結(jié)構(gòu)力學(xué)靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

結(jié)構(gòu)力學(xué)靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算第一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日§4-1結(jié)構(gòu)位移計(jì)算概述

一、桿系結(jié)構(gòu)的位移AVAHAA'A（1）絕對(duì)線(xiàn)位移和絕對(duì)角位移（簡(jiǎn)稱(chēng)線(xiàn)位移和角位移）（2）相對(duì)線(xiàn)位移和相對(duì)角位移ABCDA'B'CDCD第二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日a）驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度；b）為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析打基礎(chǔ)；c）建筑起拱。MQN↓↓↓↓↓↓↓↓↓t+t不產(chǎn)生內(nèi)力，產(chǎn)生變形產(chǎn)生位移b）溫度改變和材料脹縮；c）支座沉降和制造誤差。不產(chǎn)生內(nèi)力和變形產(chǎn)生剛體移動(dòng)位移是幾何量，理論上可用幾何法來(lái)求，如但因幾何關(guān)系的復(fù)雜性，一般用虛功法。其理論基礎(chǔ)是虛功原理。a）荷載作用；計(jì)算位移時(shí)，常假定：1）E；2）小變形；3）具有理想約束的體系。即：線(xiàn)彈性體系。荷載與位移成正比，計(jì)算位移可用疊加原理。

二、計(jì)算位移有三個(gè)目的三、產(chǎn)生位移的主要原因第三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日如屋架在豎向荷載作用下，下弦各結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生虛線(xiàn)所示位移將各下弦桿做得比實(shí)際長(zhǎng)度短些，拼裝后下弦向上起拱。在屋蓋自重作用下，下弦各桿位于原設(shè)計(jì)的水平位置。返航

第四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日§4-2虛功原理一、實(shí)功與虛功實(shí)功是力在自身引起的位移上所作的功。如W11，W22。實(shí)功恒為正。虛功是力在其它原因產(chǎn)生的位移上作的功。如W12，如力與位移同向，虛功為正，如力與位移反向，虛功為負(fù)P1P2112212荷載由零增大到P1，其作用點(diǎn)的位移也由零增大到11，對(duì)線(xiàn)彈性體系P與成正比。P11P1元功dW=PdW11dWSOAB

P111/2再加P2，P2在自身引起的位移22上作的功W22P2222在12過(guò)程中，P1的值不變，W12=P11212與P1無(wú)關(guān)dTOABKj位移發(fā)生的位置產(chǎn)生位移的原因

第五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日二、廣義力與廣義位移作功的兩方面因素：力、位移。與力有關(guān)因素，稱(chēng)為廣義力S；與位移有關(guān)的因素，稱(chēng)為廣義位移。廣義力與廣義位移的關(guān)系有其虛功定義WS1）廣義力是單個(gè)集中力P，則廣義位移是該力的作用點(diǎn)沿力的作用線(xiàn)方向上的線(xiàn)位移。PΔmβ2）廣義力是一個(gè)集中力偶，則廣義位移是它所作用的截面的轉(zhuǎn)角位移。3）若廣義力是等值、反向的一對(duì)力PPPttABBAWPAPBP(AB)P這里是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。表示AB兩點(diǎn)間距的改變，即AB兩點(diǎn)的相對(duì)位移。4）若廣義力是一對(duì)等值、反向的力偶mABmmABWmAmBm(AB)m這里是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。表示AB兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。

第六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日P1P2

三、靜力可能力狀態(tài)與位移可能位移狀態(tài)N1、Q1、M1YA1YB1XB1體系上作用一組力系（含外力、內(nèi)力），稱(chēng)為力狀態(tài)，如果該力系滿(mǎn)足靜力平衡條件。稱(chēng)該狀態(tài)為靜力可能的力狀態(tài)。N2、Q2、M2YA2YB2XB2同一體系上可有無(wú)數(shù)個(gè)靜力可能的力狀態(tài)。1、1、12、2、212體系上產(chǎn)生一組位移（含結(jié)構(gòu)位移和變形位移），稱(chēng)為位移狀態(tài)，如果該位移狀態(tài)滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件。稱(chēng)之為位移可能的位移狀態(tài)。同一體系上可有無(wú)數(shù)個(gè)可能位移狀態(tài)。兩組可能位移的差（微小）稱(chēng)為虛位移。虛位移也可定義為協(xié)調(diào)、任意、微小的位移。1、靜力可能的力狀態(tài)2、位移可能的位移狀態(tài)第七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日四、虛功原理

