初中數(shù)學(xué)第一冊知識重點難點

第一冊

第1章有理數(shù)

1.1正數(shù)和負(fù)數(shù)

以前學(xué)過的0以外的數(shù)前面加上負(fù)號“-”的書叫做負(fù)數(shù)。

以前學(xué)過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)。

數(shù)。既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，。是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界。

在同一個問題中，分別用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示的量具有相反的意義

1.2有理數(shù)

1.2.1有理數(shù)

正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)，正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)。

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。

1.2.2數(shù)軸

規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。

數(shù)軸的作用：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表達(dá)。

注意事項：⑴數(shù)軸的原點、正方向、單位長度三要素，缺一不可。

⑵同一根數(shù)軸，單位長度不能改變。

一般地，設(shè)是一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示a的點在原點的右邊，與原點的距離

是a個單位長度；表示數(shù)-a的點在原點的左邊，與原點的距離是a個單位長度。

123相反數(shù)

只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。

數(shù)軸上表示相反數(shù)的兩個點關(guān)于原點對稱。

在任意一個數(shù)前面添上“-”號，新的數(shù)就表示原數(shù)的相反數(shù)。

1.2.4絕對值

一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值。

一個正數(shù)的絕對值是它的本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對

值是Oo

在數(shù)軸上表示有理數(shù)，它們從左到右的順序，就是從小到大的順序，即左邊

的數(shù)小于右邊的數(shù)。

比較有理數(shù)的大?。孩耪龜?shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。

⑵兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。

1.3有理數(shù)的加減法

1.3.1有理數(shù)的加法

有理數(shù)的加法法則：

⑴同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

⑵絕對值不相等的餓異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大

的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾?shù)的兩個數(shù)相加得Oo

⑶一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。

兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。

加法交換律:a+b=b+a

三個數(shù)相加，先把前面兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。

加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

1.3.2有理數(shù)的減法

有理數(shù)的減法可以轉(zhuǎn)化為加法來進(jìn)行。

有理數(shù)減法法則：

減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)。

a-b=a+(-b)

1.4有理數(shù)的乘除法

1.4.1有理數(shù)的乘法

有理數(shù)乘法法則：

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。

任何數(shù)同0相乘，都得0。

乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。

幾個不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個數(shù)是

奇數(shù)時，積是負(fù)數(shù)。

兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。

ab=ba

三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。

(ab)c=a(be)

一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加。

a(b+c)=ab+ac

數(shù)字與字母相乘的書寫規(guī)范：

⑴數(shù)字與字母相乘，乘號要省略，或用“”

⑵數(shù)字與字母相乘，當(dāng)系數(shù)是1或-1時，1要省略不寫。

⑶帶分?jǐn)?shù)與字母相乘，帶分?jǐn)?shù)應(yīng)當(dāng)化成假分?jǐn)?shù)。

用字母x表示任意一個有理數(shù)，2與x的乘積記為2x,3與x的乘積記為

3x,則式子2x+3x是2x與3x的和，2x與3x叫做這個式子的項，2和3分別

是著兩項的系數(shù)。

一般地，合并含有相同字母因數(shù)的式子時，只需將它們的系數(shù)合并，所得結(jié)

果作為系數(shù)，再乘字母因數(shù)，即

ax+bx=(a+b)x

上式中x是字母因數(shù)，a與b分別是ax與bx這兩項的系數(shù)。

去括號法則：

括號前是“+”，把括號和括號前的“+”去掉，括號里各項都不改變符號。

括號前是“-把括號和括號前的“-”去掉，括號里各項都改變符號。

括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后式子各項的符號與原括號內(nèi)式子相應(yīng)各項的

符號相同；括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后式子各項的符號與原括號內(nèi)式子相應(yīng)

各項的符號相反。

1.4.2有理數(shù)的除法

有理數(shù)除法法則：

除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。

a^-b=a--(b*O)

兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于

0的數(shù)，都得0o

因為有理數(shù)的除法可以化為乘法，所以可以利用乘法的運算性質(zhì)簡化運算。

乘除混合運算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后求出結(jié)果。

正數(shù)的任何次哥都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次累都是0o

有理數(shù)混合運算的運算順序：

⑴先乘方，再乘除，最后加減；

⑵同極運算，從左到右進(jìn)行；

⑶如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行

1.5.2科學(xué)記數(shù)法

把一個大于10的數(shù)表示成axion的形式其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，

n是正整數(shù)），使用的是科學(xué)記數(shù)法。

用科學(xué)記數(shù)法表示一個n位整數(shù)，其中10的指數(shù)是n-1o

153近似數(shù)和有效數(shù)字

接近實際數(shù)目，但與實際數(shù)目還有差別的數(shù)叫做近似數(shù)。

精確度：一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說精確到哪一位。

從一個數(shù)的左邊第一個非0數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有數(shù)字都是這個數(shù)

的有效數(shù)字。

對于用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)axion規(guī)定它的有效數(shù)字就是a中的有效數(shù)字。

第二章一元一次方程

2.1從算式到方程

2.1.1一元一次方程

含有未知數(shù)的等式叫做方程。

只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的指數(shù)都是1（次），這樣的方程叫做一元

一次方程。

分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，利用其中的相等關(guān)系列出方程，是數(shù)學(xué)解決實

際問題的一種方法。

解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值就是方程

的解。

2.1.2等式的性質(zhì)

等式的性質(zhì)1等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。

等式的性質(zhì)2等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相

等。

2.2從古老的代數(shù)書說起——一元一次方程的討論⑴

把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項。

2.3從“買布問題”說起——一元一次方程的討論⑵

方程中有帶括號的式子時，去括號的方法與有理數(shù)運算中括號類似。

解方程就是要求出其中的未知數(shù)（例如x）,通過去分母、去括號、移項、

合并、系數(shù)化為1等步驟，就可以使一元一次方程逐步向著x=a的形式轉(zhuǎn)化，

這個過程主要依據(jù)等式的性質(zhì)和運算律等。

去分母：

⑴具體做法：方程兩邊都乘各分母的最小公倍數(shù)

