人教版中考數(shù)學一輪復習數(shù)學基礎講練：第12講 二次函數(shù)

第12講二次函數(shù)考標要求考查角度1.理解二次函數(shù)的有關概念．2．會用描點法畫二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認識二次函數(shù)的性質．3．會運用配方法確定二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向和對稱軸，并會求解二次函數(shù)的最值問題．4．熟練掌握二次函數(shù)解析式的求法，并能用它解決有關的實際問題．5．會用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.二次函數(shù)是中考考查的重點內容，題型主要有選擇題、填空題及解答題，而且常與方程、不等式、幾何知識等結合在一起綜合考查，且一般為壓軸題．命題不僅考查二次函數(shù)的概念、圖象和性質等基礎知識，而且注重多個知識點的綜合考查以及對學生應用二次函數(shù)解決實際問題能力的考查.知識梳理一、二次函數(shù)的概念一般地，形如y＝______________(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．二次函數(shù)的兩種形式：(1)一般形式：____________________________；(2)頂點式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，其中二次函數(shù)的頂點坐標是________．二、二次函數(shù)的圖象及性質二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)圖象(a＞0)(a＜0)開口方向開口向上開口向下對稱軸直線x＝－eq\f(b,2a)直線x＝－eq\f(b,2a)頂點坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))增減性當x＜－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而減??；當x＞－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而增大當x＜－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而增大；當x＞－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而減小最值當x＝－eq\f(b,2a)時，y有最______值eq\f(4ac－b2,4a)當x＝－eq\f(b,2a)時，y有最______值eq\f(4ac－b2,4a)三、二次函數(shù)圖象的特征與a，b，c及b2－4ac四、二次函數(shù)圖象的平移拋物線y＝ax2與y＝a(x－h(huán))2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h(huán))2＋k中|a|相同，則圖象的________和大小都相同，只是位置不同．它們之間的平移關系如下：五、二次函數(shù)關系式的確定1．設一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若已知條件是圖象上三個點的坐標，則設一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，將已知條件代入，求出a，b，c的值．2．設交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的坐標，則設交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，將第三點的坐標或其他已知條件代入，求出待定系數(shù)a，最后將關系式化為一般式．3．設頂點式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)．若已知二次函數(shù)的頂點坐標或對稱軸方程與最大值或最小值，則設頂點式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，將已知條件代入，求出待定系數(shù)化為一般式．六、二次函數(shù)與一元二次方程的關系1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當y＝0時，就變成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是拋物線與x軸交點的________．3．當Δ＝b2－4ac＞0時，拋物線與x軸有兩個不同的交點；當Δ＝b2－4ac＝0時，拋物線與x軸有一個交點；當Δ＝b2－4ac＜0時，拋物線與4．設拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸兩交點坐標分別為A(x1,0)，B(x2,0)，則x1＋x2＝________，x1·x2＝________.自主測試1．