2023屆內蒙古包頭一中數學高一第二學期期末聯考模擬試題含解析

2022-2023學年高一下數學期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．從裝有4個紅球和3個白球的袋中任取2個球，那么下列事件中，是對立事件的是（）A．至少有1個白球；都是紅球 B．至少有1個白球；至少有1個紅球C．恰好有1個白球；恰好有2個白球 D．至少有1個白球；都是白球2．不等式的解集是：A． B．C． D．3．若是第四象限角，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角4．各棱長均為的三棱錐的表面積為（）A． B． C． D．5．已知函數，則（）A． B． C． D．6．角α的終邊上有一點P（a，|a|），a∈R且a≠0，則sinα值為（）A． B． C．1 D．或7．已知向量與的夾角為，，，當時，實數為()A． B． C． D．8．函數的圖像關于直線對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．19．在中，角的對邊分別為.若，，，則邊的大小為（）A．3 B．2 C． D．10．在等差數列中，已知，則數列的前9項之和等于（）A．9 B．18 C．36 D．52二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等腰三角形底角的余弦值等于，則這個三角形頂角的正弦值為________．12．若數列滿足，且，則___________.13．_________.14．設變量x、y滿足約束條件，則目標函數的最大值為_______.15．已知向量、的夾角為，且，，則__________．16．函數的定義域為____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，，，，，，，分別為棱，的中點.（1）證明：平面.（2）證明：平面平面.18．某高速公路隧道內設雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形的三邊構成（如圖所示）．已知隧道總寬度為，行車道總寬度為，側墻面高，為，弧頂高為．（）建立適當的直角坐標系，求圓弧所在的圓的方程．（）為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有．請計算車輛通過隧道的限制高度是多少．19．正四面體是側棱與底面邊長都相等的正三棱錐，它的對棱互相垂直.有一個如圖所示的正四面體，E，F，G分別是棱AB，BC，CD的中點.（1）求證：面EFG；（2）求異面直線EG與AC所成角的大小.20．若是公差不為0的等差數列的前n項和，且成等比數列.（1）求數列的公比.（2）若，求的通項公式.21．已知三棱柱（如圖所示），底面為邊長為2的正三角形，側棱底面，，為的中點.（1）求證：平面；（2）若為的中點，求證：平面；（3）求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

根據對立事件的定義判斷．【詳解】從裝有4個紅球和3個白球的袋內任取2個球，在A中，“至少有1個白球”與“都是紅球”不能同時發(fā)生且必有一個事件會發(fā)生，是對立事件.在B中，“至少有1個白球”與“至少有1個紅球”可以同時發(fā)生，不是互斥事件.在C中，“恰好有1個白球”與“恰好有2個白球”是互斥事件，但不是對立事件.在D中，“至少有1個白球”與“都是白球”不是互斥事件.故選：A.2、C【解析】

把不等式轉化為不等式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，不等式，等價于，解得，即不等式的解集為，故選C．【點睛】本題主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟記一元二次不等式的解法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．3、C【解析】

利用象限角的表示即可求解.【詳解】由是第四象限角，則，所以，所以是第三象限角.故選：C【點睛】本題考查了象限角的表示，屬于基礎題.4、C【解析】

判斷三棱錐是正四面體，它的表面積就是四個三角形的面積，求出一個三角形的面積即可求解本題.【詳解】由題意可知三棱錐是正四面體，各個三角形的邊長為a，三棱錐的表面積就是四個全等三角形的面積，即，

所以C選項是正確的.【點睛】本題考查棱錐的表面積，考查空間想象能力，計算能力，是基礎題.5、A【解析】

由題意結合函數的解析式分別求得的值，然后求解兩者之差即可.【詳解】由題意可得：，，則.故選：A.【點睛】求分段函數的函數值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值．6、B【解析】

根據三角函數的定義，求出OP，即可求出的值．【詳解】因為，所以，故選B．【點睛】本題主要考查三角函數的定義應用．7、B【解析】

利用平面向量數量積的定義計算出的值，由可得出，利用平面向量數量積的運算律可求得實數的值.【詳解】，，向量與的夾角為，，，，解得.故選：B.【點睛】本題考查利用向量垂直求參數，考查計算能力，屬于基礎題.8、C【解析】

的對稱軸為，化簡得到得到答案.【詳解】對稱軸為：當時，有最小值為故答案選C【點睛】本題考查了三角函數的對稱軸，將對稱軸表示出來是解題的關鍵，意在考查學生對于三角函數性質的靈活運用.9、A【解析】

