2020-2021學年高考數學一輪復習專題2同角三角函數的基本關系與誘導公式知識點講解文科版含解

專題4.2同角三角函數的基本關系與誘導公式【考情分析】1.理解同角三角函數的基本關系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx．2.能利用單位圓中的三角函數線推導出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式．【重點知識梳理】知識點一同角三角函數的基本關系1．同角三角函數的基本關系(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商數關系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).2．同角三角函數基本關系式的應用技巧技巧解讀適合題型切弦互化主要利用公式tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ化成正切表達式中含有sinθ，cosθ與tanθ“1”的變換1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sinθ±cosθ)2?2sinθcosθ＝taneq\f(π,4)表達式中需要利用“1”轉化和積轉換利用關系式(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ進行變形、轉化表達式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ知識點二三角函數的誘導公式組數一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cosα－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tanαtan_α－tan_α－tan_α【典型題分析】高頻考點一同角三角函數基本關系式【例1】（2020·河南鄭州中學模擬）已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，則cos2α＋eq\f(1,2)sin2α的值是()A.eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)C．－3 D．3【答案】A【解析】(1)由eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5得eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5，可得tanα＝2，則cos2α＋eq\f(1,2)sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝eq\f(cos2α＋sinαcosα,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1＋tanα,1＋tan2α)＝eq\f(3,5).故選A.【變式探究】（2020·河北正定中學模擬）已知θ為第二象限角，sinθ，cosθ是關于x的方程2x2＋(eq\r(3)－1)x＋m＝0(m∈R)的兩根，則sinθ－cosθ＝()A.eq\f(1－\r(3),2)B.eq\f(1＋\r(3),2)C.eq\r(3)D．－eq\r(3)【答案】B【解析】因為sinθ，cosθ是方程2x2＋(eq\r(3)－1)x＋m＝0(m∈R)的兩根，所以sinθ＋cosθ＝eq\f(1－\r(3),2)，sinθ·cosθ＝eq\f(m,2)，可得(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ＝1＋m＝eq\f(2－\r(3),2)，解得m＝－eq\f(\r(3),2).因為θ為第二象限角，所以sinθ＞0，cosθ＜0，即sinθ－cosθ＞0，因為(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθ·cosθ＝1－m＝1＋eq\f(\r(3),2)，所以sinθ－cosθ＝eq\r(1＋\f(\r(3),2))＝eq\f(1＋\r(3),2).故選B.高頻考點二誘導公式的應用【例2】（2020·山東省實驗中學模擬）已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))的值是．【答案】0【解析】因為coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＝cosπ－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝－a，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝sineq\f(π,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝0.【變式探究】（2020·河南商丘一中模擬）設f(α)＝eq\f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sinα≠0)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝.【答案】eq\r(3)【解析】因為f(α)＝eq\f(－2sinα－cosα＋cosα,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(2sinαcosα＋cosα,2sin2α＋sinα)＝eq\f(cosα1＋2sinα,sinα1＋2sinα)＝eq\f(1,tanα)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq\f(1,tan\f(π,6))＝eq\r(3).高頻考點三同角三角函數的基本關系及應用【例3】（2020·新課標Ⅰ）已知，且，則（）A B.C. D.【答案】A【解析】，得，即，解得或（舍去），又.【方法技巧】同角三角函數關系式的應用方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可實現(xiàn)α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化．(2)由一個角的任一三角函數值可求出這個角的另外兩個三角函數值，因為利用“平方關系”公式，需求平方根，會出現(xiàn)兩解，需根據角所在的象限判斷符號，當角所在的象限不明確時，要進行分類討論．(3)應用公式時注意方程思想的應用：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(4)注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【變式探究】(2019·高考全國卷Ⅱ)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，2sin2α＝cos2α＋1，則sinα＝()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2\r(5),5)【答案】B【解析】由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1－sin2α.因為α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)，所以2sinαeq\r(1－sin2α)＝1－sin2α，解得sinα＝eq\f(\r(5),5)，故選B。高頻考點四同角三角函數的基本式和誘導公式的綜合應用【例4】（2020·浙江省寧波中學模擬）已知f(x)＝eq\f(cos2（nπ＋x）·sin2（nπ－x）,cos2[（2n＋1）π－x])(n∈Z)．(1)化簡f(x)的表達式；(2)求f(eq\f(π,2018))＋f(eq\f(504π,1009))的值．【解析】(1)當n為偶數，即n＝2k(k∈Z)時，f(x)＝eq\f(cos2（2kπ＋x）·sin2（2kπ－x）,cos2[（2×2k＋1）π－x])＝eq\f(cos2x·sin2（－x）,cos2（π－x）)＝eq\f(cos2x·（－sinx）2,（－cosx）2)＝sin2x；當n為奇數，即n＝2k＋1(k∈Z)時，f(x)＝eq\f(cos2[（2k＋1）π＋x]·sin2[（2k＋1）π－x],cos2{[2×（2k＋1）＋1]π－x})＝eq\f(cos2[2kπ＋（π＋x）]·sin2[2kπ＋（π－x）],cos2[2×（2k＋1）π＋（π－x）])＝eq\f(cos2（π＋x）·sin2（π－x）,cos2（π－x）)＝eq\f(（－cosx）2sin2x,（－cosx）2)＝sin2x，綜上得f(x)＝sin2x.(2)由(1)得f(eq\f(π,2018))＋f(eq\f(504π,1009))＝sin2eq\f(π,2018)＋sin2eq\f(1008π,2018)＝sin2eq\f(π,2018)＋sin2(eq\f(π,2)－eq\f(π,2018))＝sin2eq\f(π,2018)＋cos2eq\f(π,2018)＝1.【方法技巧】同角三角函數基本關系在求值與化簡時，常用方法有(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝eq\f(sinx,cosx)進行切化弦或弦化切，如eq\f(asinx＋bcosx,csinx＋dcosx)，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等類型可進行弦化切．(2)和積轉換法：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二．(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tan2θ)))＝taneq\f(π,4)＝….【變式探究】（2020·哈爾濱三中模擬）已知－π＜x＜0，sin(π＋x)－cosx＝－eq\f(1,5).(1)求sinx－cosx的值；(2)求eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值．【解析】(1)由已知，得sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，兩邊平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，整理得2sinxcosx＝－eq\f(24,25).∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25)，由－π＜x＜0知，