高等數(shù)學公式

/《高等數(shù)學》教學大綱（?？疲┦褂梅秶汗彩聵I(yè)管理專業(yè)（專科）、工商管理專業(yè)(?？疲┣把愿叩葦?shù)學是高等院校大部分專業(yè)的一門重要基礎理論課，是深入學習專業(yè)課程的必備基礎．培養(yǎng)學生的科學精神和科學素養(yǎng)。隨著數(shù)學在各學科中的應用日益廣泛，無論將來從事科研工作還是教學工作,都應該具備良好的數(shù)學基礎和靈活應用數(shù)學的能力．本課程主要學習一元函數(shù)和多元函數(shù)的微積分學,以及無窮級數(shù)和常微分方程的主要內(nèi)容，是將來進一步學習專業(yè)知識的必備的數(shù)學基礎。學習方法:１。注重理解，在理解的基礎上熟記基本概念、基本公式、基本定理.2。通過典型例題加深對概念、性質(zhì)、定理的理解。3．必須熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及基本積分公式。4．強調(diào)基本概念的理解，而不注重概念的抽象性；5.強調(diào)基本理論的實際應用，而不強調(diào)理論的證明技巧；６.強調(diào)基本計算方法的運用,而不追求運算的技巧。第一章函數(shù)［教學目的和要求］1．理解鄰域及空心鄰域的概念及表示方法。2．理解函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域,值域，能判定兩個函數(shù)是否相同.３。掌握函數(shù)的三種表示法。４.理解分段函數(shù)的定義.5．掌握函數(shù)的基本性質(zhì):奇偶性，周期性，單調(diào)性,有界性。6．會用奇偶性的定義判定函數(shù)的奇偶性，會用單調(diào)性定義判定函數(shù)的單調(diào)性.7.了解反函數(shù)的定義，會求某些函數(shù)的反函數(shù).8．理解復合函數(shù)的概念，會把復合函數(shù)分解為簡單函數(shù)。９.掌握基本初等函數(shù)的定義，掌握六種基本初等函數(shù)的表達式，基本性質(zhì)，圖形，定義域，值域。10.掌握初等函數(shù)的定義.[教學基本內(nèi)容]§1．1實數(shù)與數(shù)軸實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)全體實數(shù)和數(shù)軸上的全體點一一對應.§1.2實數(shù)的絕對值及其基本性質(zhì)│x│的定義和幾何意義§1．３區(qū)間與鄰域一、區(qū)間有限區(qū)間：⑴開區(qū)間,⑵閉區(qū)間,⑶半開半閉區(qū)間，無限區(qū)間：⑷右端無限⑸左端無限⑹兩端無限全體實數(shù)集合:（－∞，+∞）=｛x│－∞〈x<+∞｝區(qū)間的長。二、鄰域鄰域,鄰域的中心，鄰域的半徑。空心鄰域?！?．4函數(shù)及其表示方法一、函數(shù)定義常量，變量,函數(shù)的定義，定義域,值域定義域和對應規(guī)則是確定函數(shù)關系的兩個要素。二、函數(shù)表示法函數(shù)的表示法有三種：列表法,圖形法和公式法（解析法)。分段函數(shù)§１。5函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的基本性質(zhì)有：奇偶性，周期性,單調(diào)性，有界性?！?。6反函數(shù)、復合函數(shù)一、反函數(shù)在同一坐標系中,y＝ｆ(x）與y＝—１(x)的圖像關于直線y＝x對稱二、復合函數(shù)§1．7初等函數(shù)一、基本初等函數(shù):常數(shù)函數(shù),冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)和反三角函數(shù)二、初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合所得到的函數(shù)稱為初等函數(shù)。