下列二次函數(shù)中，圖象以直線x＝2為對稱軸，且經(jīng)過點(0,1)的是()A．y＝(x－2)2＋1B．y＝(x＋2)2＋1 C．y＝(x－2)2－3D．y＝(x＋2)2－2.如圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中，劉星同學觀察得出了下面四個結論：(1)b2-4ac＞0；(2)c＞1；(3)2a-b＜0；(4)a+b+c＜0.你認為其中錯誤的有()A．2個B．3個 C．4個D．1個3．當m＝__________時，函數(shù)y＝(m－3)xm2－7＋4是二次函數(shù)．4．(2022上海)將拋物線y＝x2＋x向下平移2個單位，所得新拋物線的表達式是________．5．(2022廣東珠海)如圖，二次函數(shù)y＝(x－2)2＋m的圖象與y軸交于點C，點B是點C關于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱的點．已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上點A(1,0)及點B．(1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象，寫出滿足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范圍．考點一、二次函數(shù)的圖象及性質【例1】(1)二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋5的圖象的頂點坐標是()A．(－1,8) B．(1,8) C．(－1,2) D．(1，－4)(2)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的對稱軸為直線x＝1，且經(jīng)過點(－1，y1)，(2，y2)，試比較y1和y2的大?。簓1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)解析：(1)拋物線的頂點坐標可以利用頂點坐標公式或配方法來求．∵－eq\f(b,2a)＝－eq\f(－6,2×(－3))＝－1，eq\f(4ac－b2,4a)＝eq\f(4×(－3)×5－(－6)2,4×(－3))＝8，∴二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋5的圖象的頂點坐標是(－1,8)．故選A．(2)點(－1，y1)，(2，y2)不在對稱軸的同一側，不能直接利用二次函數(shù)的增減性來判斷y1，y2的大小，可先根據(jù)拋物線關于對稱軸的對稱性，然后再用二次函數(shù)的增減性即可．設拋物線經(jīng)過點(0，y3)，∵拋物線對稱軸為直線x＝1，∴點(0，y3)與點(2，y2)關于直線x＝1對稱．∴y3＝y(tǒng)2.∵a＞0，∴當x＜1時，y隨x的增大而減小．∴y1＞y3.∴y1＞y2.答案：(1)A(2)＞方法總結1.將拋物線解析式寫成y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，則頂點坐標為(h，k)，對稱軸為直線x＝h，也可應用對稱軸公式x＝－eq\f(b,2a)，頂點坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))來求對稱軸及頂點坐標．2．比較兩個二次函數(shù)值大小的方法：(1)直接代入自變量求值法；(2)當自變量在對稱軸兩側時，看兩個數(shù)到對稱軸的距離及函數(shù)值的增減性判斷；(3)當自變量在對稱軸同側時，根據(jù)函數(shù)值的增減性判斷．觸類旁通1已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖，則下列結論中正確的是()A．a＞0 B．當x＞1時，y隨x的增大而增大C．c＜0 D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根考點二、利用二次函數(shù)圖象判斷a，b，c的符號【例2】如圖，是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的一部分，給出下列命題：①a＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的兩根分別為－3和1；④a－2b＋c＞0.其中正確的命題是__________．(只要求填寫正確命題的序號)解析：由圖象可知過(1,0)，代入得到a＋b＋c＝0；根據(jù)－eq\f(b,2a)＝－1，推出b＝2a；根據(jù)圖象關于對稱軸對稱，得出與x軸的交點是(－3,0)，(1,0)；由a－2b＋c＝a－2b－a－b＝－3b＜0，根據(jù)結論判斷即可．答案：①③方法總結根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定有關代數(shù)式的符號，是二次函數(shù)中的一類典型的數(shù)形結合問題，具有較強的推理性．