shè)C在BD上的投影為E，則12eq\r（3）＝CE·4eq\r(3)，所以CE＝3,DE＝eq\r(CD2－CE2)＝eq\r（3)，故選C.2.(2018·北京）某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側(cè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)為(）A.1B.2C。3D。4答案C解析由三視圖得到空間幾何體,如圖所示，則PA⊥平面ABCD,平面ABCD為直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.又BC⊥AB，AB∩PA＝A,AB，PA?平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又PB?平面PAB，所以BC⊥PB.在△PCD中,PD＝2eq\r（2）,PC＝3，CD＝eq\r（5)，所以△PCD為銳角三角形。所以側(cè)面中的直角三角形為△PAB，△PAD，△PBC，共3個(gè).故選C.3.一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是()答案B解析該幾何體是組合體,上面的幾何體是一個(gè)五面體，下面是一個(gè)長(zhǎng)方體，且五面體的一個(gè)面即為長(zhǎng)方體的一個(gè)面，五面體最上面的棱的兩端點(diǎn)在底面的投影距左右兩邊的距離相等，故選B。4。已知正三棱錐V－ABC的正(主）視圖和俯視圖如圖所示,則該正三棱錐側(cè)（左）視圖的面積是________.答案6解析如圖，由俯視圖可知正三棱錐底面邊長(zhǎng)為2eq\r（3），則AO＝eq\f(2，3）×2eq\r（3）sin60°＝2.所以VO＝eq\r(42－22)＝2eq\r（3）,則VA′＝2eq\r(3).所以該正三棱錐的側(cè)（左)視圖的面積為eq\f（1，2）×2eq\r（3)×2eq\r(3)＝6?？键c(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積方法技巧（1）求三棱錐的體積時(shí)，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法,轉(zhuǎn)化原則是其高易求,底面放在已知幾何體的某一面上。（2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想,將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解。（3）已知幾何體的三視圖，可去判斷幾何體的形狀和各個(gè)度量，然后求解表面積和體積。5。已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r（3)，D為BC的中點(diǎn),則三棱錐A－B1DC1的體積為（)A。3B.eq\f（3，2）C.1D。eq\f（\r(3),2）答案C解析∵D是等邊三角形ABC的邊BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC.又ABC－A1B1C1為正三棱柱，∴AD⊥平面BB1C1C?！咚倪呅蜝B1C1C為矩形，∴＝eq\f(1，2）×2×eq\r（3）＝eq\r（3）。又AD＝2×eq\f(\r(3)，2)＝eq\r(3)，∴＝eq\f（1，3)×eq\r(3）×eq\r(3）＝1.故選C。6。（2018·渭南質(zhì)檢）一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的體積是(）A.eq\f（1，2)B.eq\f（1,3）C。eq\f（2,3)D。1答案B解析根據(jù)題意得到原四面體是底面為等腰直角三角形，高為1的三棱錐，故得到體積為eq\f(1,3）×eq\f(1,2)×2×1×1＝eq\f（1，3）.7.一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A。eq\f(1,8)B。eq\f(1,7）C.eq\f(1,6)D。eq\f(1,5)答案D解析由題意知該正方體截去了一個(gè)三棱錐，如圖所示，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則V正方體＝a3，V截去部分＝eq\f(1，6)a3，故截去部分體積與剩余部分體積的比值為eq\f（1，6)a3∶eq\f(5，6）a3＝1∶5。8.（2017·江蘇)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2,則eq\f（V1，V2)的值是______。答案eq\f（3，2)解析設(shè)球O的半徑為R,∵球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，∴圓柱O1O2的高為2R，底面半徑為R.∴eq\f(V1，V2）＝eq\f（πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f（3,2).考點(diǎn)三多面體與球要點(diǎn)重組(1）設(shè)球的半徑為R，球的截面圓半徑為r，球心到球的截面的距離為d，則有r＝eq\r（R2－d2）.（2)當(dāng)球內(nèi)切于正方體時(shí)，球的直徑等于正方體的棱長(zhǎng),當(dāng)球外接于長(zhǎng)方體時(shí)，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑;當(dāng)球與正方體各棱都相切時(shí)，球的直徑等于正方體底面的對(duì)角線長(zhǎng).（3)若正四面體的棱長(zhǎng)為a，則正四面體的外接球半徑為eq\f（\r(6)，4）a,內(nèi)切球半徑為eq\f(\r(6),12）a.9.已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2eq\r(3），AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°,則球O的表面積為(）A.4πB。12πC.16πD.64π答案C解析在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3,∴AC2＝AB2＋BC2，即AB⊥BC.