第四章 根軌跡分析法

第四章根軌跡分析法第一頁，共七十二頁，2022年，8月28日1第四章根軌跡法分析4.1概述4.2繪制根軌跡的基本法則4.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用4.3廣義根軌跡第二頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.1概述1.根軌跡的概念2.閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系3.根軌跡方程首頁第三頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.1概述1.根軌跡的概念R(s)C(s)-圖4.1系統(tǒng)方框圖例已知二階系統(tǒng)結構圖如圖4.1所示，試分析開環(huán)增益K的變化對系統(tǒng)閉環(huán)極點的影響。特征方程式：閉環(huán)傳遞函數(shù)：特征根：第四頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.1.1根軌跡K=0時，s1=0，s2=－1，對應開環(huán)極點。0<K<1/4時，s1、s2都是負實根，如s1=－0.25，s2=－0.75。K=1/4時，s1=s2=－1/2，兩個相等負實根。K：0→∞0-1j0.5jωσK=0-j0.5圖4-2根軌跡K=0.1875K=0.25K=0.5根軌跡：簡稱根跡，它是指系統(tǒng)中某一參數(shù)在可能的取值范圍內(nèi)連續(xù)變化時，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面上的變化軌跡。

1/4<K<∞時，s1,s2為一對共軛復根；K=1/2時，s1,2=－1/2±j0.5。第五頁，共七十二頁，2022年，8月28日閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系G(s)H(s)R(s)C(s)-圖4.3系統(tǒng)結構圖第六頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.1概述2.閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系閉環(huán)零點由前向通道的零點和反饋通道的極點構成。對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點就是開環(huán)零點。閉環(huán)極點與開環(huán)零點、開環(huán)極點及開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益有關。根軌跡增益與開環(huán)放大倍數(shù)相差一個比例系數(shù)。第七頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.1.3根軌跡方程----繪制根軌跡的依據(jù)G(s)H(s)R(s)C(s)-圖4.3系統(tǒng)結構圖特征方程根軌跡方程開環(huán)傳遞函數(shù)幅值條件相角條件k為整數(shù)第八頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.1概述3.根軌跡方程幅值條件相角條件相角條件是決定閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的充要條件。利用相角條件確定根軌跡上某點的位置；利用幅值條件確定根軌跡上某一點對應的根軌跡增益。滿足根軌跡方程的s值為閉環(huán)極點，必然在根軌跡上；滿足相角條件的點必然在根軌跡上。第九頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.1概述幅值條件與相

角條件的應用-1.5-1-20.5s1=-0.825s2,3=-1.09±j2.07-1.09+j2.072.2666.27o78.8o2.112.61127.53o92.49o2.072K*=2.26×2.11×2.612.072=6.006892.49o-66.27o-78.8o-127.53o=–180o第十頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.2繪制根軌跡的基本法則

(180o根軌跡，K*：0→∞)法則一起始點、終止點及分支數(shù)法則二根軌跡的對稱性法則三實軸上的根軌跡法則四根軌跡的漸進線法則五根軌跡的分離點法則六根軌跡的出射角(起始角)和入射角(終止角)法則七根軌跡的分離角與會合角法則八根軌跡與虛軸的交點及臨界增益值法則九閉環(huán)極點的和首頁第十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.2法則一起始點、終止點及分支數(shù)若系統(tǒng)有n個開環(huán)極點、m個開環(huán)零點，則根軌跡的分支數(shù)有n條。它們起始于開環(huán)極點，有m條終止于開環(huán)零點，尚有(n-m)條終止于無窮遠處零點。根軌跡方程起始點K*→0s

→pi(n個開環(huán)極點)終止點K*→∞s

→zj(m個開環(huán)零點)(n-m個無窮大零點)第十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.2法則二根軌跡的對稱性