直接利用余弦定理可得所求.【詳解】因為，所以，解得或（舍）.故選A.【點睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應用，考查了一元二次方程的解法，屬于基礎題．10、B【解析】

利用等差數列的下標性質，可得出，再由等差數列的前項和公式求出的值.【詳解】在等差數列中，故選：B【點睛】本題考查了等差數列的下標性質、以及等差數列的前項和公式，考查了數學運算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

已知等腰三角形可知為銳角，利用三角形內角和為，建立底角和頂角之間的關系，再求解三角函數值．【詳解】設此三角形的底角為，頂角為，易知為銳角，則，，所以．【點睛】給值求值的關鍵是找準角與角之間的關系，再利用已知的函數求解未知的函數值．12、【解析】

對已知等式左右取倒數可整理得到，進而得到為等差數列；利用等差數列通項公式可求得，進而得到的通項公式，從而求得結果.【詳解】，即數列是以為首項，為公差的等差數列故答案為：【點睛】本題考查利用遞推公式求解數列通項公式的問題，關鍵是明確對于形式的遞推關系式，采用倒數法來進行推導.13、【解析】

根據誘導公式和特殊角的三角函數值可計算出結果.【詳解】由題意可得，原式.故答案為.【點睛】本題考查誘導公式和特殊三角函數值的計算，考查計算能力，屬于基礎題.14、3【解析】

可通過限定條件作出對應的平面區(qū)域圖，再根據目標函數特點進行求值【詳解】可行域如圖所示;則可化為,由圖象可知,當過點時，有最大值，則其最大值為:故答案為:3.【點睛】線性規(guī)劃問題關鍵是能正確畫出可行域，目標函數可由幾何意義確定具體含義（最值或斜率）15、【解析】

根據向量的數量積的應用進行轉化即可．【詳解】，與的夾角為，∴?||||cos4，則，故答案為．【點睛】本題主要考查向量長度的計算，根據向量數量積的應用是解決本題的關鍵．16、【解析】

先將和分別解出來，然后求交集即可【詳解】要使，則有且由得由得因為所以原函數的定義域為故答案為：【點睛】解三角不等式的方法：1.在單位圓中利用三角函數線，2.利用三角函數的圖像三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）由勾股定理得，已知，故得證；（2）由題，E為AB中點，，故ABCD為平行四邊形，，由F為PB中點，EF為三角形APB的中位線，故，AP和AD相交于A，EF和CE相交于E，故得證．【詳解】證明：（1）因為，，，所以，由所以.因為，，所以平面.（2）因為為棱的中點，所以，因為，所以.因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面.因為，分別為棱，的中點，所以，所以平面.因為，平面，平面，所以平面平面.【點睛】本題考查直線和平面垂直的判定，平面和平面平行的判斷，比較基礎．18、（1）；（2）3.5【解析】試題分析:（1）建立直角坐標系，設圓一般方程，根據三點E,F,M坐標解出參數（2）根據題意求出圓上橫坐標等于c點橫坐標的縱坐標，再根據要求在豎直方向上的高度之差至少要有得車輛通過隧道的限制高度試題解析：（1）以所在直線為軸，以所在直線為軸，以1m為單位長度建立直角坐標系，則，，，由于所求圓的圓心在軸上，所以設圓的方程為，因為，在圓上，所以，解得，，所以圓的方程為．

（2）設限高為，作，交圓弧于點，則，將的橫坐標代入圓的方程，得，得或（舍），所以（m）．

答：車輛通過隧道的限制高度是米19、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）連接EF，FG，GE，通過三角形的中位線可得，進而可得面EFG；（2）由題可得為異面直線EG與AC所成角，根據正四棱錐的特點得到為等腰直角三角形，進而可得結果.【詳解】解：（1）連接EF，FG，GE，如圖，E，F分別是棱AB，BC的中點，，又面EFG，面EFG，面EFG；（2）由（1），則為異面直線EG與AC所成角，AC與BD是正四面體的對棱，，又，，又，為等腰直角三角形，，即異面直線EG與AC所成角的大小為.【點睛】本題考查線面平行的證明，以及異面直線所成的角，通過直線平行找到異面直線所成角的平面角是關鍵，本題難度不大.20、（1）公比為4；（2）【解析】

（1）設，然后根據相關條件去計算公比；（2）由（1）的結論計算的表達式，然后再計算的通項公式.【詳解】（1）設.∴，∴，.∴，即的公比為4（2）∵，∴，即，當時，，當時，符合，∴【點睛】（1）已知等差數列的三項成等比數列，可利用首項和公差將等式列出，找到首項和公差的關系；（2）利用計算通項公式時，要注意驗證的情況.21、（1