又SA⊥平面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥BC，∴三棱錐S－ABC可補(bǔ)成分別以AB＝1，BC＝eq\r(3），SA＝2eq\r(3)為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體，∴球O的直徑為eq\r（12＋\r(3)2＋2\r(3）2)＝4，故球O的表面積為4π×22＝16π。10。將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則該球的體積為（)A。eq\f（4π,3）B。eq\f(\r（2)π，3)C。eq\f（\r（3）π,2)D.eq\f（π，6）答案A解析由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長(zhǎng)是相等的,故可得球的直徑為2，故半徑為1，其體積是eq\f(4,3)×π×13＝eq\f(4π,3）。11。已知一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體,過正方體中兩條互為異面直線的棱的中點(diǎn)作直線，則該直線被正方體的外接球球面截在球內(nèi)的線段長(zhǎng)是（)A。2eq\r（11)B.2eq\r(10)C.6D.4eq\r(2）答案B解析在正方體ABCD－A1B1C1D1中，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸,y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，如圖所示，球的半徑為2eq\r（3)，球心O(2，2，2）,M(4，0，2)，N（0,2，4），MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1,3)，球心到MN的距離為eq\r(2),所以該直線被正方體的外接球球面截在球內(nèi)的線段長(zhǎng)是2eq\r（12－2)＝2eq\r(10)，故選B。12。已知底面為正三角形的三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，則此三棱柱的體積的最大值為________。答案1解析如圖，設(shè)球心為O,三棱柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，底面正三角形的邊長(zhǎng)為a，則AO1＝eq\f(2,3）×eq\f（\r(3),2）a＝eq\f(\r(3）,3)a。由已知得O1O2⊥底面，在Rt△OAO1中，由勾股定理得OO1＝eq\r(12－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(\r(3），3）a））2）＝eq\f（\r（3）·\r(3－a2），3）,所以V三棱柱＝eq\f（\r（3），4）a2×2×eq\f（\r（3)·\r(3－a2）,3）＝eq\f（\r(3a4－a6),2）.令f(a)＝3a4－a6（0<a〈eq\r(3)），則f′（a）＝12a3－6a5＝－6a3（a2－2），令f′（a)＝0,解得a＝eq\r(2）。因?yàn)楫?dāng)a∈(0，eq\r(2)）時(shí)，f′（a)〉0；當(dāng)a∈(eq\r（2）,eq\r（3)）時(shí)，f′(a）〈0，所以函數(shù)f（a）在（0，eq\r(2))上單調(diào)遞增,在(eq\r(2)，eq\r(3））上單調(diào)遞減。所以f(a)在a＝eq\r（2）處取得極大值.因?yàn)楹瘮?shù)f（a)在區(qū)間（0，eq\r（3))上有唯一的極值點(diǎn)，所以a＝eq\r（2）也是最大值點(diǎn)。所以(V三棱柱）max＝eq\f（\r(3×4－8)，2）＝1。1。如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn),則三棱錐P－BCD的正（主)視圖與側(cè)(左）視圖的面積之比為()A。1∶1B.2∶1C.2∶3D.3∶2答案A解析由題意可得正（主)視圖的面積等于矩形ADD1A1面積的eq\f（1，2），側(cè)(左)視圖的面積等于矩形CDD1C1面積的eq\f（1,2).又底面ABCD是正方形，所以矩形ADD1A1與矩形CDD1C1的面積相等，即正(主)視圖與側(cè)(左）視圖的面積之比是1∶1.2.(2018·益陽(yáng)調(diào)研)已知一幾何體的三視圖如圖所示,它的側(cè)（左)視圖與正（主)視圖相同，則該幾何體的體積為()A.eq\f(16,3)π＋eq\f（8\r(2），3） B.eq\f（8，3)π＋eq\f（8\r（2），3）C。eq\f（16,3)π＋8eq\r（2） D。eq\f(8,3)π＋8eq\r(2)答案A解析由三視圖知該幾何體是正四棱錐(底面為正方形,且頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心的棱錐）與半球體的組合體，且正四棱錐的高為eq\r（2），底面對(duì)角線長(zhǎng)為4，球的半徑為2，所以組合體的體積為V＝eq\f（1,2）×eq\f（4，3)π×23＋eq\f(1,3)×eq\f（1,2)×42×eq\r(2)＝eq\f(16，3）π＋eq\f（8\r(2），3）.3。已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)。若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(）A.36π B。64πC。144π D.256π答案C解析易知△AOB的面積確定，若三棱錐O－ABC的底面OAB上的高最大，則其體積最大.因?yàn)楦咦畲鬄榘霃絉，所以VO－ABC＝eq\f(1，3）×eq\f（1,2)R2×R＝36，解得R＝6.故S球＝4πR2＝144π.解題秘籍（1）三視圖都是幾何體的投影,要抓住這個(gè)根本點(diǎn)確定幾何體的特征。(2）多面體與球的切、接問題，要明確切點(diǎn)、接點(diǎn)的位置,利用合適的截面圖確定兩者的關(guān)系，要熟悉長(zhǎng)方體與球的各種組合。1。(2018·浙江)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A。2 B。4C.6 D.8答案C解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形,高為2的直四棱柱，直角梯形的上、下底邊長(zhǎng)分別為2,1，高為2，∴該幾何體的體積為V＝2×eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（1，2)×2＋1×2))＝6。