法則二根軌跡是連續(xù)的且對稱于實軸。當根軌跡增益從0→∞連續(xù)變化時，特征方程的根也將連續(xù)改變，故系統(tǒng)的根軌跡是連續(xù)的。由于閉環(huán)傳遞函數(shù)為有理分式函數(shù)，所以閉環(huán)極點只有實根和共軛復根兩類，這些極點在s平面上的分布是對稱于實軸的。實軸上的根軌跡只能是那些在其右側的實數(shù)開環(huán)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)的線段。法則三實軸上的根軌跡0jωσ圖4.5某系統(tǒng)零極點分布圖p1p2p3p4z1s1θ2θ1第十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.2法則四根軌跡的漸進線當K*→∞時，有(n-m)條根軌跡分支沿著漸進線趨于無窮遠處。漸進線與實軸的交點坐標和與實軸正方向的夾角分別為：證明從略。第十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.2法則五根軌跡的分離點幾條根軌跡在s平面上相遇后又分開的點稱為根軌跡的分離點(或會合點，為了簡化可統(tǒng)稱為分離點)。分離點的可能之處可由下列微分方程解出：(極值法)或分離點的坐標d可由如下方程解出：(試探法)如果求得的解滿足特征方程或相角條件，則可判定其為分離點。第十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.2繪制根軌跡的基本法則法則五根軌跡的分離點確定根軌跡幾個分支的分離點，實質(zhì)上是求閉環(huán)特征方程式的幾重根。將特征方程寫成在重根處應滿足將K*表示成復變量s的函數(shù)第十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.2繪制根軌跡的基本法則例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制系統(tǒng)的概略根軌跡。解：開環(huán)極點p1=0，p2=-1，p3=-2；無開環(huán)零點。實軸上的根軌跡(-∞，-2]，[-1，0]。漸進線n=3，m=0，有三條漸進線。交點相角第十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.2繪制根軌跡的基本法則解得分離點-3-210-10-1-212第十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.2法則六根軌跡的出射角(起始角)和入射角(終止角)

起始角：根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點處的切線與正實軸之間的夾角稱為起始角。終止角：根軌跡進入開環(huán)復數(shù)零點處的切線與正實軸之間的夾角稱為終止角。第十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.2繪制根軌跡的基本法則法則六根軌跡的出射角(起始角)和入射角(終止角)在pl附近的根軌跡上取一點s1，則s1滿足根軌跡的相角條件，即過pl和s1作割線，則割線與正實軸之間的夾角為s1→pl時，∠(s1-pl)→θpl，則0jωσ圖4.7根軌跡起始角p1plp3z1s1θpl第二十頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.2法則七根軌跡的分離角與會合角法則七根軌跡離開(進入)重極點處的分離角(會合角)按等角性原則來確定，即分離點處分離與會合的根軌跡各個分支之間的夾角等于180o/l，l為分離或會合的根軌跡條數(shù)。方法一：特征方程分解法。將s=jω代入特征方程解得交點與臨界增益值。方法二：勞斯判據(jù)法。令勞斯表出現(xiàn)全零行，但第一列符號不變。這時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。所求出的純虛根位于根軌跡與虛軸的交點上。法則八根軌跡與虛軸的交點及臨界增益值第二十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.2法則九閉環(huán)極點的和開環(huán)傳遞函數(shù)當n>m時式中si為閉環(huán)極點。當n-m≥2時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，且為常數(shù)。即當K*變化時，在s平面上一部分根軌跡向左移動，則另一部分根軌跡必然向右移動。第二十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.2繪制根軌跡的基本法則例4-9已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制K*從

0→∞變化時系統(tǒng)特征方程的根軌跡。解：開環(huán)極點：p1=0，p2=-3，p3,4=-1±j

；無開環(huán)零點；四條根軌跡分支。實軸上的根軌跡[-3，0]。漸進線n=4，m=0，有三條漸進線。交點相角第二十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.2繪制根軌跡的基本法則解得那么分離點∠(s2-p1)+∠(s2-p2)+∠(s2-p3)+∠(s2-p4)=153.3o+9.1o-66.6o+78.6o=174.4o由于s2不滿足相角條件，故s2不是根軌跡上的點，不是分離點。0jωσS平面s2p1p2p3p49.1o153.3o-66.6o78.6o由特征方程求得第二十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.2繪制根軌跡的基本法則在分離點s1處各根軌跡之間的夾角為180o/2=90o，會合角為0o、180o，故分離角為±90o。根軌跡在p3處的起始角φp3=(2k+1)π+(-135o-90o-26.6o)=-71.6o與虛軸的交點及臨界增益值：采用勞斯判據(jù)。閉環(huán)特征方程為或勞斯表s418K*s356s234/5K*s1(204-25K*)/34s0K*j1.1-j1.1p1

p2p3p4-1.25第二十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.2繪制根軌跡的基本法則令勞斯表s1行的首項為零，求得K*=8.16，根據(jù)s2行的系數(shù)寫出輔助方程令s=jω，K*=8.16，代入上式求得ω=±1.1。與虛軸的交點為±j1.1，對應的K*=8.16。j1.1-j1.1p1

