導(dǎo)數(shù)與不等式、零點(diǎn)（解析版）

考點(diǎn)40導(dǎo)數(shù)與不等式、零點(diǎn)

知識(shí)理解

一.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題的策略

(1)首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，求出參數(shù)的取值范圍.

(2)也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

-.證明f(x)>g(x)的一般方法是證明A(x)=f(x)—g(x)>0(利用單調(diào)性)，特殊情況是證明

Hx).Qg(x)四(最值方法)，但后一種方法不具備普遍性.

三.證明二元不等式的基本思想是化為一元不等式，一種方法為變換不等式使兩個(gè)變?cè)蔀橐粋€(gè)整體，另

一種方法為轉(zhuǎn)化后利用函數(shù)的單調(diào)性，如不等式/■(%)+4(汨)<『(生)+儀意對(duì)汨〈至恒成立，即等價(jià)于函數(shù)

A(x)=f(x)+g(x)為增函數(shù).

四.可以通過構(gòu)造函數(shù)，將兩曲線的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題.

五.研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，并借助函數(shù)的

大致圖象判斷方程根的情況.

考向分析

考向一導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)

【例1】(2021?安徽安慶市)函數(shù)/'(x)=e*-2ar-a.

(1)討論函數(shù)的極值;

(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.

【解析】⑴由題意，函數(shù)/(x)=e*-2o"a,可得/'(%)="-2a,

當(dāng)時(shí)，_f(x)=e'-勿>(),〃％)在R上為單調(diào)增函數(shù)，此時(shí)無極值;

當(dāng)a>0時(shí)，令/=—2Q>0,解得x>ln(2a),

所以/(x)在(ln(2a),+x>)上為單調(diào)增函數(shù),

令/'(%)=--2。<。,解得x<ln(2a),/(x)在(ro,ln(2a))上為單調(diào)減函數(shù),

所以當(dāng)x=ln(2a)時(shí)，函數(shù)/(x)取得極小值加小值J(ln(2a))=a-2aln(2a),無極大值.

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，/(尤)無極值，

當(dāng)”>0時(shí)，f^,^f[\n(2aS)=a-2a\x\(2a),無極大值.

(2)由(1)知當(dāng)a>0時(shí)，“X)在(ln(2a),+x))上為單調(diào)增函數(shù)，在(-8,In(勿))上為單調(diào)減函數(shù)，且

加小值na-為lnQa)，

乂由,f(x)=e*—a(2x+l),若x-時(shí)，/(x)-+oo；

若x-^+oo時(shí)，于(x)->+00；

當(dāng)a—2aln(2a)>0,即0<a<當(dāng)時(shí),“X)無零點(diǎn)；

當(dāng)a-2aln(2a)=0,即“=當(dāng)時(shí)，/(x)有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)。-2aln(2a)<0,即?！?時(shí)?，”X)有2個(gè)零點(diǎn).

綜上：當(dāng)0<。<當(dāng)時(shí)，/(X)無零點(diǎn)；

當(dāng)a-*時(shí)，/(X)有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a>”時(shí)，〃X)有2個(gè)零點(diǎn).

【舉一反三】

1.(2021?黑龍江哈爾濱市?哈爾濱三中)已知函數(shù)/(x)=e*+sinx.

(1)求曲線.f(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程;

⑵令g(x)=/(x)-tzx-l,當(dāng)aw[l,2)時(shí)，證明：函數(shù)g(x)有2個(gè)零點(diǎn).

【答案】(1)y=2x+l.(2)證明見解析.

【解析】(1)y=2x+l

(2)當(dāng)x=0時(shí)，g(O)=eO-O-l+sin()=O,.?.x=0是g(x)的一個(gè)零點(diǎn)，

由g'(%)=e'-tz+cosx,設(shè)h(x)=g'(x)=ex-a+cosx,則〃'(x)=ev-sinx.

因?yàn)閘〈a<2,

①當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，6*>1，...〃'(％)>1—5皿%之0,.，.8'(%)在(0,+00)單調(diào)遞增，

?*-g,(x)>g'(0)=2-a>Q,

.?.8(尤)在(0,+<功單調(diào)遞增，，8(力>8(0)=0,此時(shí)g(x)在(0,出)無零點(diǎn)

②當(dāng)時(shí)，-axN兀，有g(shù)(x)=e*-ar+sinx—12e'+4+sinx-l>。，此時(shí)g(x)在

(-8,一句無零點(diǎn).

③當(dāng)xe(—萬,0)時(shí),sinx<0./z,(x)=er-sinx>0,：.g'(x)在(f,0)單調(diào)遞增，又g'(0)=2-aQ-,

g'(萬)=e-"-l-a<0,

由零點(diǎn)存在性定理知，存在唯一/w(一肛0),使得g'(/)=0.

當(dāng)xe(-%,飛)時(shí),g,(x)<0,g(x)在(-4,不)單調(diào)遞減;當(dāng)xe(玉),0)時(shí),g[x)>0,g(x)在(飛,0)

單調(diào)遞增：

又g(一切)=-+即-1>°,g(Xo)<g(O)=O,所以g(x)在(一萬,0)上有1個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)14a<2時(shí)，g(x)有2個(gè)零點(diǎn).