⑵依據(jù)：等式性質(zhì)2

⑶注意事項：①分子打上括號

②不含分母的項也要乘

2.4再探實際問題與一元一次方程

第三章圖形認(rèn)識初步

3.1多姿多彩的圖形

現(xiàn)實生活中的物體我們只管它的形狀、大小、位置而得到的圖形，叫做幾何

圖形。

3.1.1立體圖形與平面圖形

長方體、正方體、球、圓柱、圓錐等都是立體圖形。此外棱柱、棱錐也是常

見的立體圖形。

長方形、正方形、三角形、圓等都是平面圖形。

許多立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們適當(dāng)?shù)丶糸_，就可以展開成

平面圖形。

3.1.2點、線、面、體

幾何體也簡稱體。長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾

何體。

包圍著體的是面。面有平的面和曲的面兩種。

面和面相交的地方形成線。

線和線相交的地方是點。

幾何圖形都是由點、線、面、體組成的，點是構(gòu)成圖形的基本元素。

3.2直線、射線、線段

經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線。

兩點確定一條直線。

點C線段AB分成相等的兩條線段AM與MB,點M叫做線段AB的中點。

類似的還有線段的三等分點、四等分點等。

直線桑一點和它一旁的部分叫做射線。

兩點的所有連線中，線段最短。簡單說成：兩點之間，線段最短。

3.3角的度量

角也是一種基本的幾何圖形。

度、分、秒是常用的角的度量單位。

把一個周角360等分，每一份就是一度的角，記作1；把1度的角60等分，

每份叫做1分的角，記作1；把1分的角60等分，每份叫做1秒的角，記作1。

3.4角的比較與運算

3.4.1角的比較

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平

分線。類似的，還有叫的三等分線。

3.4.2余角和補角

如果兩個角的和等于90（直角），就說這兩個角互為余角。

如果兩個角的和等于180（平角），就說這兩個角互為補角。

等角的補角相等。

等角的余角相等。

本章知識結(jié)構(gòu)圖

第四章數(shù)據(jù)的收集與整理

收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)是數(shù)據(jù)處理的基本過程。

4.1喜愛哪種動物的同學(xué)最多——全面調(diào)查舉例

用劃記法記錄數(shù)據(jù)，“正”字的每一劃（筆畫）代表一個數(shù)據(jù)。

考察全體對象的調(diào)查屬于全面調(diào)查。

4.2調(diào)查中小學(xué)生的視力情況——抽樣調(diào)查舉例

抽樣調(diào)查是從總體中抽取樣本進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)樣本來估計總體的一種調(diào)查。

統(tǒng)計調(diào)查是收集數(shù)據(jù)常用的方法，一般有全面調(diào)查和抽樣調(diào)查兩種，實際中

常常采用抽樣調(diào)查的方式。調(diào)查時，可用不同的方法獲得數(shù)據(jù)。除問卷調(diào)查、訪

問調(diào)查等外，查閱文獻(xiàn)資料和實驗也是獲得數(shù)據(jù)的有效方法。

利用表格整理數(shù)據(jù)，可以幫助我們找到數(shù)據(jù)的分布規(guī)律。利用統(tǒng)計圖表示經(jīng)

過整理的數(shù)據(jù)，能更直觀地反映數(shù)據(jù)規(guī)律。

4.3課題學(xué)習(xí)調(diào)查“你怎樣處理廢電池？”

調(diào)查活動主要包括以下五項步驟：

一、設(shè)計調(diào)查問卷

⑴設(shè)計調(diào)查問卷的步驟

①確定調(diào)查目的；

②選擇調(diào)查對象；

③設(shè)計調(diào)查問題

⑵設(shè)計調(diào)查問卷時要注意：

①提問不能涉及提問者的個人觀點；

②不要提問人們不愿意回答的問題；

③提供的選擇答案要盡可能全面;

④問題應(yīng)簡明；

⑤問卷應(yīng)簡短。

二、實施調(diào)查

將調(diào)查問卷復(fù)制足夠的份數(shù)，發(fā)給被調(diào)查對象。

實施調(diào)查時要注意：

⑴向被調(diào)查者講明哪些人是被調(diào)查的對象，以及他為什么成為被調(diào)查者;

⑵告訴被調(diào)查者你收集數(shù)據(jù)的目的。

三、處理數(shù)據(jù)

根據(jù)收回的調(diào)查問卷，整理、描述和分析收集到的數(shù)據(jù)。

四、交流

根據(jù)調(diào)查結(jié)果，討論你們小組有哪些發(fā)現(xiàn)和建議？

五、寫一份簡單的調(diào)查報告

第二冊

第五章相交線與平行線

5.1相交線

5.1.1相交線

有一個公共的頂點，有一條公共的邊，另外一邊互為反向延長線，這樣的兩

個角叫做鄰補角。

兩條直線相交有4對鄰補角。

有公共的頂點，角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角。

兩條直線相交，有2對對頂角。

對頂角相等。

5.2.2直線平行的條件

兩條直線被第三條直線所截，在兩條被截線的同一方，截線的同一旁，這樣

的兩個角叫做同位角。

兩條直線被第三條直線所截，在兩條被截線之間，截線的兩側(cè)，這樣的兩個

角叫做內(nèi)錯角。

兩條直線被第三條直線所截，在兩條被截線之間，截線的同一旁，這樣的兩

個角叫做同旁內(nèi)角。

判定兩條直線平行的方法：

方法1兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平

行。簡單說成：同位角相等，兩直線平行。

方法2兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平

行。簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

方法3兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線

平行。簡單說成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。

5.3平行線的性質(zhì)