第二章極限與連續(xù)［教學目的和要求]１．理解數(shù)列極限的定義。2。掌握數(shù)列極限四則運算法則和基本性質(zhì)，會求數(shù)列極限.３．理解函數(shù)極限定義,會求函數(shù)極限。掌握左極限和右極限的定義,極限與左右極限的關系,會判定分段函數(shù)在分段點極限存在與否。4。掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)及四則運算法則.5.掌握無窮大與無窮小的定義與關系。6．掌握無窮小的性質(zhì).7．掌握無窮小量階的比較。8.理解極限存在的兩個準則。9。熟記兩個重要極限，能運用它們來計算相關極限.10．掌握連續(xù)的概念及連續(xù)的表示方法.1１．能判定函數(shù)在某一點是否連續(xù)。１2.理解左右連續(xù)的定義，能判定分段函數(shù)在分段點是否連續(xù)。13.理解函數(shù)在開區(qū)間及閉區(qū)間上連續(xù)的定義.１4．掌握連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。１5．掌握間斷點的定義,會求函數(shù)間斷點。16．理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)。［教學基本內(nèi)容]§2．1數(shù)列的極限數(shù)列定義。數(shù)列收斂發(fā)散的定義.數(shù)列極限四則運算法則數(shù)列極限的基本性質(zhì):1。唯一性2．有界性3．常數(shù)列的極限是它本身?！?．2函數(shù)極限x→∞時，函數(shù)（ｘ)的極限；x→x0時，(x）的極限左右極限定義。函數(shù)（ｘ）在點x0處極限存在充分必要條件是在該點的左右極限都存在，并且相等.函數(shù)極限的性質(zhì)：1．唯一性2．有界性3．局部保號性.。極限四則運算法則§2．３無窮大量與無窮小量無窮大量，無窮小量定義，無窮大量與無窮小量的關系，無窮小量的性質(zhì),無窮小量的階（高階，低階,同階，等價)§2。4兩個重要極限一、極限存在的準則(夾擠法，單調(diào)有界原理)二、兩個重要極限（1）=1(2）＝ｅ或＝e§２.5連續(xù)函數(shù)增量定義，連續(xù)的概念，函數(shù)在一點處連續(xù)的三層含義,左右連續(xù)定義,連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，間斷點定義和類型。§２．6閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)一、有界性二、最大值，最小值定理三、介值定理四、根的存在性第三章導數(shù)與微分［教學目的和要求]1．掌握導數(shù)定義及表示方法，會用導數(shù)定義求導數(shù)。２.了解導數(shù)的幾何意義。3．理解導函數(shù)定義及表示方法。4。掌握左右導數(shù)的定義及函數(shù)在閉區(qū)間上可導的定義,會判定分段函數(shù)在分段點是否可導.５.掌握可導與連續(xù)的關系。６．熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)四則運算法則。7．掌握復合函數(shù)的求導方法。8。掌握隱函數(shù)求導方法及對數(shù)求導法。９.理解高階導數(shù)的定義,會求高階導數(shù)。１0．掌握微分的定義及表示方法,微分與導數(shù)的關系。11.掌握基本初等函數(shù)的微分公式及微分的四則運算法則，會求微分.12．了解一階微分的形式不變性。