2.(2021?安徽高三一模(文))己知函數(shù)f(x)=a*-ax(a>0且aWl).

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求函數(shù)f(x)的最值；

(2)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】(1)最小值為0,無最大值；(2)答案見解析.

【解析】⑴當(dāng)a=e時(shí),f^x)=ex-ex,f'(x)=ex-e,

令((X)=o,得x=i,顯然f(x)在(-，內(nèi))單調(diào)遞增，

當(dāng)x<l時(shí)，/,(x)<0；當(dāng)x>l時(shí)，/,(x)>0,

所以，“X)在(F,l)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

則“X)的最小值為/(1)=0,無最大值.

(2)g(x)=f(x)=a'\r\a—a

⑴若0<a<l,g(x)<0在(0,1)恒成立，此時(shí)g(x)在(0,1)沒有零點(diǎn).

(ii)若a>Lg'(x)=(lna)2d>0,所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞增.

g(0)=\x\a-a,令=\x\a-a(a>1),因?yàn)椤?a)=，-1<0,所以/z(a)在(1,+<?)

單調(diào)遞減，故〃(a)<〃(l)=—1<0,所以g(O)=lna—a<0；

g⑴=a\na-a=a(intz—1)

①當(dāng)1<a<e時(shí)，g(1)<0,g(x)在(0,1)沒有零點(diǎn).

②當(dāng)a>e時(shí)，g⑴>O,g(x)在(0,D有且只有1個(gè)零點(diǎn).

綜上所述：若0<a<l或l<a?e,g(x)在(0,1)沒有零點(diǎn);若a>e,g(力在(0,1)

有且只有1個(gè)零點(diǎn)

2

3.(2021?山東濰坊市?高三一模)已知函數(shù)〃x)=上二且―2(aeR).

sinx

⑴若曲線>=/(%)在點(diǎn)仁,/6)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，判斷函數(shù)/(x)在xe(O,4)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.

42

【答案】(1)a=---2；(2)答案不唯一，具體見解析.

4

工…2xsinx-(x2-6zjcosx萬、

［解析］(1)=---------二一>一,/=71，

sinx2,

、

所以“X)在點(diǎn)——處的切線方程為>=乃工,

I(22I，7

-2222

所以嗚)萬川力'nn

=—,即?----a-2--,a------2：

2424

(2)因?yàn)閤w(O,?),

所以sinx>0.

2

所以土x—-a一2=0可轉(zhuǎn)化為f—a—2sinx=0,

sinx

設(shè)g(x)=x2—tz—2sinx,

貝|Jg'(x)=2x-2cos%

,冗

r

當(dāng)工￡—.71時(shí)，g(x)>09

九

所以g(X)在區(qū)間-.71上單調(diào)遞增.

當(dāng)可吟

時(shí)，設(shè)h(x)=g'(x)=2x-2cosx,

止匕時(shí)〃'(x)=2+2sinx>0,

所以g'(x)在xe0,5時(shí)單調(diào)遞增,

又g'(0)=-2v0,g'乃>0,

所以存在x°e(0囹使得g'(x)=0且x?0,天)時(shí)g(x)單調(diào)遞減,

XG時(shí)g(X)單調(diào)遞增.

綜上，對(duì)于連續(xù)函數(shù)g(x),在X€(()，玉J時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，

在XW(Xo,乃)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增.

又因?yàn)間(0)=-a<0，

所以當(dāng)g(乃)=/—”>0，即。<乃2時(shí)，函數(shù)g(x)有唯一零點(diǎn)在區(qū)間(后,萬)上，

當(dāng)g(乃)=/—a〈0,即。2三時(shí)，函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,左)上無零點(diǎn)，

綜上可知，當(dāng)0<。</時(shí)，函數(shù)”X)在(0,4)上有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a2/時(shí)，函數(shù)”X)在(0,%)上沒有零點(diǎn).

考向二導(dǎo)數(shù)與不等式

2

【例2】(2020?江蘇蘇州市)已知函數(shù)/(x)=x+—+mlnx,0<機(jī)<1.

x

4

(1)若/(x)在1=§時(shí)取得極值，求實(shí)數(shù)力的值；

(2)求)。)的單調(diào)區(qū)間；

(3)證明：于@)>2叵.

【答案】(1)機(jī)=)；(2)單調(diào)減區(qū)間為(o,二,單調(diào)增區(qū)間為［二+*"丁8,；(3)

622

\7\7

證明見解析.