平行線具有性質(zhì)：

性質(zhì)1兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡單說成：兩直線平

行，同位角相等。

性質(zhì)2兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。簡單說成：兩直線平

行，內(nèi)錯角相等。

性質(zhì)3兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補。簡單說成：兩直線

平行，同旁內(nèi)角互補。

同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做著兩

條平行線的距離。

判斷一件事情的語句叫做命題。

5.4平移

⑴把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形

的形狀和大小完全相同。

⑵新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是

對應(yīng)點，連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等。

圖形的這種移動，叫做平移變換，簡稱平移。

第六章平面直角坐標(biāo)系

6.1平面直角坐標(biāo)系

6.1.1有序數(shù)對

有順序的兩個數(shù)a與b組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對。

6.1.2平面直角坐標(biāo)系

平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系。水平的數(shù)

軸稱為x軸或橫軸，習(xí)慣上取向右為正方向；豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸取2

向上方向為正方向；兩坐標(biāo)軸的交點為平面直角坐標(biāo)系的原點。

平面上的任意一點都可以用一個有序數(shù)對來表示。

建立了平面直角坐標(biāo)系以后，坐標(biāo)平面就被兩條坐標(biāo)軸分為了I、II、III、IV

四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐標(biāo)軸上的點

不屬于任何象限。

6.2坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用

6.2.1用坐標(biāo)表示地理位置

利用平面直角坐標(biāo)系繪制區(qū)域內(nèi)一些地點分布情況平面圖的過程如下：

⑴建立坐標(biāo)系，選擇一個適當(dāng)?shù)膮⒄拯c為原點，確定x軸、y軸的正方向；

⑵根據(jù)具體問題確定適當(dāng)?shù)谋壤?，在坐?biāo)軸上標(biāo)出單位長度；

⑶在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出這些點，寫出各點的坐標(biāo)和各個地點的名稱。

6.2.2用坐標(biāo)表示平移

在平面直角坐標(biāo)系中，將點（x,y）向右（或左）平移a個單位長度，可以

得到對應(yīng)點（x+a,y）俄（x-a,y））;鎮(zhèn)（x,y）向上（或下）平移b個

單位長度，可以得到對應(yīng)點（x,y+b）（或（x,y-b）卜

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果把一個圖形各個點的橫坐標(biāo)都加（或減去）一個

正數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把

它各個點的縱坐標(biāo)都加（或減去）一個正數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上

（或向下）平移a個單位長度。

第七章三角形

7.1與三角形有關(guān)的線段

7.1.1三角形的邊

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。相

鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。

頂點是A、B、C的三角形，記作&ABC”，讀作“三角形ABC：

三角形兩邊的和大于第三邊。

7.1.2三角形的高、中線和角平分線

7.1.3三角形的穩(wěn)定性

三角形具有穩(wěn)定性。

7.2與三角形有關(guān)的角

7.2.1三角形的內(nèi)角

三角形的內(nèi)角和等于180o

722三角形的外角

三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。

三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角。

7.3多邊形及其內(nèi)角和

7.3.1多邊形

在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。

連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。

n邊形的對角線公式：也曰

2

各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

7.3.2多邊形的內(nèi)角和

n邊形的內(nèi)角和公式:180(n-2)

多邊形的外角和等于360。

7.4課題學(xué)習(xí)鑲嵌

第八章二元一次方程組

8.1二元一次方程組

含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程

把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方

程組。

使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解

二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。

8.2消元

由二元一次方程組中的一個方程，將一個未知數(shù)用含有另一未知數(shù)的式子表

示出來，再代入另一方程，實現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個二元一次方程組的解。這種

方法叫做代入消元法，簡稱代入法。

兩個二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分

別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程。這種方法叫做加

減消元法，簡稱加減法。

8.3再探實際問題與二元一次方程組

第九章不等式與不等式組

9.1不等式

9.1.1不等式及其解集

用“<，，或“>”號表示大小關(guān)系的式子叫做不等式。

使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。

能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