【高1數(shù)學(xué)】002-四種命題的形式充分條件與必要條件

四種命題的形式、充分條件與必要條件基礎(chǔ)見(jiàn)解一、基礎(chǔ)知識(shí)歸納本周主要學(xué)習(xí)了四種命題的形式，充分條件與必要條件等相關(guān)見(jiàn)解，及反證法的思想．充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)見(jiàn)解，主要用來(lái)劃分命題的條件p和結(jié)論q之間的關(guān)系．本節(jié)主若是經(jīng)過(guò)不同樣的知識(shí)點(diǎn)來(lái)剖析充分必要條件的意義，讓考生能正確判斷給定的兩個(gè)命題的充要關(guān)系．二、重點(diǎn)知識(shí)歸納及講解1、命題的見(jiàn)解：能夠判斷真假的語(yǔ)句叫做命題．2、簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題：簡(jiǎn)單命題：不含邏輯聯(lián)系詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡(jiǎn)單命題，簡(jiǎn)單命題一般不能夠分解出其他的命題，平常簡(jiǎn)單命題難以劃分條件和結(jié)論，因此簡(jiǎn)單命題的真假判斷不能依靠命題邏輯推理，其真假只能依照客觀事實(shí)或生活經(jīng)驗(yàn)自行判斷。以下命題均是簡(jiǎn)單命題。1+1=2,5>3,雪是白色的，今天沒(méi)有下雨。復(fù)合命題：由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)系詞組成的命題叫復(fù)合命題。簡(jiǎn)單命題經(jīng)過(guò)"非"、“或”、“與”、“包含”以及“等值”這些命題連接詞（亦稱(chēng)邏輯連接詞）而組成的命題稱(chēng)為復(fù)合命題。平常生活中的“若是那么"、”只有才“、”不但而且“、”誠(chéng)然但是“、”當(dāng)且僅當(dāng)"、“只有”等連接詞語(yǔ)均可符號(hào)化為最基本的五種命題連接詞。以下例子都是復(fù)合命題：5≥3，若是x是整數(shù)，那么x+3也是整數(shù)。3、判斷復(fù)合命題的真假：（1）“非p”形式復(fù)合命題的真假能夠用下表表示：p非p真假假真即一個(gè)命題的否定與原命題的真假相反．（2）“p且q”形式復(fù)合命題的真假能夠用下表表示：pqp且q真真真1真假假假真假假假假即當(dāng)p、q為真時(shí)，p且q為真；當(dāng)p、q中最少有一個(gè)為假時(shí)，p且q為假．（3）“p或q”形式復(fù)合命題的真假能夠用下表表示：pqp或q真真真真假真假真真假假假即當(dāng)p、q中最少有一個(gè)為真時(shí)，p或q為真；當(dāng)p、q都為假時(shí)，p或q為假．4、原命題：若p則q（p是原命題的條件，q是原命題的結(jié)論）；抗命題：若q則p（交換原命題的題設(shè)和結(jié)論）；否命題：若非p則非q（同時(shí)否定原命題的條件與結(jié)論）；逆否命題：若非q則非p（交換原命題的題設(shè)和結(jié)論后同時(shí)否定之）．四種命題及互相關(guān)系用圖表表示為：說(shuō)明：①原命題、否命題、抗命題和逆否命題是互相的．②寫(xiě)原命題的否命題、抗命題和逆否命題的重點(diǎn)是：找出所給原命題的條件p與結(jié)論q．5、反證法：欲證“若p則q”為真命題，從否定其結(jié)論“非p”出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的邏輯推理得出矛盾，進(jìn)而“非p”為假，即原命題為真，這樣的方法叫反證法．2證題的步驟：1）假設(shè)數(shù)題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；2）從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；3）由矛盾判斷假設(shè)不正確，進(jìn)而必然數(shù)題的結(jié)論正確．說(shuō)明：反證法是一種間接證明命題的基本方法．在證明一個(gè)數(shù)學(xué)命題時(shí)，若是運(yùn)用直接證明法比較困難或難以證明時(shí)，可運(yùn)用反證法進(jìn)行證明．