2023屆安徽省蒙城二中數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將分別沿折起，使兩點(diǎn)重合于，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．2．點(diǎn)直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．或C． D．或3．已知向量，則與的夾角為（）A． B． C． D．4．設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，在?nèi)任取一點(diǎn)，的概率是（）A． B． C． D．5．已知，則三個(gè)數(shù)、、由小到大的順序是（）A． B．C． D．6．三角形的三條邊長(zhǎng)是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)，且最大角是最小角的2倍，則該三角形的最大邊長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．6 D．77．下列函數(shù)的最小值為的是（）A． B．C． D．8．已知，且，，則（）A． B． C． D．9．已知是第三象限的角，若，則A． B． C． D．10．，，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是A．， B．，C．，，共面 D．，，共點(diǎn)，，共面二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．異面直線，所成角為，過空間一點(diǎn)的直線與直線，所成角均為，若這樣的直線有且只有兩條，則的取值范圍為___________________.12．已知銳角的外接圓的半徑為1，，則的面積的取值范圍為_____．13．在區(qū)間[-1,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈[0,1]的概率為.14．在空間直角坐標(biāo)系中，三棱錐的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為的球面上，為球心，，，，，則球的體積與三棱錐的體積之比是_____.15．已知x，y滿足，則的最大值為________.16．已知正數(shù)、滿足，則的最小值是________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，角所對(duì)的邊分別為，，，，為的中點(diǎn).（1）求的長(zhǎng)；（2）求的值.18．四棱錐中，，，底面，，直線與底面所成的角為，、分別是、的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）若，求證：直線平面；（3）求棱錐的體積．19．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)證明：；(2)若，求邊上的高.20．已知是的內(nèi)角，分別是角的對(duì)邊.若,（1）求角的大小；（2）若，的面積為，為的中點(diǎn)，求21．某校從高一(1)班和(2)班的某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)中各隨機(jī)抽取了6份數(shù)學(xué)成績(jī)組成一個(gè)樣本,如莖葉圖所示(試卷滿分為100分)(1)試計(jì)算這12份成績(jī)的中位數(shù)；(2)用各班的樣本方差比較兩個(gè)班的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平,哪個(gè)班更穩(wěn)定一些?

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

在正方形中連接，交于點(diǎn)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，在折疊圖中平面，得到，從而平面，面平面，則是在平面上的射影，找到直線與平面所所成的角.然后在直角三角中求解.【詳解】如圖所示：在正方形中連接，交于點(diǎn)，在折疊圖，連接，因?yàn)?，所以平面，所以，又因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面，則是在平面上的射影，所以即為所求.因?yàn)楣蔬x：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊圖問題，還考查了推理論證和空間想象的能力，屬于中檔題.2、C【解析】

直線經(jīng)過定點(diǎn)，斜率為，數(shù)形結(jié)合利用直線的斜率公式，求得實(shí)數(shù)的取值范圍，得到答案．【詳解】如圖所示，直線經(jīng)過定點(diǎn)，斜率為，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，則,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線過定點(diǎn)問題，以及直線的斜率公式的應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合法，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的計(jì)算公式可得cosθ的值，據(jù)此分析可得答案．【詳解】設(shè)與的夾角為θ，由、的坐標(biāo)可得||＝5，||＝3，?5×0+5×（﹣3）＝﹣15，故，所以.故選D【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算，涉及向量夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解析】作出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，四邊形所示，作出直線，由幾何概型的概率計(jì)算公式知的概率，故選A.5、C【解析】

比較三個(gè)數(shù)、、與的大小關(guān)系，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、的大小，可得出這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】，，，，且，函數(shù)為減函數(shù)，所以，，即，，因此，，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪的大小關(guān)系，常用的方法有如下幾種：（1）底數(shù)相同，指數(shù)不同，利用同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較大??；（2）指數(shù)相同，底數(shù)不同，利用同指數(shù)的冪函數(shù)的單調(diào)性來比較大小；（3）底數(shù)和指數(shù)都不相同時(shí)，可以利用中間值法來比較大小.6、C【解析】

根據(jù)三角形滿足的兩個(gè)條件，設(shè)出三邊長(zhǎng)分別為，三個(gè)角分別為，利用正弦定理列出關(guān)系式，根據(jù)二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，表示出，然后利用余弦定理得到，將表示出的代入，整理后得到關(guān)于的方程，求出方程的解得到的值，【詳解】解：設(shè)三角形三邊是連續(xù)的三個(gè)自然，三個(gè)角分別為，

由正弦定理可得：，

，

再由余弦定理可得：，

化簡(jiǎn)可得：，解得：或（舍去），

∴，故三角形的三邊長(zhǎng)分別為：,故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函數(shù)公式，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.7、C【解析】分析：利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出正誤，注意“一正二定三相等”的使用法則．詳解：A.時(shí)顯然不滿足條件；B.其最小值大于1．D.令因此不正確．故選C.點(diǎn)睛：本題考查基本不等式，考查通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個(gè)命題不正確，是一種簡(jiǎn)單有效的方法．8、C【解析】

