【考點訓練】第18章勾股定理181勾股定理勾股定理

【考點訓練】勾股定理的證明-1一、選擇題（共5小題）1．如圖，這是我國古代一個數(shù)學家結構的“勾股圓方圖”（見課本第76頁），他第一個利用此圖證了然“勾股定理”．這個數(shù)學家是（）A．祖B．楊C．趙D．華沖羅輝爽之庚2．勾股定理是幾何中的一個重要定理．在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記錄．如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形組成的，能夠用其面積關系考證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內獲得的，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，則D，E，F(xiàn)，G，H，I都在長方形KLMJ的邊上，則長方形KLMJ的面積為（）A．50B．52C．54D．563．以下選項中，不可以用來證明勾股定理的是（）A．B．C．D．4．（2012?寧波）勾股定理是幾何中的一個重要定理．在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記錄．如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形組成的，能夠用其面積關系考證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內獲得的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為（）A．90B．100C．110D．1215．（2010?南寧）以下圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD均分∠ABC，交AC于點D，且AB=4，BD=5，則點D到BC的距離是（）A．3B．4C．5D．6二、填空題（共3小題）（除非特別說明，請?zhí)钫_值）6．（2011?溫州）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后代稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化獲得，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，則S2的值是_________．7．（2008?湖州）利用圖（1）或圖（2）兩個圖形中的相關面積的等量關系都能證明數(shù)學中一個十分有名的定理，這個定理稱為_________，該定理的結論其數(shù)學表達式是_________．8．（2010?溫州）勾股定理有著悠長的歷史，它曾惹起好多人的興趣．1955年希臘刊行了二枚以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形組成，它能夠考證勾股定理．在右圖的勾股圖中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得R=90°，點H在邊QR上，點D，E在邊PR上，點G，F(xiàn)在邊PQ上，那么△PQR的周長等于_________．三、解答題（共2小題）（選答題，不自動判卷）9．（2010?孝感）勾股定理是一條古老的數(shù)學定理，它有好多種證明方法，我國漢代數(shù)學家趙爽依據(jù)弦圖，利用面積進行了證明．有名數(shù)學家華羅庚提出把“數(shù)形關系”（勾股定理）帶到其余星球，作為地球人與其余星球“人”進行第一次“講話”的語言．請依據(jù)圖1中直接三角形表達勾股定理．以圖1中的直角三角形為基礎，能夠結構出以2）．請你利用圖2，考證勾股定理；

a，b為底，以

a+b為高的直角梯形（如圖利用圖

2中的直角梯形，我們能夠證明

＜．其證明步驟以下：∵BC=a+b，AD=

_________

；又∵在直角梯形

ABCD

中有

BC

_________

AD（填大小關系），即

_________

．∴＜．10．（2009?新疆）如圖是用硬紙板做成的四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別是斜邊長為c和一個邊長為c的正方形，請你將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形．

