第四章 橢球數(shù)學(xué)投影變換節(jié)

第四章橢球數(shù)學(xué)投影變換節(jié)*FundationofGeodesy1第一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy21.以大地線在大地坐標(biāo)系中的微分方程為基礎(chǔ)，直接在地球橢球面上進(jìn)行積分運(yùn)算。主要特點(diǎn)：解算精度與距離有關(guān)，距離越長(zhǎng)，收斂越慢，因此只適用于較短的距離典型解法：高斯平均引數(shù)法

第二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy32.以白塞爾大地投影為基礎(chǔ)1)按橢球面上的已知值計(jì)算球面相應(yīng)值，即實(shí)現(xiàn)橢球面向球面的過(guò)渡；2)在球面上解算大地問(wèn)題；3)按球面上得到的數(shù)值計(jì)算橢球面上的相應(yīng)數(shù)值，即實(shí)現(xiàn)從圓球向橢球的過(guò)渡。典型解法：白塞爾大地主題解算

特點(diǎn)：解算精度與距離長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，它既適用于短距離解算，也適用于長(zhǎng)距離解算?？蛇m應(yīng)20000km或更長(zhǎng)的距離，這對(duì)于國(guó)際聯(lián)測(cè)，精密導(dǎo)航，遠(yuǎn)程導(dǎo)彈發(fā)射等都具有重要意義。

第三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy44.7.2勒讓德級(jí)數(shù)式

為了計(jì)算的級(jí)數(shù)展開(kāi)式，關(guān)鍵問(wèn)題是推求各階導(dǎo)數(shù)。第四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy5第五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy6一階導(dǎo)數(shù)：二階導(dǎo)數(shù)：第六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy7三階導(dǎo)數(shù)第七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy8第八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy9第九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy10第十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy114.7.3高斯平均引數(shù)正算公式

高斯平均引數(shù)正算公式推導(dǎo)的基本思想：

首先把勒讓德級(jí)數(shù)在P１點(diǎn)展開(kāi)改在大地線長(zhǎng)度中點(diǎn)M展開(kāi)，以使級(jí)數(shù)公式項(xiàng)數(shù)減少，收斂快，精度高；其次，考慮到求定中點(diǎn)M的復(fù)雜性，將M點(diǎn)用大地線兩端點(diǎn)平均緯度及平均方位角相對(duì)應(yīng)的m點(diǎn)來(lái)代替，并借助迭代計(jì)算便可順利地實(shí)現(xiàn)大地主題正解。

第十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy12(1)建立級(jí)數(shù)展開(kāi)式:

第十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy13同理可得:

(2)第十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy14第十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日(3)由大地線微分方程依次求偏導(dǎo)數(shù):第十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy16第十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy17第十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy18同理可得：第十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy19

注意：從公式可知，欲求ΔＬ，ΔＢ及ΔＡ，必先有Ｂｍ及Ａｍ。但由于Ｂ2和Ａ21未知，故精確值尚不知，為此須用逐次趨近的迭代方法進(jìn)行公式的計(jì)算。除此之外，此方法適合與200公里以下的大地問(wèn)題解算，其計(jì)算經(jīng)緯計(jì)算精度可達(dá)到0.0001”,方位角計(jì)算精度可達(dá)到0.001”。第十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy204.7.4高斯平均引數(shù)反算公式

高斯平均引數(shù)反算公式可以依正算公式導(dǎo)出:上述兩式的主式為:第二十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy21第二十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy22已知：求得：第二十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy23計(jì)算范例第二十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy24第二十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy25第二十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy264.7.5白塞爾大地主題解算方法

白塞爾法解算大地主題的基本思想:

以輔助球面為基礎(chǔ),將橢球面三角形轉(zhuǎn)換為輔助球面的相應(yīng)三角形,由三角形對(duì)應(yīng)元素關(guān)系,將橢球面上的大地元素按照白塞爾投影條件投影到輔助球面上，然后在球面上進(jìn)行大地主題解算，最后再將球面上的計(jì)算結(jié)果換算到橢球面上。

這種方法的關(guān)鍵問(wèn)題是找出橢球面上的大地元素與球面上相應(yīng)元素之間的關(guān)系式,同時(shí)也要解決在球面上進(jìn)行大地主題解算的方法。

第二十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy27在球面上進(jìn)行大地主題解算

球面上大地主題正算:已知求解

球面上大地主題反算:

已知

求解第二十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy28球面三角元素間的相互關(guān)系第二十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy29

球面上大地主題正解第二十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy30

球面上大地主題反解方法

第三十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy312

橢球面和球面上坐標(biāo)關(guān)系式第三十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy32在橢球面上與單位球面上的大地線微分方程為:第三十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy33白塞爾提出如下三個(gè)投影條件：1.橢球面大地線投影到球面上為大圓弧2.大地線和大圓弧上相應(yīng)點(diǎn)的方位角相等；

3.球面上任意一點(diǎn)緯度等于橢球面上相應(yīng)點(diǎn)的歸化緯度。

第三十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy34第三十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy35

以上為白塞爾微分方程.第三十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy363白塞爾微分方程的積分第三十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy37第三十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy38積分得到下式：第三十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日適合于反算:適合于正算:迭代法:

直接法:第三十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy40適合于反算:適合于正算:迭代法:直接法:第四十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy41第四十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy42將三角函數(shù)冪級(jí)數(shù)用倍角函數(shù)代替，合并同類(lèi)項(xiàng)，積分。截去4倍角項(xiàng)，其值小于0.0001秒。第四十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy43正算：反算：第四十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy444白塞爾法大地主題正算步驟

1.計(jì)算起點(diǎn)的歸化緯度2.計(jì)算輔助函數(shù)值解球面三角形可得:3.按公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)A,B,C以及α,β

第四十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy454.計(jì)算球面長(zhǎng)度

迭代法:

直接法:第四十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy465.計(jì)算經(jīng)度差改正數(shù)6.計(jì)算終點(diǎn)大地坐標(biāo)及大地方位角

第四十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy47第四十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日*FundationofGeodesy485白塞爾法大地主題反算步驟

1.輔助計(jì)算第四十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8