p2p3p4-1.25根軌跡如右圖所示。第二十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.2繪制根軌跡的基本法則帶開環(huán)零點的二階系統(tǒng)：在復平面上的根軌跡一定是圓或圓的一部分。第二十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.2繪制根軌跡的基本法則根軌跡對稱性的一條定理：若開環(huán)零極點的個數(shù)為偶數(shù)，且對稱分布于一條平行于虛軸的直線，則根軌跡一定關于該直線左右對稱。第二十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.2繪制根軌跡的基本法則第二十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.3廣義根軌跡主要根軌跡：指0≤K*<∞時的根軌跡(常規(guī)根軌跡、180o根軌跡、負反饋系統(tǒng)根軌跡、正參數(shù)根軌跡)。輔助根軌跡：指-∞<K*≤0時的根軌跡(補根軌跡、0o根軌跡、正反饋系統(tǒng)根軌跡、負參數(shù)根軌跡)。參數(shù)根軌跡：系統(tǒng)中變化的不是增益，而是其它參數(shù)變化時的根軌跡。根軌跡簇：多個參數(shù)變化時系統(tǒng)的根軌跡。延遲系統(tǒng)的根軌跡：具有延遲環(huán)節(jié)時系統(tǒng)的根軌跡。廣義根軌跡……第三十頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.3廣義根軌跡1.參數(shù)根軌跡2.多回路系統(tǒng)根軌跡3.正反饋回路的根軌跡首頁第三十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.3.1參數(shù)根軌跡有時需要討論系統(tǒng)中的參數(shù)，如某個微分或積分時間常數(shù)，反饋系數(shù)或校正環(huán)節(jié)參數(shù)的變化對系統(tǒng)閉環(huán)極點的影響。這時，需繪制除開環(huán)增益之外的其它參數(shù)變化時的根軌跡，稱為系統(tǒng)的參變量根軌跡或參數(shù)根軌跡。參數(shù)根軌跡的繪制：利用等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念，應用常規(guī)根軌跡的繪制法則進行繪制。等效的含義是指與原系統(tǒng)具有相同的閉環(huán)極點。而閉環(huán)零點通常則不同，必須由原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)確定。第三十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.3廣義根軌跡1.參數(shù)根軌跡原系統(tǒng)的特征方程為則等效開環(huán)傳遞函數(shù)為將上式整理成如下形式按常規(guī)根軌跡的繪制方法，繪制出α變化時等效系統(tǒng)的根軌跡，也即原系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。一般說，只要所論參數(shù)是線性地出現(xiàn)在閉環(huán)特征方程中，則總能把方程式寫成不含可變參數(shù)的多項式加上可變參數(shù)和另一多項式的乘積，然后將不含參數(shù)的多項式除方程式兩邊即可求等效開環(huán)傳遞函數(shù)。第三十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.3廣義根軌跡1.參數(shù)根軌跡例4.10已知系統(tǒng)結構圖如圖4-12所示，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求Ta由0→∞連續(xù)變化時的閉環(huán)根軌跡。51+TasR(s)C(s)-圖4.12系統(tǒng)結構圖第三十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.3廣義根軌跡1.參數(shù)根軌跡原系統(tǒng)特征方程即可改寫為新系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為式中Ta*

=Ta相當于新系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益。Ta變化時系統(tǒng)的根軌跡如圖所示。第三十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.3廣義根軌跡1.參數(shù)根軌跡圖4.14Ta變化時系統(tǒng)的根軌跡∞←TaTa=0Ta=1.8Ta變化反映了系統(tǒng)開環(huán)零點變化對系統(tǒng)性能的影響。當Ta很小時，一對共軛復數(shù)極點離虛軸很近，系統(tǒng)的階躍響應有強烈的振蕩，平穩(wěn)性很差。第三十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.3廣義根軌跡1.參數(shù)根軌跡