解題時應注意a決定拋物線的開口方向，c決定拋物線與y軸的交點，拋物線的對稱軸由a，b共同決定，b2－4ac決定拋物線與x軸的交點情況．當x＝1時，決定a＋b＋c的符號，當x＝－1時，決定a－b＋c的符號．在此基礎上，還可推出其他代數(shù)式的符號．運用數(shù)形結合的思想更直觀、更簡捷觸類旁通2小明從如圖的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象中，觀察得出了下面五個結論：①c＜0；②abc＞0；③a－b＋c＞0；④2a－3b＝0；⑤c－4b＞0，你認為其中正確的結論有()A．2個B．3個 C．4個D．5個考點三、二次函數(shù)圖象的平移【例3】二次函數(shù)y＝－2x2＋4x＋1的圖象怎樣平移得到y(tǒng)＝－2x2的圖象()A．向左平移1個單位，再向上平移3個單位B．向右平移1個單位，再向上平移3個單位C．向左平移1個單位，再向下平移3個單位D．向右平移1個單位，再向下平移3個單位解析：首先將二次函數(shù)的解析式配方化為頂點式，然后確定如何平移，即y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，將該函數(shù)圖象向左平移1個單位，再向下平移3個單位就得到y(tǒng)＝－2x2的圖象．答案：C方法總結二次函數(shù)圖象的平移實際上就是頂點位置的變換，因此先將二次函數(shù)解析式轉化為頂點式確定其頂點坐標，然后按照“左加右減、上加下減”的規(guī)律進行操作．觸類旁通3將二次函數(shù)y＝x2的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得圖象的函數(shù)解析式是()A．y＝(x－1)2＋2B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2－2D．y＝(x＋1)2考點四、確定二次函數(shù)的解析式【例4】如圖，四邊形ABCD是菱形，點D的坐標是(0，eq\r(3))，以點C為頂點的拋物線y=ax2+bx+c恰好經(jīng)過x軸上A，B兩點．(1)求A，B，C三點的坐標；(2)求經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的解析式．解：(1)由拋物線的對稱性可知AE＝BE.∴△AOD≌△BEC．∴OA＝EB＝EA．設菱形的邊長為2m，在Rt△AODm2＋(eq\r(3))2＝(2m)2，解得m＝1.∴DC＝2，OA＝1，OB＝3.∴A，B，C三點的坐標分別為(1,0)，(3,0)，(2，eq\r(3))．(2)解法一：設拋物線的解析式為y＝a(x－2)2＋eq\r(3)，代入A的坐標(1,0)，得a＝－eq\r(3).∴拋物線的解析式為y＝－eq\r(3)(x－2)2＋eq\r(3).解法二：設這個拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c，由已知拋物線經(jīng)過A(1,0)，B(3,0)，C(2，eq\r(3))三點，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0，,9a＋3b＋c＝0，,4a＋2b＋c＝\r(3)，))解這個方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\r(3)，,b＝4\r(3)，,c＝－3\r(3).))∴拋物線的解析式為y＝－eq\r(3)x2＋4eq\r(3)x－3eq\r(3).方法總結用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，需根據(jù)已知條件，靈活選擇解析式：若已知圖象上三個點的坐標，可設一般式；若已知二次函數(shù)圖象與x軸兩個交點的橫坐標，可設交點式；若已知拋物線頂點坐標或對稱軸與最大(或小)值，可設頂點式．觸類旁通4已知拋物線y＝－eq\f(1,2)x2＋(6－eq\r(m2))x＋m－3與x軸有A，B兩個交點，且A，B兩點關于y軸對稱．(1)求m的值；(2)寫出拋物線的關系式及頂點坐標．考點五、二次函數(shù)的實際應用【例5】我市某鎮(zhèn)的一種特產由于運輸原因，長期只能在當?shù)劁N售．當?shù)卣畬υ撎禺a的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤P＝－eq\f(1,100)(x－60)2＋41(萬元)．當?shù)卣當M在“十二·五”規(guī)劃中加快開發(fā)該特產的銷售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃前后對該項目每年最多可投入100萬元的銷售投資，在實施規(guī)劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產只能在當?shù)劁N售；公路通車后的3年中，該特產既在本地銷售，也在外地銷售．在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤Q＝－eq\f(99,100)(100－x)2＋eq\f(294,5)(100－x)＋160(萬元)．