反證法的基本思想：經(jīng)過(guò)證明命題的否定是假命題，進(jìn)而說(shuō)明原命題是真命題．6、推斷符號(hào)“”的含義：由p經(jīng)過(guò)推理能夠得出q，即若是p成立，那么q必然成立，此時(shí)可記作“pq”；由p經(jīng)過(guò)推理得不出q，即若是p成立，推不出q成立，此時(shí)可記作“pq”．7、充分條件與必要條件：一般地，若是已知pq，那么就說(shuō)：p是q的充分條件；q是p的必要條件．8、充要條件：一般地，若是既有pq，又有qp，就記作：pq．“”叫做等價(jià)符號(hào)．pq表示pq且qp．這時(shí)p既是q的充分條件，又是q的必要條件，則p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件．9、充分條件與必要條件的分類(lèi)：命題按條件和結(jié)論的充分性和必要性可分為四類(lèi)：若pq但qp，則p是q的充分不用要條件；若qp但pq，則p是q的必要不充分條件；若pq且qp，則p是q的充要條件；若pq且qp，則p是q的既不充分也不用要條件．10、從會(huì)集角度理解：3①pq，相當(dāng)于PQ，即或即：要使xQ成立，只要xP就足夠了——有它就行．②qp，相當(dāng)于PQ，即或4即：為使xQ成立，必定要使xP——缺它不能夠．qp等價(jià)于pq．③pq，相當(dāng)于PQ，即即：互為充要的兩個(gè)條件刻劃的是同一事物．三、難點(diǎn)知識(shí)剖析本節(jié)的難點(diǎn)主若是充要條件的判斷，其解決方法主要有：1、要理解“充分條件”“必要條件”的見(jiàn)解，當(dāng)“若p則q”形式的命題為真時(shí)，就記作pq，稱(chēng)p是q的充分條件，同時(shí)稱(chēng)q是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸納為判斷命題的真假．2、要理解“充要條件”的見(jiàn)解，關(guān)于符號(hào)“”要熟悉它的各種同義詞語(yǔ)：“等價(jià)于”，“當(dāng)且僅當(dāng)”，“必定而且只要”，“，反之也真”等．3、數(shù)學(xué)見(jiàn)解的定義擁有相當(dāng)性，即數(shù)學(xué)見(jiàn)解的定義都能夠看作是充要條件，既是見(jiàn)解的判斷依照，又是見(jiàn)解所擁有的性質(zhì)．54、從會(huì)集見(jiàn)解看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若AB，則A、互為充要條件．5、證明命題條件的充要性時(shí)，既要證明原命題成立（即條件的充分性），又要證明它的抗命題成立（即條件的必要性）．典型例題例1、（1）“ABC中，若C90，則A、B都是銳角”的否命題為（）A．ABC中，若C90B．ABC中，若C90C．ABC中，若C90

，則A、B都不是銳角，則A、B不都是銳角，則A、B都不用然是銳角D．以上都不對(duì)（2）用反證法證明命題：若整數(shù)系數(shù)一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a、b、c中最少有一個(gè)是偶數(shù)，以下假設(shè)中正確的選項(xiàng)是（）A．假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)B．假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a、b、c至多有一個(gè)是偶數(shù)D．假設(shè)a、b、c至多有兩個(gè)是偶數(shù)3）有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了”；乙說(shuō)：“甲、丙未獲獎(jiǎng)”；丙說(shuō)：“是甲或乙獲獎(jiǎng)”；丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng)”．四位歌手的話只有兩句是對(duì)了，則是_______獲獎(jiǎng)了．