當Ta加大時，兩閉環(huán)極點離虛軸遠，靠近實軸，系統(tǒng)的阻尼加強，振蕩減弱，提高了平穩(wěn)性。

當Ta再加大時，兩閉環(huán)極點變?yōu)閷崝?shù)，系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，階躍響應具有非周期性。圖4.14Ta變化時系統(tǒng)的根軌跡∞←TaTa=0Ta=1.8第三十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.3.2多回路系統(tǒng)根軌跡前面介紹的單回路系統(tǒng)根軌跡的繪制方法，不僅適合單回路，而且也適合多回路系統(tǒng)，其思路和方法是先作內(nèi)環(huán)根軌跡，再用幅值條件試探求出內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點，進而作為外環(huán)的一部分開環(huán)極點，再畫出外環(huán)的根軌跡。第三十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.3廣義根軌跡2.多回路系統(tǒng)根軌跡例4.11已知系統(tǒng)結構圖如圖4.15所示，試繪制該系統(tǒng)關于參數(shù)α的根軌跡。αsR(s)C(s)-圖4.15具有兩個反饋回路的系統(tǒng)-E(s)解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程第三十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.3廣義根軌跡2.多回路系統(tǒng)根軌跡上式可改寫為系統(tǒng)的特征方程若取K1不同的定值，取α為可變參數(shù)，畫出系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡圖如圖所示。由圖可知，在α為有限值的情況下，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。選擇適當?shù)摩林担墒瓜到y(tǒng)具有較好的相對穩(wěn)定性。圖4.16例4.11的根軌跡簇K1=2K1=4∞←αα=0α=0-j1j1第四十頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.3廣義根軌跡2.多回路系統(tǒng)根軌跡內(nèi)環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)為例4.12已知雙環(huán)反饋系統(tǒng)結構圖如圖4.17所示，試繪制以Kc為變量的根軌跡。R(s)C(s)-圖4.17雙回路反饋系統(tǒng)-解(1)作內(nèi)環(huán)根軌跡第四十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.3廣義根軌跡2.多回路系統(tǒng)根軌跡內(nèi)環(huán)根軌跡如圖所示：內(nèi)環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)第四十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.3廣義根軌跡2.多回路系統(tǒng)根軌跡(2)求出K*=1.06時的內(nèi)環(huán)閉環(huán)極點(用試探法)s–2.2–2.3–2.32–2.34–2.36–2.38–2.4K*0.5290.8960.9801.061.161.251.34用試探法求出一個閉環(huán)實極點為s1=–2.34，然后再求一對共軛復數(shù)極點。長除法：解得s2,3=-0.33±j0.58根之和與積：設s2,3=σ±jω根之和：根之積：第四十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.3廣義根軌跡2.多回路系統(tǒng)根軌跡(3)內(nèi)環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)(4)由內(nèi)環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)得到外環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)(5)外環(huán)(系統(tǒng))的根軌跡繪制多回路反饋控制系統(tǒng)的根軌跡的方法是從內(nèi)環(huán)開始，分層繪制，逐步擴展到整個系統(tǒng)。第四十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.3正反饋回路的根軌跡前面介紹的繪制根軌跡的依據(jù)、法則，都適用于負反饋系統(tǒng)。對于正反饋，則需要對這些依據(jù)、法則進行修改。正反饋回路的特征方程幅值條件相角條件(與負反饋系統(tǒng)相同)(0o根軌跡)第四十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.3廣義根軌跡3.正反饋回路的根軌跡法則三：實軸上的根軌跡為所在線段的右側有偶數(shù)個開環(huán)零極點。法則四：根軌跡漸進線的傾角為法則六：根軌跡的出射角與入射角分別為法則七：在分離點處根軌跡各分支之間的夾角仍為180o/l。第四十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.3廣義根軌跡3.正反饋回路的根軌跡例設一反饋系統(tǒng)的內(nèi)回路為正反饋，其內(nèi)環(huán)結構圖如圖所示，試繪制內(nèi)回路的根軌跡。+解兩條根軌跡分支，分別起始于兩個開環(huán)極點-1±j，終止于s平面無窮遠處。因為實軸上無開環(huán)零、極點，所以整條實軸是根軌跡。漸進線傾角漸進線交點第四十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.3廣義根軌跡3.正反饋回路的根軌跡(4)開環(huán)極點-1＋j的出射角(5)分離點由dK*/ds=0，可求出s1=-1。根軌跡圖第四十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.3廣義根軌跡3.正反饋回路的根軌跡例設一非最小相位系統(tǒng)如圖所示，試繪制其根軌跡。-解將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成標準形式根軌跡方程該系統(tǒng)的根軌跡必須按零度根軌跡的繪制法則進行繪制。系統(tǒng)的根軌跡圖如圖所示。第四十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日二重根二重根4.3廣義根軌跡3.正反饋回路的根軌跡第五十頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用1.閉環(huán)零極點的分布對系統(tǒng)性能的影響2.