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和差的正弦公式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，，所以．所以．故選：【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的正弦公式，屬于中檔題.9、D【解析】

根據(jù)是第三象限的角得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得的值.【詳解】因?yàn)槭堑谌笙薜慕?，所以，因?yàn)?，所以解得：，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查余弦函數(shù)在第三象限的符號(hào)及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即已知值，求的值.10、B【解析】

解：因?yàn)槿绻粭l直線平行于兩條垂線中的一條，必定垂直于另一條．選項(xiàng)A，可能相交．選項(xiàng)C中，可能不共面，比如三棱柱的三條側(cè)棱，選項(xiàng)D，三線共點(diǎn)，可能是棱錐的三條棱，因此錯(cuò)誤．選B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

將直線，平移到交于點(diǎn)，設(shè)平移后的直線為，，如圖，過作及其外角的角平分線，根據(jù)題意可以求出的取值范圍.【詳解】將直線，平移到交于點(diǎn)，設(shè)平移后的直線為，，如圖，過作及其外角的角平分線，異面直線，所成角為，可知，所以，所以在方向，要使有兩條，則有：，在方向，要使不存在，則有，綜上所述，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線的所成角的有關(guān)性質(zhì)，考查了空間想象能力.12、【解析】

由已知利用正弦定理可以得到b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），利用三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由銳角三角形求B的范圍，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．【詳解】解：∵銳角△ABC的外接圓的半徑為1，A＝，∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），∴S△ABC＝bcsinA＝×2sinB×2sin（﹣B）×＝sinB（cosB+sinB）＝sin（2B﹣）+，∵B，C為銳角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．故答案為：（1，]．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．13、【解析】

直接利用長(zhǎng)度型幾何概型求解即可.【詳解】因?yàn)閰^(qū)間總長(zhǎng)度為，符合條件的區(qū)間長(zhǎng)度為，所以，由幾何概型概率公式可得，在區(qū)間[-1,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈[0,1]的概率為，故答案為：.【點(diǎn)睛】解決幾何概型問題常見類型有：長(zhǎng)度型、角度型、面積型、體積型，求與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計(jì)算問題的總長(zhǎng)度以及事件的長(zhǎng)度.14、【解析】

首先根據(jù)坐標(biāo)求出三棱錐的體積，再計(jì)算出球的體積即可.【詳解】有題知建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示由圖知：平面，...故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的外接球，根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.15、6【解析】

作出不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，即可得到答案.【詳解】由題意，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)，可化為直線，當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)在軸上的截距最大，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值，又由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為.故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、.【解析】

利用等式得，將代數(shù)式與代數(shù)式相乘，利用基本不等式求出的最小值，由此可得出的最小值.【詳解】，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值是，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，解題時(shí)要對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理配湊，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)．(2)【解析】

（1）在中分別利用余弦定理完成求解；（2）在中利用正弦定理求解的值.【詳解】解：（1）在中，由余弦定理得，∴，解得∵為的中點(diǎn)，∴．在中，由余弦定理得，∴．（2）在中，由正弦定理得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查解三角形中的正余弦定理的運(yùn)用，難度較易.對(duì)于給定圖形的解三角形問題，一定要注意去結(jié)合圖形去分析.18、（1）見解析（2）見解析（3）【解析】

（1）由中位線定理可得，，再根據(jù)平行公理可得，，即可根據(jù)線面平行的判定定理證出；（2）根據(jù)題意可計(jì)算出，而是的中點(diǎn)，可得，又，即可根據(jù)線面垂直的判定定理證出；（3）根據(jù)等積法，即可求出．【詳解】（1）證明：連接，，，、是、中點(diǎn)，，從而．又平面，平面，直線平面；（2）證明：，，．底面，直線與底面成角，．．是的中點(diǎn)，．，．面，面，直線平面；（3）由題可知，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理的應(yīng)用，以及利用等積法求三棱錐的體積，意在考查學(xué)生的直觀想象能力，邏輯推理能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）見解析（2）【解析】分析：(1)由，結(jié)合正弦定理可得，即；（2）由，結(jié)合余弦定理可得，從而可求得邊上的高.詳解：（1）證明：因?yàn)椋?，所以，?(2)解：因?yàn)椋?又，所以，解得，所以，所以邊上的高為.點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.20、(1)(2)【解析】

（1）由，可將，轉(zhuǎn)化為,，代入原式，根據(jù)正弦定理可得，結(jié)合余弦定理，及，可得角C的大小。（2）因?yàn)?，所以。所以為等腰三角形，根?jù)面積為，可得，在，，，，結(jié)合余弦定理，即可求解?！驹斀狻浚?）由得由正弦定理，得，即所以又，則（2）因?yàn)?，所?所以為等腰三角形，且頂角.因?yàn)樗?在中，，，，所以解得.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦定理，余弦定理，求面積公式，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生分析推理，計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬基礎(chǔ)題。21、(1)80；(2)