若同一體系上的兩狀態(tài)是彼此無(wú)關(guān)的靜力可能狀態(tài)和位移可能狀態(tài)，則力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)相應(yīng)結(jié)構(gòu)位移上所做的虛功（外力虛功）等于力狀態(tài)的內(nèi)力在位移狀態(tài)相應(yīng)變形位移上所做的虛功（內(nèi)力虛功）；反之亦然。外力靜力可能力狀態(tài)位移可能位移狀態(tài)理解2①力狀態(tài)是靜力可能的；內(nèi)力結(jié)構(gòu)位移變形位移②位移狀態(tài)是位移可能的；③外力虛功等于內(nèi)力虛功。三個(gè)條件：理解1滿(mǎn)足任意兩個(gè)條件必滿(mǎn)足第三個(gè)條件。虛功方程第八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日虛位移原理等價(jià)于平衡條件，abACB

PXδP

1

可用于剛體系平衡問(wèn)題的求解。對(duì)于理想約束，約束反力不做功；剛體無(wú)變形，內(nèi)力不做功。虛功方程退化為：主動(dòng)力體系位移0例：求杠桿在圖示位置平衡時(shí)X的值。P

X

由代入習(xí)慣上，設(shè)則虛位移原理實(shí)際上將平衡問(wèn)題歸結(jié)為幾何問(wèn)題求解若某力狀態(tài)在可能位移狀態(tài)相應(yīng)結(jié)構(gòu)位移上所做的外力虛功等于內(nèi)力虛功，則該力狀態(tài)必是靜力可能的力狀態(tài)。五、虛功原理的應(yīng)用1、虛位移原理第九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日2、虛力原理

若靜力可能力狀態(tài)在某位移狀態(tài)上所做的外力虛功等于內(nèi)力虛功，則該位移狀態(tài)必是位移可能的位移狀態(tài)。虛力原理等價(jià)于協(xié)調(diào)條件，可用于體系幾何問(wèn)題的求解。例：剛體系，A支座發(fā)生位移c，求B端位移。

b

acΔP=1建立虛功方程：PΔ+RAc=0（↑）AB第十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓N2N2+dNQ2Q2+dQM2M2+dMdsdu1

§4-3結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算AA'qPmAⅠ實(shí)際狀態(tài)——位移狀態(tài)Ⅱ虛設(shè)狀態(tài)——靜力可能力狀態(tài)位移狀態(tài)的結(jié)構(gòu)位移：一、位移計(jì)算公式位移狀態(tài)的變形位移：dsdsdv11dsd1靜力可能力狀態(tài)的外力：靜力可能力狀態(tài)的內(nèi)力：dsdsN2dN、Q2dQ

、M2dM由虛功方程：忽略?xún)?nèi)力增量的影響對(duì)于線(xiàn)彈性體此式也適用非彈性體第十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

因靜力可能力狀態(tài)是任意的，為計(jì)算方便，此時(shí)可設(shè)位移狀態(tài)中相應(yīng)內(nèi)力以P為下標(biāo)。虛功方程改寫(xiě)為此即線(xiàn)彈性結(jié)構(gòu)在力荷載作用下的位移計(jì)算公式。（單位荷載法）（1）EA、GA和EI分別是桿件截面的拉壓、剪切和彎曲剛度；

k是截面形狀系數(shù)k矩=1.2，k圓=10/9。注：（2）是實(shí)際荷載引起的內(nèi)力；（3）是虛擬力狀態(tài)引起的內(nèi)力。二、各類(lèi)結(jié)構(gòu)位移計(jì)算公式的簡(jiǎn)化公式右邊各項(xiàng)分別表示軸向、剪切、彎曲變形對(duì)位移的影響。不同結(jié)構(gòu)類(lèi)型有不同的受力特點(diǎn)，公式右邊各項(xiàng)對(duì)所求位移的影響也不盡相同。故可簡(jiǎn)化之。第十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

（3）拱：通常只考慮彎曲變形的影響。（1）梁和剛架：位移主要由彎矩引起，軸力影響較小。（2）桁架：位移僅由軸力引起。一般情況下（淺梁），剪切對(duì)位移的影響很小，通常忽略不計(jì)。但在扁平拱（l/f>5）中計(jì)算水平位移時(shí)需考慮軸向變形對(duì)位移的影響：第十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日在擬求位移處沿著擬求位移的方向，虛設(shè)相應(yīng)的廣義單位荷載lAB求A點(diǎn)的水平位移求A截面的轉(zhuǎn)角求AB兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角求AB兩點(diǎn)的相對(duì)位移求AB兩點(diǎn)連線(xiàn)的轉(zhuǎn)角位移方向未知時(shí)無(wú)法直接虛擬力狀態(tài)！

但所虛設(shè)的力狀態(tài)必須具有在虛功方程中能激活所求位移的性質(zhì)。公式的應(yīng)用的關(guān)鍵是：視實(shí)際狀態(tài)為位移狀態(tài)，虛設(shè)靜力可能的力狀態(tài)。三、虛擬力狀態(tài)的建立第十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