a，b，（1）畫出拼成的這個圖形的表示圖．（2）證明勾股定理．【考點訓練】勾股定理的證明-1參照答案與試題分析一、選擇題（共

5小題）1．如圖，這是我國古代一個數(shù)學家結構的圖證了然“勾股定理”．這個數(shù)學家是（

“勾股圓方圖”（見課本第）

76頁），他第一個利用此A．祖B．楊C．趙D．華沖輝爽羅之庚考勾股定理的證明．點：分利用數(shù)學史知識直接得出答案．析：解

解：如圖這是我國古代一個數(shù)學家結構的

“勾股圓方圖”（見課本第

76頁），他第一個答：

利用此圖證了然“勾股定理”．這個數(shù)學家是趙爽．應選：C．點本題主要考察了數(shù)學史，嫻熟記憶推出重要定理人物是解題重點．評：2．勾股定理是幾何中的一個重要定理．在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記錄．如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形組成的，能夠用其面積關系考證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內獲得的，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，則D，E，F(xiàn)，G，H，I都在長方形KLMJ的邊上，則長方形KLMJ的面積為（）A．50B．52C．54D．56考勾股定理的證明．點：分延伸AB交KF于點O，延伸AC交GM于點P，可得四邊形AOLP是正方形，而后求析：出正方形的邊長，再求出矩形KLMJ的長與寬，而后依據(jù)矩形的面積公式列式計算即可得解．解解：如圖，延伸AB交KF于點O，延伸AC交GM于點P，答：所以，四邊形AOLP是正方形，邊長AO=AB+AC=2+3=5，所以，KL=2+5=7，LM=3+5=8，所以，矩形KLMJ的面積為7×8=56．應選：D．點本題考察了勾股定理的證明，作出協(xié)助線結構出正方形是解題的重點．評：3．以下選項中，不可以用來證明勾股定理的是（）A．B．C．D．考勾股定理的證明．點：分依據(jù)圖形的面積得出a，b，c的關系，即可證明勾股定理，分別剖析得出即可．析：解

解：A，B，C都能夠利用圖形面積得出

a，b，c的關系，即可證明勾股定理；故

A，答：

B，C選項不切合題意；、不可以利用圖形面積證明勾股定理，故此選項正確．應選：D．點本題主要考察了勾股定理的證明方法，依據(jù)圖形面積得出是解題重點．評：4．（2012?寧波）勾股定理是幾何中的一個重要定理．在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記錄．如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形組成的，能夠用其面積關系考證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內獲得的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為（）A．90B．100C．110D．121考勾股定理的證明．點：專慣例題型；壓軸題．題：分延伸AB交KF于點O，延伸AC交GM于點P，可得四邊形AOLP是正方形，而后求析：出正方形的邊長，再求出矩形KLMJ的長與寬，而后依據(jù)矩形的面積公式列式計算即可得解．解解：如圖，延伸AB交KF于點O，延伸AC交GM于點P，答：所以，四邊形AOLP是正方形，邊長AO=AB+AC=3+4=7，所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，所以，矩形KLMJ的面積為10×11=110．應選C．點本題考察了勾股定理的證明，作出協(xié)助線結構出正方形是解題的重點．評：5．（2010?南寧）以下圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD均分∠ABC，交AC于點D，且AB=4，BD=5，則點D到BC的距離是（）A．3B．4C．5D．6考勾股定理的證明．點：專壓軸題．題：分先依據(jù)勾股定理求出AD的長度，再依據(jù)角均分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質析：解答．解解：過D點作DE⊥BC于E．答：∵∠A=90°，AB=4，BD=5，∴AD===3，BD均分∠ABC，∠A=90°，∴點D到BC的距離=AD=3．應選A．點本題利用勾股定理和角均分線的性質．評：二、填空題（共3小題）（除非特別說明，請?zhí)钫_值）6．（2011?溫州）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后代稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化獲得，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，則S2的值是．考勾股定理的證明．點：專壓軸題．題：分依據(jù)圖形的特點得出四邊形MNKT的面積設為x，將其余八個全等的三角形面積一個析：設為y，從而用123x，y表示出S，S，S，得出答案即可．解解：將四邊形MTKN的面積設為x，將其余八個全等的三角形面積一個設為y，答：∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，S1+S2+S3=10，∴得出S=8y+x，S=4y+x，S=x，123S1+S2+S3=3x+12y=10，故3x+12y=10，x+4y=，所以S2=x+4y=，故答案為：．點本題主要考察了圖形面積關系，依據(jù)已知得出用123，再利用x，y表示出S，S，S評：S1+S2+S3=10求出是解決問題的重點．7．（2008?湖州）利用圖（1）或圖（2）兩個圖形中的相關面積的等量關系都能證明數(shù)學中一個十分有名的定理，這個定理稱為勾股定理，該定理的結論其數(shù)學表達式是a2+b2=c2．考勾股定理的證明．點：專證明題．題：分經(jīng)過圖中三角形面積、正方形面積之間的關系，證明勾股定理．析：解解：用圖（2）較簡單，答：如圖正方形的面積=（a+b）2，用三角形的面積與邊長為c的正方形的面積表示為24×ab+c，即（a+b）2=4×ab+c2化簡得a2+b2=c2．這個定理稱為勾股定理．故答案為：勾股定理、a2+b2=c2．點本題是用數(shù)形聯(lián)合來證明勾股定理，鍛煉了同學們的數(shù)形聯(lián)合的思想方法．評：8．（2010?溫州）勾股定理有著悠長的歷史，它曾惹起好多人的興趣．1955年希臘刊行了二枚以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形組成，它能夠考證勾股定理．在右圖的勾股圖中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得R=90°，點H在邊QR上，點D，E在邊PR上，點G，F(xiàn)在邊PQ上，那么△PQR的周長等于27+13．考勾股定理的證明．點：專壓軸題．題：分析：