暫態(tài)響應性能分析3.增加開環(huán)零極點對根軌跡形狀的影響首頁第五十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.4.1閉環(huán)零極點的分布對系統(tǒng)性能的影響利用根軌跡得到閉環(huán)零極點在s平面的分布情況，就可以寫出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，進行系統(tǒng)性能分析。下面以系統(tǒng)的單位階躍響應為例，考查閉環(huán)零極點的分布對系統(tǒng)性能影響的一般規(guī)律。第五十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用1.閉環(huán)零極點的分布對系統(tǒng)性能的影響單位階躍響應單位階躍響應其中，A0、Ai取決于系統(tǒng)閉環(huán)零極點的分布。閉環(huán)傳遞函數(shù)第五十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用1.閉環(huán)零極點的分布對系統(tǒng)性能的影響(1)穩(wěn)定性欲使系統(tǒng)穩(wěn)定工作，系統(tǒng)的根軌跡必須位于s平面的左半部。(2)運動形態(tài)設系統(tǒng)不存在閉環(huán)偶極子，閉環(huán)實極點對應的根軌跡位于實軸上，則對應的時間響應一定是單調(diào)的；閉環(huán)復數(shù)極點對應的時間響應是有振蕩的。(3)平穩(wěn)性欲使系統(tǒng)響應平穩(wěn)，系統(tǒng)的閉環(huán)復數(shù)極點的阻尼角應盡可能地小。兼顧系統(tǒng)響應的快速性，閉環(huán)主導極點的阻尼角一般取45o左右。(4)快速性欲使系統(tǒng)具有好的響應快速性，閉環(huán)極點應遠離虛軸，或用閉環(huán)零點與虛軸附近的閉環(huán)極點構成閉環(huán)偶極子。第五十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.4.2暫態(tài)響應性能分析閉環(huán)系統(tǒng)暫態(tài)響應的性能由閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點確定，而閉環(huán)系統(tǒng)的零極點可由根軌跡法確定。當系統(tǒng)存在一對主導極點時，可以用低階系統(tǒng)來近似估算高階系統(tǒng)的暫態(tài)性能。第五十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用2.暫態(tài)響應性能分析例4.15已知某天線伺服系統(tǒng)結構圖如圖4.25所示，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能。θi(t)θo(t)-圖4.25伺服系統(tǒng)方框圖KeKfGm(s)n誤差檢測裝置放大器伺服電機齒輪裝置θe(t)第五十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用2.暫態(tài)響應性能分析(1)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解作根軌跡圖如圖所示。-3.050-j2-j4-j6-j8j2j4j6j8jωσs12s11s21s22β(2)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標當Kf=80時，由根軌跡圖可得系統(tǒng)閉環(huán)極點。設s11=-1.53+jωdω8.08.28.348.358.368.388.4K*66.369.671.972.072.272.672.9利用幅值條件，通過試探法求得閉環(huán)極點為s11=-1.53+j8.35s12=-1.53-j8.35第五十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用2.暫態(tài)響應性能分析s11=-1.53+j8.35s12=-1.53-j8.35計算出性能指標為-3.050-j2-j4-j6-j8j2j4j6j8jωσs12s11s21s22β第五十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用2.暫態(tài)響應性能分析-3.050-j2-j4-j6-j8j2j4j6j8jωσs12s11s21s22β要求阻尼比ζ=0.32，試求放大器增益與性能指標。第五十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日sys3=tf([1],[15860]);rlocus(sys3)4.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用2.暫態(tài)響應性能分析例設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的根軌跡，并分析K*=4時系統(tǒng)的性能。解(1)作根軌跡圖如圖所示。(2)根據(jù)幅值條件確定系統(tǒng)的零極點分布。第六十頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用2.暫態(tài)響應性能分析根據(jù)根軌跡的一些特殊點(如分離點、與虛軸交點)確定試探范圍。s-1.8-1.9-2.0-2.1-2.2-2.3-2.4-2.5-2.6-2.7K*3.543.784.004.184.294.334.264.063.703.15當K*=4時，用試探法求得：s1=-2s2=-2.52當K*=4時，系統(tǒng)有兩個閉環(huán)極點為負實數(shù)，而另兩個則為共軛復數(shù)。0-3-2.3(K*=4.35)第六十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用2.暫態(tài)響應性能分析特征多項式為用長除法得由s2+0.48s+0.79=0解得另兩個閉環(huán)復數(shù)極點為：S3,4=-0.24±j0.86(3)分析系統(tǒng)性能暫態(tài)性能s1和s2的實部分別為復數(shù)極點實部的8.3倍和10.5倍，則系統(tǒng)可簡化為由主導極點S3,4所決定的二階系統(tǒng)。第六十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用2.暫態(tài)響應性能分析開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為(傳遞系數(shù)不變)第六十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用2.暫態(tài)響應性能分析式中：ωn=0.89rad/s，ζ=0.27。系統(tǒng)的單位階躍響應為：超調(diào)量峰值時間調(diào)節(jié)時間第六十四頁，共七十二頁，2022年