故選C。2。(2018·黔東南州模擬）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最大邊長(zhǎng)為（)A.eq\r(5)B.eq\r(6）C.eq\r（7）D.2eq\r(2）答案B解析根據(jù)三視圖作出原幾何體（四棱錐P－ABCD)的直觀圖如下：可計(jì)算PB＝PD＝BC＝eq\r（2），PC＝eq\r（6），故該幾何體的最大邊長(zhǎng)為eq\r(6).3。如圖是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面展開圖，則多面體ABCDE的體積為（)A.2B.eq\f（2,3)C.eq\f(4，3）D.eq\f(8，3）答案D解析多面體ABCDE為四棱錐(如圖),利用割補(bǔ)法可得其體積V＝4－eq\f(4,3）＝eq\f（8，3），故選D.4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，下圖畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（)A。12eq\r(13)＋6eq\r(2）＋18 B.9eq\r（13)＋6eq\r(2）＋18C。9eq\r(13）＋8eq\r（2)＋18 D。9eq\r（13）＋6eq\r（2）＋12答案B解析作出該幾何體的直觀圖如圖所示(所作圖形進(jìn)行了一定角度的旋轉(zhuǎn)），故所求幾何體的表面積S＝2×3×eq\r(13)＋2×eq\f（1,2)×3×eq\r(13）＋eq\f（1,2）×4×6＋eq\f（1,2）×3×4＋eq\f(1，2）×4×3eq\r(2)＝9eq\r(13)＋6eq\r(2）＋18，故選B。5。某錐體的三視圖如圖所示，用平行于錐體底面的平面把錐體截成體積相等的兩部分，則截面面積為（)A。2 B。2eq\r（2）C。2eq\r（3，2） D。2eq\r（3，4）答案C解析三視圖表示的幾何體(如圖)是四棱錐（鑲嵌入棱長(zhǎng)為2的正方體中)，且四棱錐F－ABCD的底面為正方形ABCD，面積為4，設(shè)截面面積為S，所截得小四棱錐的高為h，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(S,4）＝\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（h，2）)）2,，\f(1,3)Sh＝\f（1,2)×\f（1，3）×4×2，))解得S＝2eq\r(3,2).6。某幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的體積為()A.8－2π B。8－πC.8－eq\f(π,2) D。8－eq\f(π，4）答案B解析由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體切去兩個(gè)四分之一圓柱而成，所以該幾何體的體積為V＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（22－2×\f（1,4)×π×12)）×2＝8－π。7.(2018·全國(guó)Ⅰ）某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如下圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正(主）視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)（左)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為(）A.2eq\r(17) B。2eq\r（5)C.3 D.2答案B解析先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題中的三視圖可知，點(diǎn)M,N的位置如圖①所示。圓柱的側(cè)面展開圖及M，N的位置（N為OP的四等分點(diǎn))如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑.｜ON|＝eq\f（1,4)×16＝4,｜OM|＝2，∴｜MN|＝eq\r（|OM｜2＋|ON｜2）＝eq\r(22＋42）＝2eq\r(5）.故選B。8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積是（)A.8π B。12πC.16π D.eq\f（25π，2)答案D解析如圖所示，該幾何體是三棱錐D—ABC，其中AB＝2eq\r(2)，AC＝2,BC＝2eq\r（3），取BC的中點(diǎn)E，則DE＝eq\r(2),且AB⊥AC，DE⊥平面ABC,故外接球球心O必在直線DE上，設(shè)三棱錐D—ABC外接球的半徑為R，由（OD－DE）2＋EC2＝OC2＝R2,得(R－eq\r(2）)2＋(eq\r（3））2＝R2，解得R2＝eq\f(25，8），故三棱錐D—ABC的外接球的表面積S＝4πR2＝eq\f(25π，2)，故選D.9。如圖，側(cè)棱長(zhǎng)為2eq\r（3）的正三棱錐V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，過點(diǎn)A作截面△AEF，則截面△AEF的周長(zhǎng)的最小值為____________.答案6解析沿著側(cè)棱VA把正三棱錐V－ABC展開在一個(gè)平面內(nèi)，如圖，則AA′即為截面△AEF周長(zhǎng)的最小值，且∠AVA′＝3×40°＝120°，VA＝VA′＝2eq\r(3).在△VAA′中，由余弦定理可得AA′＝6。10。(2018·三門峽期末)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就.書中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽(yáng)馬”，若某“陽(yáng)馬"的三視圖如圖所示(網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1)，則該“陽(yáng)馬"最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為________。答案5eq\r(2）解析由三視圖知，幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直,如圖所示。其中PA⊥平面ABCD，∴PA＝3,AB＝CD＝4,AD＝BC＝5，∴PB