【解析】(1)由題意得/'(1二二+零一？,

JT

4(4、1

因?yàn)榱刷旁诠?耳時(shí)取得極值，所以r|jj=o,解得〃?=q,

1v2.1o

當(dāng)機(jī)=：時(shí)，r，(、6(2x+3)(3x—4),因?yàn)閤>0,所以2x+3>0,

6J(x)=,=.

x6x2

所以當(dāng)xe(0,g)時(shí)，f'(x)<0,則/(x)在(0,：)遞冰

當(dāng)X€(g,+oo)時(shí),r(x)>0,則/(X)在件+00)遞力曾，所以八元)在尤=：時(shí)取得極小值,

綜上，”=工；

6

(2)因?yàn)閒，(x)=二萼二2,由f'(x)=O,

廣

解得％=一加一'JlA<o(o(根〈1)舍去，%0=一壯+>0(，蘇+8>|m|..〃，，

所以在X€(0,%)時(shí)，/'(x)<0,故/(幻在(0,%)單調(diào)遞減；

在xe(Xo，+?)時(shí)，f\x)>0,故/(x)在(面,+8)單調(diào)遞增，

所以/(x)的單調(diào)減區(qū)間為(o,衛(wèi)士組18],fM的單調(diào)增區(qū)間為[二"+?”—+*,+8

22

\7\7

(3)法-：由/")=尸+丁一2,0〈一<i,則八1)=加—1<0,尸(0)=立竺>0，

x2

由(2)知，存在唯一的/e(l,J5),使得了'(%)=0,

22

即x；+;nx0—2=0,m=---x0

尤o

\22(2)

x=x=x+

f()min/(o)o-+/^lnx0=x0+一+—%。lnxo

入0王)〈龍07

設(shè)g(x)=x+2+12-xbnx,xw(l,夜)，

x)

g〈x)=(^--1jlnx<0,xe(l,V2)

所以g(x)>g(&)=2夜

所以/(x)>2近

-m+\lm2+8_4

(3)法二:因?yàn)橛?

2m+J/+8

又所以1cA0cJ5,Inx0>0.

2

又由(2)/(^)min=/(x0)=%0+—+mInx0,

2

所以/(x)>/+—>2夜.

【舉一反三】

1.(2021?貴州高三開學(xué)考試)已知函數(shù)/(■r)=smx+ysxl.

(1)求函數(shù)/(x)在((),4)內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當(dāng)X€[0,+oo)時(shí)，求證：

【答案】(1)(°，彳)⑵證明見解析.

【解析】(1)解析：由題意知，/'(x)=l2：inx,XG(0,〃)，

所以當(dāng)/”(x)>0時(shí)，解得

JT

即/(x)在(O,%)的單調(diào)遞增區(qū)間是0,-

\6)

⑵令g(x)=/(x)-x,(x>0),只需證g(x)wo即可

,,、l-2sinx,

g(x)=---------1

l-2sinx

令h(x)=

TT

當(dāng)X￡［0,—］時(shí)，〃'(光)<0,力(x)遞減,

6

即g'(x)在0*單調(diào)遞減,即g[x)“「g[o)=o,

所以g'(x)W0,從而g(x)在[0,芻上單調(diào)遞減，即g(x)Wg(O)=O恒成立;

6

當(dāng)龍￡(二,+oo］時(shí),

(6)

由(1)知，/(x)的極大值點(diǎn)滿足sin尤=—,這些極大值點(diǎn)使得“X)的分子值不變，但分母隨x的增大而

2

增大(當(dāng)然/>0)，

>/3—171

.?.當(dāng)Xe*,+8)時(shí)，/(幻加=/(不)

乃<Z，/(x)<x恒成立.

2靛O

綜上，*x)?x得證.

2.(2021?安徽高三一模(理))已知函數(shù)/"(x)=2e'+aln(Bl)-2.

(1)當(dāng)爐-2時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x￡[0,句時(shí)，f(x)2sinx恒成立，求a的取值范圍.

【答案】⑴函數(shù)“X)在(T,0)單調(diào)遞減，在(0,+。)單調(diào)遞增；⑵[—1,48).

【解析】(1)當(dāng)〃二一2時(shí)，/(%)=發(fā)'—21n(x+1)—2,x>-1.

2

/，(》)=2，一二后,/〈》)在(一1,m)單調(diào)遞增，且/'(0)=0.

當(dāng)xe(-l,0)時(shí)，/'(x)<0：當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，/'(x)>0.

所以函數(shù)/(X)在(T,0)單調(diào)遞減，在(0,+e)單調(diào)遞增.

(2)令g(^)=f(x)-sinr=2ex+aln(x+1)-2-sinx,xe［0,7i\

當(dāng)xe［0,TV］時(shí),f(x)>sinx恒成立等價(jià)于g(%)2g(0)=0恒成立.

a

由于g<x)=r(x)-cosx=2e"+-cosx.xG［o,句,

x+1

所以(i)當(dāng)azo時(shí),g'(x)N2e'-l>0,函數(shù)>=g(x)在[0,句單調(diào)遞增,

所以g(x)2g(O)=O,在區(qū)間［0,乃］恒成立,符合題意.

(ii)當(dāng)a<0時(shí)，g'(x)=2e"+—^j-cosx在［0,句單調(diào)遞增，g'(0)=2+a-l=1+a.

①當(dāng)l+a..0即一lWa<0時(shí),g,(x)>g,(0)=l+?>0,

函數(shù)y=g(x)在［0,句單調(diào)遞增，所以g(x)..g(O)=O在［0,司恒成立，符合題意.

②當(dāng)1+。<0即0<-1時(shí)，g'(O)=l+a<O,g'(萬)=2e"+—^―+1,

萬+1

若g'（萬）V0,即aV-（萬+D（2e"+1）時(shí),g，（x）在（0,%）恒小于0

則g(x)在(0,%)單調(diào)遞減,g(x)<g(O)=O,不符合題意.