四、應(yīng)用舉例解：例1：求圖示桁架(各桿EA相同)B點(diǎn)水平位移。（1）設(shè)力狀態(tài)如圖所示（2）計(jì)算位移狀態(tài)的內(nèi)力如圖所示（3）計(jì)算力狀態(tài)的內(nèi)力如圖所示（4）代入公式計(jì)算位移注：當(dāng)一個(gè)狀態(tài)下出現(xiàn)零桿，則另一狀態(tài)下對(duì)應(yīng)的內(nèi)力可不必計(jì)算第十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

例2：求曲梁B點(diǎn)的豎向位移（EI、EA、GA已知）解：ROBAP（1）虛設(shè)的力狀態(tài)如圖所示（2）計(jì)算位移狀態(tài)和力狀態(tài)的內(nèi)力K（兩狀態(tài)的內(nèi)力需在同一坐標(biāo)系下計(jì)算）K（3）代入公式計(jì)算位移小曲率桿可利用直桿公式近似計(jì)算;軸向變形,剪切變形對(duì)位移的影響可略去不計(jì)第十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日例3：求圖示等長(zhǎng)l、等截面剛架C端的豎向位移和轉(zhuǎn)角。

ABC↓↓↓↓↓↓↓↓q解：分別虛設(shè)力狀態(tài)如圖所示求CV的力狀態(tài)1求C的力狀態(tài)2分別列出各狀態(tài)下的彎矩方程位移狀態(tài)x1x1x1x2x2x2積分?？捎脠D形相乘來(lái)代替第十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日yxdxxxCP

§4-4圖乘法剛架與梁的位移計(jì)算公式為：建筑結(jié)構(gòu)中最常見(jiàn)的是剛架與梁圖乘法可簡(jiǎn)化公式的積分計(jì)算一、圖乘法的原理及其應(yīng)用條件OMPdP豎標(biāo)，再除以桿的彎曲剛度EI。公式積分等于MP圖的面積P乘以與其形心所對(duì)應(yīng)的圖的所以設(shè)圖線(xiàn)為直線(xiàn)類(lèi)似地，若設(shè)MP圖線(xiàn)為直線(xiàn)，則C第十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日①∑表示對(duì)各桿和各桿段分別圖乘再相加。②圖乘法的應(yīng)用條件：

a）EI常數(shù)；b）直桿；c）兩個(gè)彎矩圖至少有一個(gè)是直線(xiàn)。③豎標(biāo)y必須在直線(xiàn)形彎矩圖中取值，面積則在另一彎矩圖中取值。④若兩個(gè)彎矩圖都是直線(xiàn)，任選一個(gè)取面積，另一個(gè)取豎標(biāo)。⑤面積與豎標(biāo)y在桿的同側(cè)，y

取正號(hào)，異側(cè)取負(fù)號(hào)。⑥基本圖形的面積與形心位置：除矩形外，常見(jiàn)的是三角形和二次標(biāo)準(zhǔn)拋物線(xiàn)。

應(yīng)用條件及說(shuō)明：(a+l)/3(b+l)/3hl/2labhl/2l/2h二次拋物線(xiàn)2hl/3頂點(diǎn)第十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日1/2Pl/4MP圖例：求圖示梁B端的轉(zhuǎn)角。

Pl/2l/2EIAB1、設(shè)原結(jié)構(gòu)為位移狀態(tài)：解：2、虛設(shè)力狀態(tài)如圖所示：作相應(yīng)的MP圖，如圖所示。作相應(yīng)的圖，如圖所示。3、用圖乘法求位移：（）1圖P當(dāng)圖乘法的適用條件不滿(mǎn)足時(shí)，可做適當(dāng)處理！第二十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

二、圖乘法的處理技巧可按疊加法作彎矩圖的反向思路，當(dāng)圖為非基本圖形時(shí)，將MP圖分解為若干基本圖形，1P2P然后分別圖乘疊加。1、圖形分解例：求圖示梁A端的豎向位移。lEIABq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓解：虛設(shè)力狀態(tài)并作彎矩圖；l作原狀態(tài)并彎矩圖；圖ql2/2ql2/8圖將MP圖分解；ql2/2ql2/8（）圖的面積和形心不易確定，第二十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

常見(jiàn)的圖形分解如下：ablababablabhhablablhabh有拋物線(xiàn)先連線(xiàn)拋物線(xiàn)兩端；然后從基線(xiàn)開(kāi)始分解；每一次分解后的直線(xiàn)又視為新的基線(xiàn)。第二十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