(1)若不進行開發(fā)，求5年所獲利潤的最大值是多少；(2)若按規(guī)劃實施，求5年所獲利潤(扣除修路后)的最大值是多少；(3)根據(jù)(1)、(2)，該方案是否具有實施價值？解：(1)當x＝60時，P最大且為41萬元，故五年獲利最大值是41×5＝205(萬元)．(2)前兩年：0≤x≤50，此時因為P隨x的增大而增大，所以x＝50時，P值最大且為40萬元，所以這兩年獲利最大為40×2＝80(萬元)．后三年：設每年獲利為y萬元，當?shù)赝顿Y額為x萬元，則外地投資額為(100－x)萬元，所以y＝P＋Q＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,100)(x－60)2＋41))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(99,100)x2＋\f(294,5)x＋160))＝－x2＋60x＋165＝－(x－30)2＋1065，表明x＝30時，y最大且為1065，那么三年獲利最大為1065×3＝3195(萬元)，故五年獲利最大值為80＋3195－50×2＝3175(萬元)．(3)有極大的實施價值．方法總結運用二次函數(shù)的性質解決生活和實際生產中的最大值和最小值問題是最常見的題目類型，解決這類問題的方法是：1．列出二次函數(shù)的關系式，列關系式時，要根據(jù)自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍．2．在自變量取值范圍內，運用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值和最小值．觸類旁通5一玩具廠去年生產某種玩具，成本為10元/件，出廠價為12元/件，年銷售量為2萬件．今年計劃通過適當增加成本來提高產品檔次，以拓展市場．若今年這種玩具每件的成本比去年成本增加倍，今年這種玩具每件的出廠價比去年出廠價相應提高倍，則預計今年年銷售量將比去年年銷售量增加x倍(本題中0＜x≤11)．(1)用含x的代數(shù)式表示，今年生產的這種玩具每件的成本為__________元，今年生產的這種玩具每件的出廠價為__________元；(2)求今年這種玩具的每件利潤y(元)與x之間的函數(shù)關系式；(3)設今年這種玩具的年銷售利潤為w萬元，求當x為何值時，今年的年銷售利潤最大？最大年銷售利潤是多少萬元？注：年銷售利潤＝(每件玩具的出廠價－每件玩具的成本)×年銷售量．1．(2022湖南株洲)如圖，已知拋物線與x軸的一個交點為A(1,0)，對稱軸是x＝－1，則拋物線與x軸的另一個交點坐標是()A．(－3,0)B．(－2,0)C．x＝－3D．x＝－22．(2022湖南郴州)拋物線y＝(x－1)2＋2的頂點坐標是()A．(－1,2)B．(－1，－2)C．(1，－2)D．(1,2)3.(2022湖南婁底)已知二次函數(shù)y＝x2－(m2－2)x－2m的圖象與x軸交于點A(x1,0)和點B(x2,0)，x1＜x2，與y軸交于點C，且滿足eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(1,2).(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)探究：在直線y＝x＋3上是否存在一點P，使四邊形PACB為平行四邊形？如果有，求出點P的坐標；如果沒有，請說明理由．4．(2022湖南長沙)在長株潭建設兩型社會的過程中，為推進節(jié)能減排，發(fā)展低碳經(jīng)濟，我市某公司以25萬元購得某項節(jié)能產品的生產技術后，再投入100萬元購買生產設備，進行該產品的生產加工．已知生產這種產品的成本價為每件20元．經(jīng)過市場調研發(fā)現(xiàn)，該產品的銷售單價定在25元到30元之間較為合理，并且該產品的年銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關系式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(40－x，25≤x≤30，,25－，30<x≤35))(年獲利＝年銷售收入－生產成本－投資成本)．(1)當銷售單價定為28元時，該產品的年銷售量為多少萬件？(2)求該公司第一年的年獲利W(萬元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關系式，并說明投資的第一年，該公司是盈利還是虧損？若盈利，最大利潤是多少？若虧損，最小虧損是多少？(3)第二年，該公司決定給希望工程捐款Z萬元，該項捐款由兩部分組成：一部分為10萬元的固定捐款；另一部分則為每銷售一件產品，就抽出一元錢作為捐款．若除去第一年的最大獲利(或最小虧損)以及第二年的捐款后，到第二年年底，兩年的總盈利不低于萬元，請你確定此時銷售單價的范圍．5.(2022湖南湘潭)如圖，拋物線y＝ax2－eq\f(3,2)x－2(a≠0)的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標為(4,0)．