剖析：1）由命題之間的關(guān)系易選B；（2）“最少有一個(gè)”的反面是“一個(gè)都沒(méi)有”，應(yīng)選B；（3）設(shè)獲獎(jiǎng)用“1”表示，未獲獎(jiǎng)用“0”表示，則依次四人的話列表以下：甲乙丙丁甲：甲獲獎(jiǎng)1000乙：甲、丙未獲獎(jiǎng)0101丙：甲或乙獲獎(jiǎng)1100?。阂耀@獎(jiǎng)0100由表可知，只有第一列吻合四位歌手的話只有兩句是對(duì)的，故是甲獲獎(jiǎng)了．答案：（1）B；（2）B；（3）甲例2、（上海）（1）a1,b1,c1,a2,b2,c2均為非零實(shí)數(shù)，不等式a1x2b1xc10和6a2x2b2xc20的解集分別為會(huì)集M和N，那么“a1b1c1”是“MN”的（）a2b2c2A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件（2）已知p:|3x4|2，q:10，則p是q的（）2x2xA．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件剖析：（1）若是“a1b1c10”，則“MN”，若是“a1b1c10”，則“MN”，a2b2c2a2b2c2因此“a1b1c1”“MN”，反之若“MN”，即說(shuō)明二次不等式的解a2b2c2集為空集，與它們的系數(shù)比無(wú)任何關(guān)系，只要求鑒識(shí)式小于零．因此“MN”“a1b1c1”，因此“a1b1c1”是“MN”的既不充分也不用要條件．a(chǎn)2b2c2a2b2c2（2）解法一：∵p:{x|x2或x2}，q:{x|x2或x1}．23∴p:{x|2}，q:{x|1x2}．x3∴pq，qp．∴p是q的充分不用要條件．解法二：由法一知，∴qp，pq．∴pq，qp．即：p是q的充分不必要條件．答案：（1）D（2）A例3、已知命題p:方程x2mx10有兩個(gè)不相等的實(shí)負(fù)根．命題q:方程4x24(m2)x10無(wú)實(shí)根；若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．剖析：先分別求滿足條件p和q的m的取值范圍，再利用復(fù)合命題的真假進(jìn)行轉(zhuǎn)變與談?wù)摚饰觯?由命題p能夠獲?。簃240，∴m2．m0由命題q能夠獲取：[4(m2)]2160，∴1m3．∵p或q為真，p且q為假，∴p、q有且僅有一個(gè)為真．m2m3，當(dāng)p為真，q為假時(shí)，或m3m1m21m2，當(dāng)p為假，q為真時(shí)，m31因此，m的取值范圍為{m|m3或1m2}．例4、已知p:1x12，q:x22x1m20(m0)，若p是q的充分而不用要3條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．剖析：利用等價(jià)命題先進(jìn)行命題的等價(jià)轉(zhuǎn)變，搞清命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解集間的包含關(guān)系，進(jìn)而使問(wèn)題解決．剖析：x12x10，則p:A{x|x2或x10}．由12解得：3又當(dāng)m0時(shí)，由x22x1m20得：1mx1m，則q:B{x|x1m或x1m,m0}．p是q的充分非必要條件，m0∴AB，結(jié)合數(shù)軸應(yīng)有1m2，解得：0m3為所求．1m10例5、若p0，q0，p3q32．試用反證法證明：pq2．剖析：此題直接由條件推證pq2是較難的，由此用反證法證之．證明：假設(shè)pq2，∵p0，q0．∴(pq)3p33p2q3pq2q38．8又∵p3q32．∴代入上式得：3pq(pq)6，即：pq(pq)2(1)．又由p3q32，即(pq)(p2pqq2)2代入(1)得：pq(pq)(pq)(p2pqq2)．∵p0，q0．∴pq0．pqp2pqq2，但這與(pq)20矛盾，∴假設(shè)pq2不成立，故pq2．說(shuō)明：反證法：是一種證明題目的間接方法，在有些題目的證明中用反證法特別簡(jiǎn)潔，但其實(shí)不是每一題用反證都恰倒好處．那么，關(guān)于哪些題目適合用反證法呢？1）從這些條件推出所知的也很少或無(wú)法用已知條件進(jìn)行直接證明的；2）當(dāng)問(wèn)題中能用來(lái)作為推理依照的公義、定理很少，無(wú)法直接證明或證明無(wú)從下手的；3）結(jié)論以否定的形式出現(xiàn)，無(wú)法引用定理來(lái)證明否定形式的結(jié)論；4）對(duì)要證明的命題，已知它的抗命題是正確的；5）要求證明的命題適合某種條件的結(jié)論唯一存在．