若g'(乃)>0,即一(乃+1)(2/+1)<。<一1時(shí)，存在不€(0,左)使得g'(毛)=0.

所以當(dāng)xe(0,天)時(shí),g'(x)<0,則g(x)在((),/)單調(diào)遞減，

g(x)<g(0)=0,不符合題意.

綜上所述，。的取值范圍是［-1,+8).

1.(2021?山東荷澤市?高三一模)已知函數(shù)/(x)=lnx—Ax(ZeR),g(x)=x(e*-2).

(1)若/(x)有唯一零點(diǎn)，求火的取值范圍；

(2)若g(x)-恒成立，求2的取值范圍.

【答案】(1)%=，或kWO；(2)k31.

e

【解析】(1)由〃x)=lnx—自有唯一零點(diǎn)，

Inr

可得方程Inx—丘=0,即攵=——有唯一實(shí)根，

x

令〃(x)=3，則/f(x)=l

由"(x)>0,得0vxve,由/z'(x)<0,得工>4

.?.h(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在?+8)上單調(diào)遞減.

/./z(x)<h(e)=—,

e

又力(1)=。所以當(dāng)0<%<1時(shí)，〃(x)<0；

InY

又當(dāng)%>e時(shí),/?(x)=—>0,

由Mx)=U竺得圖象可知，k=L或ZKO.

xe

(2).???爐-2)-(lnx-依)21恒成立，且x>0,

1+lnx

k>+2恒成立,

x

令夕(x)=個(gè)七+2,則⑺=：x-(l+lnx)/=_lnle2,

'I'fX2

令//(%)=-\nx-x2ex,則//'(%)=---(2xex+x2ex)=---xex(2+x)<0(x>0),

XX

???〃(x)在(0,+8)單調(diào)遞減,

又〃--\-e<0,〃⑴=_c<0,

\e)

由零點(diǎn)存在性定理知，存在唯一零點(diǎn)xoe(使M(X0)=0,即—In%=,

兩邊取對(duì)數(shù)可得ln(-lnx0)=21nx0+^,E|1ln(-liu-0)+(-]nx0)=A^+1吸,

由函數(shù)y=x+lnx為單調(diào)增函數(shù)，可得豌=一1叫)，

所以當(dāng)0cx</時(shí)，〃(x)>0,0(x)>O，當(dāng)x>/時(shí)，〃(無)<(),°(x)<0,

所以°(x)在(O,X0)上單調(diào)遞增，在(*0，+8)上單調(diào)遞減，

w(x)Ww(X。)=1+1叫-e*>+2--~~--—+2=1,

/飛不

所以去之0(x0)=L

即4的取值范圍為231.

2.(2021?浙江高三月考)已知函數(shù)/(x)=lnx.

(1)若始(x)We*T—1恒成立，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若關(guān)于X的方程/(f)—x+'—]nm=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

X

【答案】(1)。=1；(2)0<m<1.

【解析】(I)g(x)=af(x)~ex-'+1=flInX-ev-|+1,g'(x)=--ex-',

X

又g(x)Mg(l)=0,

故x=l是y=g(x)的極大值點(diǎn)，所以g'(l)=a—1=0,。=1；

另方面，當(dāng)。=1時(shí)，g'(x)=--ex-',g'(l)=0,g'(x)在區(qū)間(0,+8)單調(diào)遞減，

x

故g(x)在(0,1)單調(diào)遞增，(1,m)單調(diào)遞減，

所以g(x)Wg⑴=0,恒成立

(II):"1m>0時(shí)，/z(x)=Inx~-x-\----Inm,〃'(x)=——1—=―——,

xXXX

當(dāng)x<0時(shí)，h\x)<0,〃(x)在區(qū)間(一℃,0)單調(diào)遞減，又h(-Gt)=0,

故//(x)在區(qū)間(-8,0)有唯一實(shí)根，

①若21,—X2+2x—m——(x—Y)2+1—m<0,

當(dāng)x〉0時(shí)，A'(x)<0,力。)在區(qū)間(0,+s)單調(diào)遞減，

故例>)在區(qū)間(0,+8)至多有一個(gè)實(shí)根，不符合題意，

②若0〈根<1,令』，%(百〈七)是方程一/+2彳一根=0的兩不同實(shí)根，

則X,+W=2,%工2=加，則0<苞<工2

故〃(x)在區(qū)間(0,再)，。2，長。)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(X，/)上單調(diào)遞增.

/九+2--X*

!L

〃(X)=lnx；-玉4----ln〃z=lnx；-x[+―-----\n(-x^4-2^)=-2x]+2+lnx,-ln(2-Xj)

1121x-2

<^(x)=-2x+2+lnx-ln(2-x)(0<x<1),“(才竣+4—一一--->~0,⑴=0,

x2Hx2吩

〃(工1)<0，同理可證力(工2)>0?

2

取x3=(1+^2+—)>x2=l+yjl—m<人(M)<—x3+1H—=0.

?七.1m./mm.r-----

“乂x4=nunf{lIn—,—},?—<—<%=1—>/1—m，

m442

h(x4)>2J~x^—f=H-----F(In-----x4)=25/x4H--------+(In----------x4)>0.

y]x4x4mx4m

故人?在(%4，%)，(xpx2),(%2，%3)各存在一個(gè)零點(diǎn)，

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(0,1).