(1)求拋物線的解析式；(2)試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；(3)若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標．1．拋物線y＝x2－6x＋5的頂點坐標為()A．(3，－4) B．(3,4) C．(－3，－4) D．(－3,4)2．由二次函數(shù)y＝2(x－3)2＋1，可知()A．其圖象的開口向下 B．其圖象的對稱軸為直線x＝－3C．其最小值為1 D．當x＜3時，y隨x的增大而增大3．已知函數(shù)y＝(k－3)x2＋2x＋1的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是()A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠4．如圖，平面直角坐標系中，兩條拋物線有相同的對稱軸，則下列關系正確的是()(第4題圖)A．m＝n，k＞h B．m＝n，k＜h C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h5．如圖，已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點A(－1,0)，B(1，－2)，該圖象與x軸的另一交點為C，則AC長為__________．(第5題圖)6．拋物線y＝ax2＋bx＋c上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表：x…－2－1012…y…04664…從上表可知，下列說法中正確的是__________．(填寫序號)①拋物線與x軸的一個交點為(3,0)；②函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的最大值為6；③拋物線的對稱軸是直線x＝eq\f(1,2)；④在對稱軸左側，y隨x增大而增大．7．拋物線y＝－x2＋bx＋c的圖象如圖所示，若將其向左平移2個單位，再向下平移3個單位，則平移后的解析式為__________．8．2022年長江中下游地區(qū)發(fā)生了特大旱情，為抗旱保豐收，某地政府制定了農戶投資購買抗旱設備的補貼辦法，其中購買Ⅰ型、Ⅱ型抗旱設備所投資的金額與政府補貼的額度存在下表所示的函數(shù)對應關系.(1)分別求y1和y2的函數(shù)解析式；(2)有一農戶同時對Ⅰ型、Ⅱ型兩種設備共投資10萬元購買，請你設計一個能獲得最大補貼金額的方案，并求出按此方案能獲得的最大補貼金額．9．如圖，已知二次函數(shù)L1：y＝x2－4x＋3與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C．(1)寫出二次函數(shù)L1的開口方向、對稱軸和頂點坐標；(2)研究二次函數(shù)L2：y＝kx2－4kx＋3k(k≠0)．①寫出二次函數(shù)L2與二次函數(shù)L1有關圖象的兩條相同的性質；②若直線y＝8k與拋物線L2交于E，F(xiàn)兩點，問線段EF的長度是否發(fā)生變化？如果不會，請求出EF的長度；如果會，請說明理由．參考答案【知識梳理】一、ax2＋bx＋c(1)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)(2)(h，k)二、小大三、y軸左右四、形狀六、2.橫坐標4.－eq\f(b,a)eq\f(c,a)導學必備知識自主測試1．C2．D∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2－4ac＞0；與y軸交點在(0,0)與(0,1)之間，∴0＜c＜1，∴(2)錯；∵－eq\f(b,2a)＞－1，∴eq\f(b,2a)＜1，∵a＜0，∴2a＜b，∴2a－b＜0；當x＝1時，y＝a＋b＋c＜0，故選D.3．－3由題意，得m2－7＝2且m－3≠0，解得m＝－3.4．y＝x2＋x－2因為拋物線向下平移2個單位，則y值在原來的基礎上減2，所以新拋物線的表達式是y＝x2＋x－2.5．解：(1)由題意，得(1－2)2＋m＝0，解得m＝－1，∴y＝(x－2)2－1.當x＝0時，y＝(0－2)2－1＝3，∴C(0,3)．∵點B與C關于直線x＝2對稱，∴B(4,3)．于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＝k＋b，,3＝4k＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝－1.))∴y＝x－1.(2)x的取值范圍是1≤x≤4.探究考點方法觸類旁通觸類旁通∵拋物線開口向上，∴a＞0；∵拋物線與y軸交于負半軸，∴c＜0；對稱軸在y軸右側，a，b異號，故b＜0，∴abc＞0.由題圖知當x＝－1時，y＞0，即a－b＋c＞0.對稱軸是直線x＝eq\f(1,3)，∴－eq\f(b,2a)＝eq\f(1,3)，即2a＋3b＝0；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＋c>0，,2a＋3b＝0，))得c－eq\f(5,2)b＞0.又∵b＜0，∴c－4b＞0.∴正確的結論有4個．