［教學基本內(nèi)容］§3。1引入導數(shù)概念的例題（了解）一、由平均速度求瞬時速度二、由割線斜率求切線斜率§3。2導數(shù)的概念導數(shù)定義,用導數(shù)定義求導數(shù)，導數(shù)的幾何意義，物理意義，左右導數(shù)，可導與連續(xù)的關系§3．3基本初等函數(shù)的導數(shù)公式導數(shù)的四則運算法則§3.4復合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)的導數(shù)一、復合函數(shù)的導數(shù)：復合函數(shù)對自變量的導數(shù)等于復合函數(shù)對中間變量的導數(shù)再乘以中間變量對自變量的導數(shù)。若ｙ＝［(ｘ）]，其中u=(ｘ），則=·二、反函數(shù)的導數(shù)（了解)若ｙ=（x）的反函數(shù)是ｘ=則＝三、隱函數(shù)的導數(shù)四、取對數(shù)求導法(一）基本初等函數(shù)的導數(shù)公式（熟記）１。=02．＝α3．＝(a＞０,a≠１）=4。=(a〉0，a≠１）=5。＝ｃｏsx6.＝-sinx７．＝８．=－９．＝10．＝－11.＝（－１〈x＜１)12．=－（-1〈x〈1)13．=１4.＝－（二）求導法則(熟記)1．=±2。=＋=C3．＝（v≠0）＝（v≠0)4。＝其中y＝(u)ｕ＝５.＝（≠0）（了解)§3．5高階導數(shù)＝,=sin(x+n)，=cos(x＋n）§３.6微分微分的定義，(由導數(shù)基本公式可求出微分基本公式)微分基本公式(熟記）1．ｄC=０2．d（）=αｄx3。d（）=dx（ａ＞0，a≠１）4．d(lnｘ）＝dx５。ｄ（）＝lnadx（a〉0,a≠1）6。d()＝dx7.d(siｎｘ）＝cosxdx8．ｄ(ｃosx）＝-sｉｎxdｘ9．d(ｔｇx)＝=dx10.ｄ（ctgx)＝-＝—dx11.d（ｓecx）＝secx·tgｘdx12。d（cscx）=—cｓcx·ctgｘdx13．d（ａrcsｉnｘ)＝（-1＜x〈１)１４.ｄ(ａｒｃcoｓx）=-（－1＜x＜１)1５．d（arctgｘ)=dx1６．ｄ（ａrcctgx)=—dx二、微分的運算法則1．d(ｕ±v)＝du±ｄv2．d（uv)=udv+vdu3．d（Cv)=Cdv4．ｄ（）=(v≠０)5。d(）＝—dv三．一階微分的形式不變性第四章中值定理與導數(shù)應用[教學目的和要求]掌握羅爾定理，拉格朗日定理的內(nèi)容及幾何意義，了解柯西定理，掌握三個定理之間的關系。２．掌握拉格朗日定理的兩個推論。3。會驗證某函數(shù)是否滿足某中值定理。4.能熟練應用羅必達法則求函數(shù)極限。5。能熟練應用導數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性。6．掌握極值的定義，能熟練應用導數(shù)求函數(shù)的極值。7。會求函數(shù)的最大最小值。8．掌握曲線凸凹性及拐點的定義，能熟練應用導數(shù)來判定凸凹性及拐點.９.會求曲線的漸近線。1０．了解函數(shù)作圖。［教學基本內(nèi)容］§4.1中值定理羅爾定理，羅爾定理的幾何意義;拉格朗日定理,拉格朗日定理的幾何意義,推論1,推論2,柯西中值定理§4．2未定式的定值法一、型未定式(羅必達法則Ⅰ）二、型未定式（羅必達法則Ⅱ)0·∞型,∞—∞型未定式可化為型或型０°,，∞°型未定式可先取對數(shù)§4。3函數(shù)的單調(diào)性§４.４函數(shù)的極值一、函數(shù)的極植極大值(或極小值）二、極值的判定與求法駐點，極值存在的必要條件，極值存在的充分條件Ⅰ,極值存在的充分條件Ⅱ三、函數(shù)的最大值和最小值§4．5曲線的凸凹性、拐點和漸近線曲線的凸凹性及拐點，曲線的漸近線1．水平漸近線2.垂直漸近線3．斜漸近線§4.６函數(shù)作圖第五章不定積分[教學目的和要求］1．