3.(2021?湖北荊門市?高三月考)已知函數(shù)/<x)=q—lnx+1有兩個(gè)不同的零點(diǎn)%,％,(石<

X

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)記/(幻的極值點(diǎn)為七,求證：—+—>2ef(x0\

X\X2

【答案】(1)一1<。<0；(2)證明見解析.

【解析】解：(1)由/(x)=g—lnx+1得/'(x)=-二一，=一安(》>0),

XX"Xx~

?：函數(shù)f(x)=--lnx+l有兩個(gè)不同的零點(diǎn)再，了2,

X

.?./(X)在(0,+8)上不單調(diào)，

/.a<0,

令/'(x)>0得0<x<—a,/'(x)<0得x>-a,

故/(X)在(0,—a)上單調(diào)遞增，在(-4內(nèi))上單調(diào)遞減,

則/(x)的極大值為/(-?)=-ln(-?)>0.

/?0<—a<1?*,?-1<<0.

：工fcr時(shí)/(尤)v。，時(shí)/(x)〈o,

。的取值范圍是—1<。<0.

(2)由(1)知/(%)=-ln(—a),

?.?/(%)=f(%2),/.-----InXj+1=------Inx2+1,

X]x2

要證工+E>2以*'只需證號(hào)>右皿-。)).

t,+tj

下面先證明-4產(chǎn)

In乙-Int2

2L—l(

這只要證明In人<上一」，設(shè)°<J=加<1,所以只要證明

LLiJ

,2

2(m-1)2/、12(租—1)

Inm-------------<0,設(shè)g(m)=Inm-------------,

m+1m+1

則g'(m)=^--------=I)>Q,所以g(m)遞增，

則g(加)<g(1)=o成立.于是得到工署>；

ZInZ|—Int?a

因此只要證明一!2-《In(一。)(一1<。<0),構(gòu)造函數(shù)//(?)=-—+eIn(-tz),

aa

則"(a)=-—?故/z(〃)在一1,—)上遞減，在］—,0)上遞增，

(1、1

則〃(。)2〃一一=0,即一一N-eln(一〃)成立.

ke)a

4.(2021?遼寧高三其他模擬(文))已知函數(shù)/(月=里三-——.

x-1x+1

(I)設(shè)函數(shù)M6=(x-1)尸(x),當(dāng)a=2時(shí)，證明：當(dāng)X>1時(shí)，〃(x)>0；

(II)若尸(%)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【答案】(I)證明見解析；(II)a>2.

■一—?,/\/八2、，2(x-1)

【解析】(I)/?(x)=(x-l)(——-----)=InX------—

x-lx+1x+l

力'(%)"(：-1：2〉0，

x(x+l)

所以人(x)在(1,物)上為單調(diào)遞增函數(shù)，

且〃(1)=0,

當(dāng)x〉l時(shí)，/z(x)>0.

(II)設(shè)函數(shù)/(x)=lnx，(l)，則/'(%)="+乎—?”+1

x+1x(x+l)

令g(x)=d+2(1-Q)X+1,

當(dāng)時(shí)，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>0,

當(dāng)l<a42時(shí)，A=4a2-8?<0.得g(x)?0,

所以當(dāng)a42時(shí),r(x)>0,

/(x)在(0,笆)卜一為單調(diào)遞增函數(shù)，此時(shí)g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，

*x)=」7/(x)至多一個(gè)零點(diǎn)不符合題意舍去.

X-L

當(dāng)a>2時(shí)，有A=4a2—8a>0，

此時(shí)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),設(shè)為％冉，且；<1?

又因?yàn)?+巧=2(a-l)>0，t[t2=1,

所以0<:<1<芍.

得了(X)在(0/),“2，”)為單調(diào)遞增函數(shù)，

在匕出)上為單調(diào)遞減函數(shù)，且/(1)=0，

所以/,)>0,/。2)<0,

又因?yàn)?("〃)=_名<0,/(/)=黑〉0，

\'e"+lv7e+1

且/(X)圖象連續(xù)不斷，

所以存在唯一內(nèi)6卜一"在)，使得/(不)=0,

存在唯一％e,，1)，使得/(電)=0，

又因?yàn)镕(x)=_\/(x),

X-L

所以，當(dāng)尸(工)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a>2.

5.(2021?山西晉中市?高三二模(文))已知函數(shù)/(x)=2山％+依2—4以+3。(々￡R).

(1)討論函數(shù)/。)的單調(diào)性；

(2)對(duì)X￡(l,k)),都有了。)>0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析；(2)嚼以1.

—、,22(ax2-2ax+l]

【解析】(1)f(x)=—+2ax-4〃=-------------(x>0)?

XX

令g(x)=ax2—2ax+l(x>0)，

①當(dāng)。=0時(shí),g(x)=1>0,

在(0,+8)上，/r(x)>0,所以單調(diào)遞增.

②當(dāng)。<0時(shí)，=4a2-4a=4a(a—1)>0,令g(x)=。，

得“匕量m,&=竺叵三,且不>0>々，

aa

所以當(dāng)xe(O，X)時(shí)，/'(x)>0,所以/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)工?不”)時(shí)，/'(x)<0,所以/(x)單調(diào)遞減.