應(yīng)分段圖乘再疊加。2、當(dāng)圖線(xiàn)為分段直線(xiàn)或?yàn)殡A梯截面時(shí)，例：求圖示梁跨中C截面豎向位移。Pl/2l/2EIABPl/4MP圖l/4M圖C（）?一塊面積只能對(duì)應(yīng)一條直線(xiàn)！1P2P（）曲桿或EI連續(xù)變化的直桿不能用圖乘法。第二十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日PPaaa例：求圖示梁中點(diǎn)的撓度。PaPaP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2CPlCP=1l/2l/65Pl/6？

MP圖M圖（）MP圖M圖例：求圖示梁C點(diǎn)的撓度。？（）第二十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

例：求圖示階梯梁B點(diǎn)的撓度。ql2/2MP圖M圖l/2A

B2EIEIl/2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qql2/2lMP圖ql2/8ql2/81P2P3P4P5PlM圖bacde此類(lèi)圖乘尚有更簡(jiǎn)便的盈虧法。第二十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

三、圖乘法應(yīng)用舉例例：求圖示梁C點(diǎn)的撓度。解：求圖示梁C點(diǎn)的撓度。1、設(shè)實(shí)際狀態(tài)為位移狀態(tài)；2、虛設(shè)力狀態(tài)如圖所示；3、分別作兩狀態(tài)的彎矩圖；l/2M圖ql2/8ql2/8↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qlABCl/2Pql/4MP圖4、圖乘計(jì)算：1P2P3P（）第二十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

例：求圖示剛架B點(diǎn)的水平位移?！黮lqBAC解：作MP圖，如圖所示；虛設(shè)力狀態(tài)，并作M圖，如圖所示；qlql2/2ql2/2ql2/8MP圖1llM圖1P2P3P（）若計(jì)拉壓變形，如圖所示；NBC0NABql/2NBC0NAB1設(shè)矩形截面（）第二十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

例：求圖示剛架C鉸的豎向位移和其兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。3ql/4ql2/4ql2/4ql2/4ql2/8MP圖P1↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑lqACl/2l/2B1/4l/4l/4M1圖P111/41/l1/l1111M2圖（）（）第二十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日思考：圖示虛擬的廣義單位力狀態(tài)，可求什么位移。AB桿的轉(zhuǎn)角AB連線(xiàn)的轉(zhuǎn)角AB桿和AC桿的相對(duì)轉(zhuǎn)角

ABP1/lP1/llABllCP1/lP1/lP1/lP1/l00ABlP1/lP1/l第二十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日思考：判斷下列圖乘結(jié)果正確與否。

①

Sy0（）y0y0y0××××√

12y1y2y0y0×②

Sy0（）③

Sy0（）④

S1y12y2（）⑤

Sy0（）⑥

Sy0（）第三十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日l(shuí)/2l/2hCABP1

§4-5支座移動(dòng)和溫度改變產(chǎn)生的位移設(shè)實(shí)際狀態(tài)為位移狀態(tài)，由于靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)不會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力和變形，所以位移狀態(tài)中變形位移為零，而結(jié)構(gòu)位移僅有支座位移ck。虛設(shè)力狀態(tài)：沿所求位移方向施加單位廣義力P1；由于內(nèi)力不做功，外力則為P和與支座位移向?qū)?yīng)的約束反力Rk。由虛功原理例：求圖示結(jié)構(gòu)C鉸兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角abX1/hY0Y0（）一、支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移第三十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日1）溫度改變對(duì)靜定結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生內(nèi)力，材料的自由脹縮。2）假設(shè)：桿段為等截面、溫度沿截面高度為線(xiàn)性分布。t1t2t0hh1h2t0(h1t2+h2t1)/h

t=t2t13）微段的變形位移dsdt0dsdut0dst1dst2ds

二、溫度改變產(chǎn)生的位移設(shè)位移狀態(tài)：it、du、d設(shè)力狀態(tài)：P、N、M第二項(xiàng)：

t為溫變差，與M共同決定正負(fù)號(hào)，按受拉側(cè)，同側(cè)為正，異側(cè)為負(fù)。第一項(xiàng)：t0為平均溫變，升正降負(fù)，N拉正壓負(fù)；第三十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日例：求圖示剛架C點(diǎn)的豎向位移。各桿截面為矩形。－1a

aa0+10+10C0P

1P

=1N圖M圖（）第三十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)用條件:1)應(yīng)力與應(yīng)變成正比；2)線(xiàn)性變形體系；3)力荷載作用下。①②N'

Q'

M'N"

Q"M"1、功的互等定理功的互等定理：在任一線(xiàn)性變形體系中，狀態(tài)①的外力在狀態(tài)②的位移上作的功W12等于狀態(tài)②的外力在狀態(tài)①的位移上作的功W21。即：W12=

W21

§4-6互等定理P2'P1'Pn'Pi'Pj"P1"P2"Pn"i"j'第三十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日2、位移