對(duì)反證法的掌握，還有待于隨著學(xué)習(xí)的深入，漸漸提高．9基礎(chǔ)練習(xí)一、選擇題1、有以下5個(gè)命題：（1）沒(méi)有男生愛(ài)踢足球；（2）所有男生都不愛(ài)踢足球；（3）最少有一個(gè)男生不愛(ài)踢足球；（4）所有女生都愛(ài)踢足球；（5）所有男生都愛(ài)踢足球．其中命題（5）的否定是（）A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）2、某個(gè)命題與正整數(shù)n相關(guān)，若是當(dāng)nk(kN)時(shí)，該命題成立，那么可適合nk1時(shí)命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)n5時(shí)，該命題不成立，則可推出（）．當(dāng)C．當(dāng)

n6時(shí)，該命題不成立B．當(dāng)n4時(shí)，該命題不成立D．當(dāng)

6時(shí)，該命題成立4時(shí)，該命題成立3、設(shè)會(huì)集A{x|x2x60}，B{x|mx10}，則B是A的真子集的一個(gè)充分不必要的條件是（）A．m{1,3}B．m1C．m{0,1,1}D．m{0,2}2224、（湖北）有限會(huì)集S中元素個(gè)數(shù)記作card(S)，設(shè)A、B都為有限會(huì)集，給出以下命題：①AB的充要條件是card(AB)card(A)card(B)；②AB的必要條件是card(A)card(B)；③AB（真包含）的充分條件是card(A)card(B)；④AB的充要條件是card(A)card(B)．其中真命題的序號(hào)是（）A．③④B．①②C．①④D．②③二、填空題5、有以下命題：①面積相等的三角形是全等三角形；②“若xy0，則|x||y|0”的逆命題；③“若ab，則acbc”的否命題；④“矩形的對(duì)角線互相垂直”的逆否命題．其中真命題共有_________個(gè)．6、在原命題及其抗命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)能夠是_________．7、命題p:{2}{1,2,3}，q:{2}{1,2,3}，則對(duì)復(fù)合命題的下述判斷：①p或q為真；p或q為假；③p且q為真；④p且q為假；⑤非p為真；⑥非q為假．其中判斷正確的序號(hào)是_________（填上你認(rèn)為正確的所有序號(hào)）．8、若是x、y是實(shí)數(shù)，那么xy0是|xy||x||y|的________條件．109、若三條拋物線yx24ax4a3，yx2(a1)xa2，yx22ax2a中最少有一條與x軸有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．10、設(shè)會(huì)集U{(x,y)|xR,yR}，A{(x,y)|2xym0}，B{(x,y)|xyn0}，那么點(diǎn)P(2,3)ACUB的充要條件是________．三、解答題：11、已知p:1x12，q:x22x1m20(m0)，若p是q的必要而不充分3條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．12、p:2m0，0n1；q:關(guān)于x的方程x2mxn0有2個(gè)小于1的正根，試分析p是q的什么條件．13、已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2axb0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，證明：||2且||2是2|a|4b且|b|4的充要條件．11答案：1-4：CCBB○○6：0或2或4.○○○⑥5：237：1458：充分非必要條件9：a≥0或a≤-3/210：m>-1,n>511、m>9,12、p是q的必要不充分條件關(guān)于X的方程x^2+mx+n=0有兩個(gè)小于1的正根依照韋達(dá)定理x1+x2=-mx1*x2=n因?yàn)?<x1<10<x2<1因此能夠推出:-2<m<0,0<n<1但是還需要一個(gè)條件：△=m^2-4n>0因此p不能夠推出q,q能夠推出p即p是q的必