掌握原函數(shù)及不定積分的定義，不定積分的表示方法。2。了解不定積分的幾何意義。3．掌握不定積分的基本性質(zhì)。4．熟記基本積分公式。５．能準確計算不定積分［教學基本內(nèi)容］§5．1原函數(shù)與不定積分原函數(shù)定義，不定積分定義,不定積分的幾何意義§5.2不定積分的性質(zhì)一、基本積分公式（熟記）1.=Ｃ（C為常數(shù)）2．＝x＋Ｃ３.＝（a≠-1）4．＝(a〉０，ａ≠１）5．＝6.＝7．＝8。=－9。=1０。=＝－11．＝１2.=ln+Ｃ§５.４不定積分的計算直接積分法，換元積分法：第一類換元法（湊微分法），第二類換元法§5.5分部積分法第六章定積分［教學目的和要求]1.掌握定積分的定義及表示方法,了解定積分的幾何意義.２．掌握定積分的基本性質(zhì)。3.會求函數(shù)在區(qū)間上的平均值。4．掌握定積分與不定積分的關系。5．掌握原函數(shù)存在定理。６。會求變限積分的導數(shù)。7。能應用換元法，分部積分法等方法準確計算定積分。8．會利用定積分求平面圖形的面積和了解旋轉(zhuǎn)體體積的計算。9。了解廣義積分的定義和廣義積分的斂散性的判定。10．了解Г函數(shù)的定義，基本性質(zhì)及簡單計算。［教學基本內(nèi)容］§6．1定積分的概念一、引出定積分概念的例題1．求曲邊梯形的面積2。求變速直線運動的距離二、定積分的定義，定積分的幾何意義§６.2定積分的基本性質(zhì)§6.3定積分與不定積分的關系原函數(shù)存在定理§6．4定積分的計算一、定積分的換元積分法二、定積分的分部積分法§６。5定積分的應用一、求平面圖形的面積二、求立體的體積１.已知平行截面面積求體積(了解）2.旋轉(zhuǎn)體的體積Vx=π，Vｙ＝π§6。6廣義積分與Г函數(shù)廣義積分定義，收斂,發(fā)散定義1．無限區(qū)間上的廣義積分2.無界函數(shù)的廣義積分,Г函數(shù)定義，性質(zhì)第七章多元函數(shù)[教學目的和要求]1.了解空間直角坐標系。2。理解二元函數(shù)的定義，會求二元函數(shù)的定義域。３．了解二元函數(shù)的極限及連續(xù)的定義,二元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的基本性質(zhì)。4．掌握一階，二階偏導數(shù)的定義及計算.5．掌握全微分的定義及計算方法。6．掌握多元復合函數(shù)的求導方法。７．掌握隱函數(shù)微分法。８。掌握二元函數(shù)極值的定義及計算。9。掌握二重積分的定義及基本性質(zhì)，了解二重積分的幾何意義10.掌握直角坐標系下二重積分的計算。了解極坐標系下二重積分的計算[教學基本內(nèi)容］§7。1空間解析幾何一、空間直角坐標系二、空間任意兩點間的距離§7。２多元函數(shù)一、多元函數(shù)的定義二、二元函數(shù)的定義域§７．3二元函數(shù)的極限與連續(xù)§7.4偏導數(shù)增量,一階偏導數(shù)，二階偏導數(shù)§７．5全微分§７.6多元復合函數(shù)的求導法則§7。７隱函數(shù)微分法§7．８二元函數(shù)的極值§7.９二重積分二重積分定義，性質(zhì),計算第八章微分方程與差分方程［教學目的和要求］1．掌握微分方程，方程的階數(shù)，通解,特解的概念。２.掌握一階微分方程的解法.３。掌握幾種二階微分方程的解法.４．掌握差分的概念及計算。５．了解差分方程的相關概念。［教學基本內(nèi)容］§8.1微分方程的一般概念§8．2一階微分方程一、變量可分離的一階微分方程二、齊次方程三、一階線性非齊次微分方程§8。3幾種二階微分方程一、最簡單的二階微分方程二、不顯含y的二階微分方程三、不顯含自變量x的二階微分方程§8.4二階常系數(shù)線性微分方程§8。5差分方程