行列式的基本性質(zhì)與計(jì)算

行列式的基本性質(zhì)與計(jì)算演示文稿當(dāng)前1頁(yè)，總共49頁(yè)。（優(yōu)選）第二節(jié)行列式的基本性質(zhì)與計(jì)算當(dāng)前2頁(yè)，總共49頁(yè)。3因?yàn)樾再|(zhì)2.

互換兩行(列),行列式改變符號(hào).

注：由性質(zhì)1可知,行列式中行與列具有同等地位,行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的,對(duì)列也成立,反之亦然.所以當(dāng)前3頁(yè)，總共49頁(yè)。4注:

換行:換列:即例如:當(dāng)前4頁(yè)，總共49頁(yè)。5又如:

推論1.

若行列式中某一行(列)的所有元素均為零,則

證明:當(dāng)?shù)谝恍性厝珵?時(shí),即由行列式定義知D=0;當(dāng)前5頁(yè)，總共49頁(yè)。6若第i

行(i＞1)的元素全為0,即(第i行)=0.證畢.當(dāng)前6頁(yè)，總共49頁(yè)。7推論2.

若行列式D中有兩行(列)完全相同,則D=0.證明:將相同的兩行互換,有

性質(zhì)3.

若行列式中某行(列)的所有元素是兩個(gè)數(shù)的和,則D可表示成兩個(gè)新行列式之和.即

當(dāng)前7頁(yè)，總共49頁(yè)。8當(dāng)前8頁(yè)，總共49頁(yè)。9證明:當(dāng)i=1時(shí)，由行列式的定義知當(dāng)前9頁(yè)，總共49頁(yè)。10當(dāng)i>1時(shí)，把第i行與第一行互換，再按上面的方法把行列式拆成兩個(gè)行列式之和，然后再把這兩個(gè)行列式的第i行與第一行互換即可．當(dāng)前10頁(yè)，總共49頁(yè)。11性質(zhì)4.行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面.即證:當(dāng)i=1時(shí)，由行列式的定義知當(dāng)前11頁(yè)，總共49頁(yè)。12當(dāng)i>1時(shí)，把第i行與第一行互換，根據(jù)上面的結(jié)論，可把第一行的公因子提到行列式外，然后再互換第一行和第i行，即得該命題．當(dāng)前12頁(yè)，總共49頁(yè)。13(第j行)推論20.(第i行)也就是

推論3.

若行列式D

中有某兩行(列)對(duì)應(yīng)元素成比例,則D=0.當(dāng)前13頁(yè)，總共49頁(yè)。14

性質(zhì)5

把行列式中某一行(列)的各元素乘以常數(shù)k后加到另一行(列)對(duì)應(yīng)的元素上去,行列式保持不變,即當(dāng)前14頁(yè)，總共49頁(yè)。15又注意:

注:

利用上述性質(zhì)和推論可以簡(jiǎn)化行列式的運(yùn)算,即可把行列式化成上三角(或下三角)行列式來(lái)計(jì)算.當(dāng)前15頁(yè)，總共49頁(yè)。16例1.計(jì)算解:D當(dāng)前16頁(yè)，總共49頁(yè)。17當(dāng)前17頁(yè)，總共49頁(yè)。18例2.計(jì)算解:從第四行開(kāi)始,后行減去前行,得當(dāng)前18頁(yè)，總共49頁(yè)。19當(dāng)前19頁(yè)，總共49頁(yè)。20例3.

計(jì)算n

階行列式

解:此行列式的特點(diǎn)是各行n個(gè)數(shù)之和均為a+(n-1)b,故把第二列至第n列都加到第一列上去:當(dāng)前20頁(yè)，總共49頁(yè)。21當(dāng)前21頁(yè)，總共49頁(yè)。22解法二(鑲邊法)當(dāng)a,b相等時(shí)，行列式為0,當(dāng)a,b不等時(shí)當(dāng)前22頁(yè)，總共49頁(yè)。23當(dāng)前23頁(yè)，總共49頁(yè)。24例：計(jì)算解：當(dāng)前24頁(yè)，總共49頁(yè)。25當(dāng)前25頁(yè)，總共49頁(yè)。26當(dāng)前26頁(yè)，總共49頁(yè)。27

引理一個(gè)n階行列式，如果其中第i行(或第j列)所有元素除外都為零，那末此行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即二、行列式按任一行(列)展開(kāi)

根據(jù)行列式的定義和性質(zhì)1,我們知道行列式等于它的第一行(列)的各元素與它們對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.

事實(shí)上可以證明更一般的結(jié)論.為此先證明以下引理.例如當(dāng)前27頁(yè)，總共49頁(yè)。28也就是:若則當(dāng)前28頁(yè)，總共49頁(yè)。29(1).當(dāng)位于第一行第一列的情形,即證明:

先證由定義,按第一行展開(kāi)得(2).再證一般情形(第i行除外,其它元素全為零),此時(shí)當(dāng)前29頁(yè)，總共49頁(yè)。30得當(dāng)前30頁(yè)，總共49頁(yè)。31其中得當(dāng)前31頁(yè)，總共49頁(yè)。32當(dāng)前32頁(yè)，總共49頁(yè)。33于是證畢.

定理一.行列式等于它的任一行(列)的各元素與它們對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即行列式按行（列）展開(kāi)法或

證明:把行列式D的第i行的每個(gè)元素按下面的方式拆成n個(gè)數(shù)的和,再根據(jù)性質(zhì)3,可將D

表示成n個(gè)行列式之和:當(dāng)前33頁(yè)，總共49頁(yè)。34引理當(dāng)前34頁(yè)，總共49頁(yè)。35證畢.同理,若按列證明,可得

推論.

行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證明:

不妨設(shè)i＜j,考慮輔助行列式當(dāng)前35頁(yè)，總共49頁(yè)。36←第i行←第j行其中第i行與第j行對(duì)應(yīng)元素相同,又將按第j行展開(kāi),有于是得當(dāng)前36頁(yè)，總共49頁(yè)。37上述證法按列進(jìn)行,同理可得證畢.小結(jié):關(guān)于代數(shù)余子式的性質(zhì)有:(1).(2).或簡(jiǎn)寫成:當(dāng)前37頁(yè)，總共49頁(yè)。38例1.利用定理一計(jì)算前面的例1解:D當(dāng)前38頁(yè)，總共49頁(yè)。39當(dāng)前39頁(yè)，總共49頁(yè)。40例2.計(jì)算0000解:按第一行展開(kāi),有當(dāng)前40頁(yè)，總共49頁(yè)。41當(dāng)前41頁(yè)，總共49頁(yè)。42遞推公式當(dāng)前42頁(yè)，總共49頁(yè)。43例3.證明范德蒙(Vandermonde)行列式說(shuō)明:當(dāng)前43頁(yè)，總共49頁(yè)。44下面我們來(lái)證明范德蒙(Vandermonde)行列式.證明:用數(shù)學(xué)歸納法.因?yàn)楫?dāng)前44頁(yè)，總共49頁(yè)。45當(dāng)前45頁(yè)，總共49頁(yè)。46按歸納法假設(shè),有故當(dāng)前46頁(yè)，