觸類旁通因為將二次函數(shù)y＝x2向右平移1個單位，得y＝(x－1)2，再向上平移2個單位后，得y＝(x－1)2＋2，故選A.觸類旁通4.解：(1)∵拋物線與x軸的兩個交點關于y軸對稱，∴拋物線的對稱軸即為y軸．∴－eq\f(6－\r(m2),2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝0.∴m＝±6.又∵拋物線開口向下，∴m－3＞0，即m＞3.∴m＝6.(2)∵m＝6，∴拋物線的關系式為y＝－eq\f(1,2)x2＋3，頂點坐標為(0,3)．觸類旁通5.解：(1)(10＋7x)(12＋6x)(2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x.(3)∵w＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4，∴w＝－2(x－2＋.∵－2＜0,0＜x≤11，∴當x＝時，w最大＝(萬元)．答：當x為時，今年的年銷售利潤最大，最大年銷售利潤是萬元．品鑒經(jīng)典考題1．A點A到對稱軸的距離為2，由拋物線的對稱性知，另一個交點的橫坐標為－3，所以另一個交點坐標為(－3,0)．2．D3．解：(1)由已知得x1＋x2＝m2－2，x1x2＝－2m∵eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(1,2)，即eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(m2－2,－2m)＝eq\f(1,2)，解得m＝1或m＝－2.當m＝1時，y＝x2＋x－2，得A(－2,0)，B(1,0)；當m＝－2時，y＝x2－2x＋4，與x軸無交點，舍去．∴這個二次函數(shù)的解析式為y＝x2＋x－2.(2)由(1)得A(－2,0)，B(1,0)，C(0，－2)．假設存在一點P，使四邊形PACB是平行四邊形，則PB∥AC且PB＝AC，根據(jù)平移知識可得P(－1,2)，經(jīng)驗證P(－1,2)在直線y＝x＋3上，故在直線y＝x＋3上存在一點P(－1,2)，使四邊形PACB為平行四邊形．4．解：(1)當x＝28時，y＝40－28＝12.所以，產品的年銷售量為12萬件．(2)①當25≤x≤30時，W＝(40－x)(x－20)－25－100＝－x2＋60x－925＝－(x－30)2－25，故當x＝30時，W最大為－25，即公司最少虧損25萬元；②當30＜x≤35時，W＝(25－(x－20)－25－100＝－eq\f(1,2)x2＋35x－625＝－eq\f(1,2)(x－35)2－，故當x＝35時，W最大為－，及公司最少虧損萬元，綜上所述，投資的第一年，公司虧損，最少虧損是萬元；(3)①當25≤x≤30時，W＝(40－x)(x－20－1)－－10＝－x2＋61x－，令W＝，則－x2＋61x－＝，化簡得x2－61x＋930＝0，x1＝30，x2＝31，此時，當兩年的總盈利不低于萬元時，x＝30.②當30＜x≤35時，W＝(25－(x－20－1)－－10＝－eq\f(1,2)x2＋－，令W＝，則－eq\f(1,2)x2＋－＝，化簡得x2－71x＋1230＝0，x1＝30，x2＝41，此時，當兩年的總盈利不低于萬元時，30＜x≤35.所以，到第二年年底，兩年的總盈利不低于萬元，此時銷售單價的范圍是30≤x≤35.5．解：(1)將點B(4,0)代入y＝ax2－eq\f(3,2)x－2(a≠0)中，得a＝eq\f(1,2).∴拋物線的解析式為y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2.(2)∵當eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2＝0時，解得x1＝4，x2＝－1，∴A點坐標為(－1,0)，則OA＝1.∵當x＝0時，y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2＝－2，∴C點坐標為(0，－2)，則OC＝2.在Rt△AOC與Rt△COB中，eq\f(OA,OC)＝eq\f(OC,OB)＝eq\f(1,2)，∴Rt△AOC∽Rt△COB.∴∠ACO＝∠CBO.∴∠ACB＝∠ACO＋∠OCB＝∠CBO＋∠OCB＝90°.∴△ABC為直角三角形．∴△ABC的外接圓的圓心為AB中點，其坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0)).(3)連接OM.設M點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(1,2)x2－\f(3,2)x－2))，則S△MBC＝S△OBM＋S△OCM－S△OBC＝eq\f(1,2)×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋\f(3,2)x＋2))＋eq\f(1,2)×2×x－eq\f(1,2)×2×4＝－(x－2)2＋4.∴當x＝2時，△MBC的面積有最大值為4，點M的坐標為(2，－3)．研習預測試題1．A3．D由題意，得22－4(k－3)≥0，且k－3≠0，解得k≤4且k≠3