在直角△ABC中，依據(jù)三角函數(shù)即可求得AC，從而由等邊三角形的性質和正方形的性質及三角函數(shù)便可求得QR的長，在直角△QRP中運用三角函數(shù)即可獲得RP、QP的長，便可求出△PQR的周長．解解：延伸BA交QR于點M，連結AR，AP．答：AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF，∴△ABC≌△GFC，∴∠CGF=∠BAC=30°，∴∠HGQ=60°，∵∠HAC=∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAH=180°，又AD∥QR，∴∠RHA+∠DAH=180°，∴∠RHA=∠BAC=30°，∴∠QHG=60°，∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，∴△QHG是等邊三角形．AC=AB?cos30°=4×

=2

．則

QH=HA=HG=AC=2

．在直角△HMA中，HM=AH?sin60°=2×=3．AM=HA?cos60°=．在直角△AMR中，MR=AD=AB=4．∴QR=2+3+4=7+2．∴QP=2QR=14+4．PR=QR?=7+6．∴△PQR的周長等于RP+QP+QR=27+13．故答案為：27+13．點正確運用三角函數(shù)以及勾股定理是解決本題的重點．評：三、解答題（共2小題）（選答題，不自動判卷）9．（2010?孝感）勾股定理是一條古老的數(shù)學定理，它有好多種證明方法，我國漢代數(shù)學家趙爽依據(jù)弦圖，利用面積進行了證明．有名數(shù)學家華羅庚提出把“數(shù)形關系”（勾股定理）帶到其余星球，作為地球人與其余星球“人”進行第一次“講話”的語言．請依據(jù)圖1中直接三角形表達勾股定理．以圖1中的直角三角形為基礎，能夠結構出以a，b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2）．請你利用圖2，考證勾股定理；利用圖2中的直角梯形，我們能夠證明＜．其證明步驟以下：∵BC=a+b，AD=c；又∵在直角梯形ABCD中有BC＜AD（填大小關系），即a+b＜c．∴＜．考勾股定理的證明；全等三角形的判斷與性質．點：專閱讀型．題：分利用SAS可證△ABE≌△ECD，可得對應角相等，聯(lián)合90°的角，可證∠AED=90°，利析：用梯形面積等于三個直角三角形的面積和，可證222a+b=c，在直角梯形ABCD中，BC＜AD，因為已證△AED是直角三角形，那么利用勾股定理有AD=c，從而可證＜．解解：假如直角三角形的兩直角邊長為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．答：Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB=∠EDC；又∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°；∴∠AED=90°；（5分）梯形ABCD=SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED（a+b）（a+b）=++；（a2+2ab+b2）=++；整理得a2+b2=c2（7分）．AD=c，BC＜AD，a+bc．（10分）點本題利用了全等三角形的判斷和性質、面積切割法、勾股定理等知識．評：10．（2009?新疆）如圖是用硬紙板做成的四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別是斜邊長為c和一個邊長為c的正方形，請你將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形．

a，b，（1）畫出拼成的這個圖形的表示圖．（2）證明勾股定理．考勾股定理的證明．點：專作圖題；證明題．題：分勾股定理的證明能夠經(jīng)過圖形的面積之間的關系來達成．析：解解法一：（1）如圖；答：（2）證明：∵大正方形的面積表示為（a+b）2大正方形的面積也可