③當(dāng)。>0時(shí)，A=4a(a-1),

當(dāng)0<凡，1時(shí)，A=4。(。-1),,(),

在(0,+8)上，/。)>0,所以/(x)單調(diào)遞增.

當(dāng)。>1時(shí)，八二而？-4。=4。(4-1)>0,令g(x)=0,

得Xi=a'a2a,4=a+Ja2一a,且

aa

所以當(dāng)xe（O,xJ或xe（W，+s）時(shí)，f'（x）＞0,所以/（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)xe（x，W）時(shí)，r（x）＜0,所以/（x）單調(diào)遞減.

綜上可得：當(dāng)。＜0時(shí)，/（x）在（0,4）上單調(diào)遞增，在（內(nèi),內(nèi)）上單調(diào)遞減；

當(dāng)畸山1時(shí)，/（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增；

當(dāng)”＞1時(shí)，/（X）在（0,西）,（々,+＜?）上單調(diào)遞增，在（%,%2）上單調(diào)遞減.

（2）因?yàn)椤?）=0,根據(jù)（1）的討論可知，當(dāng)噴燈1時(shí)，f（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以/（X）在（1,+0。）

上單調(diào)遞增，所以/（X）＞/⑴=0成立.

當(dāng)。＜0時(shí)，/（X）在（4,+00）上單調(diào)遞減，%—時(shí)，

所以存在XG（Ap+OO）使得了（幻＜0,故此時(shí)不成立.

當(dāng)時(shí)，/（x）在（0,西）,（々,”）上單調(diào)遞增；在（%,%）上單調(diào)遞減，而

X1=夜2。＜]＜X,=2+擊±一,所以當(dāng)xw（l，w）時(shí)，/（X）單調(diào)遞減，此時(shí)/（》）＜八1）=0,

a~a

不合題意.

綜上可得：嘴打1.

6.（2021?湖南永州市?高三二模）已知函數(shù)/（X）=Q，一X+Q,aeR.

（1）討論/（X）在[1,E）上的單調(diào)性；

（2）當(dāng)。=1-sinx時(shí)，討論g（x）=/（*）+x-2在（一乃，乃）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】（1）答案見解析；（2）有3個(gè)零點(diǎn).

【解析】（1）/（x）=ae'—1,XG[1,+^）,

當(dāng)時(shí)，/'（幻＜0恒成立，則f（x）在[1,田）上單調(diào)遞減；

當(dāng)。＞0時(shí)，令/'（x）＜0,則x＜ln,，令/（x）＞0,則x＞ln!，

若In%,即a4時(shí)，f(x)在［I,”)上單調(diào)遞增；

若ln，>l,即0<a<，時(shí)，在l』n‘］上單調(diào)遞減；在lnL,+a)］上單調(diào)遞增;

aeLa)LaJ

(2)當(dāng)a=l-sinx時(shí)，g(x)=/(x)+x-2=(l-sinx)e*-sinx-l,

令g(x)=O,得^——??一sinx=O,

ex+l

3-sinx

令h(x)=-——--sinx,則力(一X)=―--sin(-x)=-h(x),

x

e+le+1e'+l7

所以y=/i(x)為奇函數(shù)，且/z(0)=0,

所以。是y=〃(x)的一個(gè)零點(diǎn),

,一1川、2e'

令人*)=￡~1,則"幻=7~二7,

e'+l(ev+l)

當(dāng)xe(O,乃)，f'(x)〉O,則f(x)在(0,4)上單調(diào)遞增,

令r(x)=sinx,則r(x)在10,')上單調(diào)遞增，在71兀)上單調(diào)遞減,

2

令s(x)=1—2,則s'(x)=一(4°恒成立，所以s(x)在(0,")上單調(diào)遞減,

心1)2

e'+l2

所以s(x)<s(0)=0,則且二!苦,

令“(x)=sinx-楙，則〃'(x)=cosx-g,當(dāng)時(shí)，u'(x)>0,“(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí)，u*(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減，

又M(0)=0,"(W=1-?>0,則當(dāng)xe(。,、)時(shí)，a(x)>0恒成立，

即當(dāng)時(shí)，sinx>2恒成立，所以當(dāng)xe(0,&］時(shí)，，」<2<sin尤恒成立，

x

I2)2I2)e+l2

所以當(dāng)xe|o,至|時(shí)，例?<0恒成立，

I2；

wye"時(shí)，"")=卜*+1)2—c0sx>0,所以〃(尢)在上單調(diào)遞增,

n

又〃(工］=￡_^1_1<0,餌萬)=￡_zl>(),

⑴屋?/+1

e2+1

所以久幻在XW(0,71)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為X。,

因?yàn)閥=/z(x)為奇函數(shù)，所以在xe(f,0)上的零點(diǎn)為一%，

所以%(x)在彳￡(—萬,不)上有3個(gè)零點(diǎn)，分別為一玉)，0,今,

所以g(x)在x?rr,萬)上有3個(gè)零點(diǎn).

7.(2021?全國高三開學(xué)考試(文))已知函數(shù)/(工)=四"+sinx+x,xw［0,;r］,。<0.

⑴證明：當(dāng)。=一1時(shí)，函數(shù)“X)有唯一的極大值；

(2)當(dāng)/(x)<2x-l恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析；(2)a<-l.

【解析】(1)證明：f\x)=aex+cosx+1,

因?yàn)樗?+cosxNO,

當(dāng)a=-1時(shí)，f\x)=-ex+cosx+1,

令g(x)=y'+cosx+1,g'(x)=-e"-sinx<0,

g(x)在區(qū)間［(),句上單調(diào)遞減;g(o)=-1+2=1,g(?)=—e"<0,

存在用e(0,%),使得/'(%)=0,

所以函數(shù)/(x)遞增區(qū)間是［0,%］,遞減區(qū)間是［%,可.

所以函數(shù)/(%)存在唯一的極大值/(x0).

(2)由,f(x)<2x-l,

即令h(x)=aex+sinx-x+1v0,。v0,hf(x)=aex+cosx-1<0,

〃(x)在區(qū)間［(),句上單調(diào)減函數(shù)，

〃(x)W/z(0)=a+l,只要a+l<0即可，即“<-l.

8.(2021?全國高三開學(xué)考試(文))已知函數(shù)/(x)=l+(a+l)x+lnx.

(1)討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

(2)對(duì)任意x>0,求證：^y+l+(a+l)x>/(x).

【答案】(1)答案見解析：(2)證明見解析.

【解析】(1)由題意得，/(力的定義域?yàn)?。,+8),r(x)=a+［+L("i)x+i.

XX

當(dāng)1時(shí)，/'(x)>0恒成立，.?.“X)在(0,")上單調(diào)遞增.

當(dāng)”-1時(shí)，令/'(x)>0,解得x<-一片；令/'(x)<0,解得x>一，j,

/(x)在［o,--匚］上單調(diào)遞增，在1—-匚,+8］上單調(diào)遞減.

zIQ+17IQ+17

2ex2ev

(2)要證一-+l+(za+l)x>/(x),即證r----Inx>0.

xe6~x

*/\2e"?.、2(x—l)eA—e2x

令g(x)=F------Inx，則rlg(xz)=-^——---------

exex

4,r(x)=2(x-l)eJt-e2x,則/(x)=2xe*-e?,

易得r'(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增，且/(l)=2e-e2<0,/(2)=次2>。，

存在唯一的實(shí)數(shù)為e(l,2),使得r'(Xo)=O,

.」(x)在(0,%)上單調(diào)遞減，在(~),+<?)上單調(diào)遞增.

Vr(0)<0,r(2)=0,

.?.當(dāng)r(x)>0時(shí)，x>2；當(dāng)r(x)<0時(shí)，0<x<2,

，g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2+0上單調(diào)遞增,

g(x)之g(2)=l-ln2>0.

2e*2e",、，、

綜上，—-----lnx>0-即一^-+l+(tz+l)x>/(%).

9.(2021?湖北武漢市?高三月考)已知函數(shù)/(x)=(x-l)eA"-lnx.

(I)當(dāng)”=1時(shí)，求/(x)的最小值；

(II)證明：當(dāng)0<。41時(shí)，/(x)21na恒成立.

【答案】(1)0；(II)證明見解析.

【解析】(I)。=1時(shí)，/(x)=(x—l)ei—lnx,定義域?yàn)?0,+8),

求導(dǎo)f'(x)=xe'T-1，設(shè)g(x)=f'(x),

X

Qg'(x)=(x+l)e'T+-V>0,在(0,+oo)單調(diào)遞增.

X

又/'(1)=0,故當(dāng)O<X<1時(shí)，r(x)<0,.../(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>l時(shí)，f\x)>o,/(X)單調(diào)遞增.

故/(x)在％=1處取得最小值,/(1)=0.

/(1-x}ex11「ea-

(II)設(shè)〃(〃)=(%—1)/一“-111X一1”。，求導(dǎo)=------------=—(l-x)e'----.

e’ae[_a

設(shè)s(x)=(l—x)e"r(x)=—,

x

Qs'(x)=-w"<0,，x>0時(shí)，s(x)單調(diào)遞減，s(元)vs(0)=l.

x—1

QtXx)=-ex,令?x)=0,得x=l,

x

當(dāng)0<x<l時(shí)，f'(x)<0,?x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>l時(shí)，f(x)>0,?x)單調(diào)遞增，

r(x)>r(l)=e,故a〉0,x〉0時(shí)，(l-x)ev<l<e<—.

即"(a)<0,.,/(a)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，則0<a?l時(shí)，h(a)>h(l)^(x-l)ex-'-\nx.

由(I)知，(x-l)e*T-InxNO,故0<a41時(shí)，/z(a)>0.

即(x-l)e*-"-InxNlna恒成立.

10.(2021?全國高三其他模擬)已知函數(shù)/(x)=xe*-52-2依geR).

(1)當(dāng)。>0時(shí)，討論/(X)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于X的不等式在(f,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析；(2)(—8川

【解析】(1)?：f{x)=xex-ax2-2ox(6zeR),

:.f\x)=ex+xex-2ax-2a=^x-\-\)(ex-2a^,XGR,

當(dāng)a>0時(shí)，令/'(尤)=0,解得：x=ln2〃或x=-l,

‘IIn2。<—1,即0<。<—,

2e

貝|J當(dāng)xe(y),ln2a)時(shí)，/z(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(ln2a,-l)時(shí)，/'(x)<0,單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(-l,+°o)時(shí)，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)In2a=-1,即〃二」一，

2e

PliJ.f(x)>0,等號(hào)不恒成立，/(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)In2。>-1,即。>相，

則當(dāng)無a—,—。時(shí)，r(x)>o,“X)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(-l,ln2a)時(shí)，/(X)單調(diào)遞減;

當(dāng)x?ln2a,+oo)時(shí)，r(x)>0,單調(diào)遞增.

綜上所述：當(dāng)0<”(時(shí)，/(%)在(9,ln2a)上單調(diào)遞增，在(in2a,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,中?)上

里

塔

調(diào)

當(dāng)

。=

_L時(shí)，/(x)在R匕單調(diào)遞增；

當(dāng)

。>2e時(shí)，/(x)在上單調(diào)遞增，在(T』n2a)上單調(diào)遞減，在(in加田)上單調(diào)遞增；

_"L

(2)/(x)>-/(-%),

HPxex-ax1-2ax>--xe~x-a[-xf+2ax,

即x(ex-e-x)-2a^>Q,

即x(e*-e=')上20r2①，

當(dāng)x=0時(shí)，①式恒成立，aeR；

當(dāng)x〉0時(shí)，e>>e'x，x(e'-"')>(),

當(dāng)x<0時(shí)，e*<e-*，x(e'-1*)>(),

故當(dāng)a40時(shí)，①式恒成立,；

以下求當(dāng)xW0時(shí)，不等式爐-e-x-2ax>Q恒成立時(shí)正數(shù)a的取值范圍,

令e*=f，貝he(0,l)U(L+°°)，g[t')=t-^-2a\nt,

,\,12af—2at+1

令Mr)=產(chǎn)-2at+1,

則A=402-4,

當(dāng)0<a41時(shí)，△<(),h(t)=t2-2at+\>0,g’a)20,等號(hào)不恒成立，

故g(。在(0,+e)上單調(diào)遞增，

又Qg(i)=o，故/>i，g?)>g(i)=o,o<f<i時(shí)，g?)<g(i)=o,

即當(dāng)0<aKl時(shí)，①式恒成立；

當(dāng)a>l時(shí)，A>0,/?(())=1>0,〃(1)=2—2a<0,

故秋。的兩個(gè)零點(diǎn)，

即g’(。的兩個(gè)零點(diǎn)；?0,1)和/2,

在區(qū)間&百)上，〃")<0，g'a)<0，g〃)是減函數(shù)，

又?.工<1<%

???g(4)>g⑴=。,

即當(dāng)。>1時(shí)，①式不能恒成立.

綜上所述：實(shí)數(shù)”的取值范圍是(-8』.

11(2021?江西上饒市?高三一模(理))已知/(x)=oZ'一旄二

⑴若a=g,討論/(x)的單調(diào)性；

2

(2)VxeR,/(%)<--,求實(shí)數(shù)。的最小值.

【答案】(1)答案見解析；(2)

【解析】(1)a=g時(shí)，f^=^e2x-xex,定義域?yàn)?-?\長))

尸=-(x+l)e*=_/(x+l-e*),

令F(x)=x+l-e*,則尸(x)=l-e”,

當(dāng)xs(-oo,0),F(x)>0；當(dāng)xe(0,+oo),F(x)<0；

在(-oo,0)遞增,在(0,+e)上遞減，F(xiàn)(x)VL(0)=0,

二/'(x)20,，/(x)在(f,物)上遞增.

(2)f\x)=2ae2'-(x+l)eA=-e*[(x+l)-2ae、],

22

由VxeR,/(x)W--,/(0)=aK--可得a<0,

令g(x)=(x+l)-2z2e1則g(x)在R上遞增,

由g(—l)=-2aeT>。,且當(dāng)x<0時(shí),g(x)<x+l—2。,

g(2tz—1)<2a-1+1—2a=0,

現(xiàn)-1)使得8(小)=0,

且當(dāng)xe(-00,/)時(shí)，g(x)<0即/'(x)>0；

當(dāng)事e(豌),+oo)時(shí)，8(%)>0即,/(￡)<0,

；?“X)在(—，%)遞增，在(%,+℃)遞減,

；?/(x)a=/(40)=解"一/e陽，

由g(題)=(%+1)-加1>=0,。=放?,

由人為2“一:得入戶—e2加?翳2黑即"2”‘

ClNCI14人0'，

由％+1<0得片一1〈8,/.-3<x0<-1,

設(shè)/1(*)=方(一3?工<-1),則/(*)=#>0,

可知h(x)在[-3,1)上遞增/.h(x)>M—3)=3，即a2-e3

實(shí)數(shù)a的最小值為-e'.

12.(2021?四川成都市?石室中學(xué)高三月考(理))已知函數(shù)〃x)=gx2+/”]n。-x),其中機(jī)eR.

(1)求函數(shù).f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(