第八九章方差分析

第八九章方差分析第一頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日第一節(jié)單因素方差分析(one-factoranalysisofvariance)一、一般概念及兩種不同的處理效應(yīng)

方差分析是一類特定情況下的統(tǒng)計假設(shè)檢驗，或者說是平均數(shù)差異顯著性檢驗的一種引伸。t

檢驗可以判斷兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)的差異的顯著性，

而方差分析則可以同時判斷多組數(shù)據(jù)平均數(shù)之間的差異的顯著性。當(dāng)然，在多組數(shù)據(jù)的平均數(shù)之間做比較時，可以在平均數(shù)的所有對之間做

t檢驗。但這樣做會提高犯Ⅰ型錯誤的概率，因而是不可取的。

第二頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

例如，我們打算用一對一對地比較的方法檢驗5個平均數(shù)之間的相等性，共需檢驗C25＝10對。假設(shè)每一對檢驗接受零假設(shè)的概率都是1－α＝0.95，而且這些檢驗都是獨立的，那么10對都接受的概率是(0.95)10＝0.60。α′＝1－0.60＝0.40，犯Ⅰ型錯誤的概率明顯增加。用方差分析的方法做檢驗可以防止上述問題的出現(xiàn)。方差分析的內(nèi)容很廣泛，上面講到的那種情況是方差分析中最簡單的情況，稱為單因素方差分析或者稱為一種方式分組的方差分析(one-wayclassificationanalysisofvariance)。第三頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

例2.1調(diào)查了5個不同小麥品系的株高，結(jié)果列于表2－1。在這個例子中，只出現(xiàn)“品系”這樣一個因素(factor)，故稱單因素。共有5個不同的品系，我們稱品系這一因素共有5個水平(level)。5個品系可以認(rèn)為是5個總體，表2－4的數(shù)據(jù)是從5個總體中抽出的5個樣本，通過比較這5個樣本，判斷這5個總體是否存在差異。表2－15個小麥品系株高調(diào)查結(jié)果株號株高ⅠⅡⅢⅣⅤ12345

和64.665.364.866.065.8326.564.565.364.663.763.9322.076.866.367.166.868.5336.571.872.170.069.171.0354.069.268.269.868.367.5343.0平均數(shù)65.364.467.370.868.6第四頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

例2.2

為了探討不同窩的動物的出生重是否存在差異，隨機選取4窩動物，每窩中均有4只幼仔，結(jié)果如下：表2－24窩動物的出生重（克）動物號窩別ⅠⅡⅢⅣ1234和34.733.326.231.6125.833.226.028.632.3120.127.123.327.826.7104.932.931.425.728.0118.0平均數(shù)31.45030.02526.22529.500通過對以上數(shù)據(jù)的分析，判斷不同窩別動物出生重是否存在差異。第五頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

以上兩個例子的共同點是：每個實驗都只有一個因素，該因素有a個水平或稱為有a個處理(treatment)，這樣的實驗稱為單因素實驗。從單因素實驗的每一處理所得到的結(jié)果都是一隨機變量Xi。對于a個處理，各重復(fù)n次（或者說做n次觀察）的單因素方差分析的一般化表示方法見表2－3。表2－3單因素方差分析的典型數(shù)據(jù)X1X2X3……Xi……Xa

123：j∶nx11

x12x13：x1j：x1nx21

x22x23：x2j：x2nx31xi1xa1x32xi2xa2x33xi3xa3：：：x3jxijxaj：：：x3nxinxan平均數(shù)x1·x2·x3·xi·xa·第六頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

表中的數(shù)據(jù)xij，表示第i

次處理下的第j次觀察值。其中的n個符號做如下說明：用“·”表示下標(biāo)的和，使用時很方便，在以后會經(jīng)常遇到。第七頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日單因素方差分析的基本原理核心思想第八頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日單因素方差分析的基本原理

單因素方差分析是研究一個因素的變化對試驗指標(biāo)的影響是否顯著的統(tǒng)計分析方法。設(shè)因素A有r個水平在水平下進(jìn)行次獨立試驗，試驗記錄如表9-2

表9-2獨立試驗記錄表

樣本水平第九頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

其中表示第i水平進(jìn)行第j次試驗的可能結(jié)果。假設(shè)，，。待檢假設(shè)為：不全相等。如果成立，那么r個總體間無顯著差異，即是說因素A對試驗結(jié)果的影響不顯著，所有可視為來自同一個總體,各間的差異只是由隨機因素引起的。若不成立，則在所有的總變差中，除隨機波動引起的變差外，還應(yīng)包括由于因素A的不同水平作用產(chǎn)生的差異。如果不同水平作用產(chǎn)生的差異比隨機因素引起的差異大得多，就認(rèn)為因素A對試驗結(jié)果有顯著影響，否則就認(rèn)為因素A對試驗的影響不顯著。為此可在總變差中先將這兩種差異分開，然后進(jìn)行比較。第十頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日記

(9-1)稱為第i組的樣本均值，為樣本總均值。再記

(9-2)

稱為總離差平方和。我們將分解如下：

(9-3)其中，

(9-4)第十一頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

是組間平方和，反映了不同水平作用產(chǎn)生的差異大?。皇墙M內(nèi)平方和，反映的是水平內(nèi)部，或組內(nèi)觀測值的離散狀況，它實質(zhì)上是隨機因素帶來的影響。在成立的條件下，由抽樣分布定理，我們可以得到：

(9-5)

且與獨立第十二頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

若組間差異比組內(nèi)差異大得多，則說明因素的不同水平間有顯著差異，應(yīng)拒絕。否則，說明因素各水平之間的差異不顯著，可接受。為此，選取統(tǒng)計量

(9-6)

當(dāng)為真時，由F分布的定義知，統(tǒng)計量

(9-7)

如果因素A的各水平對總體的影響由顯著差異，那么相對較大，因而F也較大。由此可見，對于給定的顯著性水平，拒絕域為

(9-8)第十三頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

計算結(jié)果列成表，稱為方差分析表（見表9－3）。表9-3單因素方差分析表方差來源平方和自由度F值F的臨界值組間r-1組內(nèi)n-r總和n-1第十四頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

常用如下的所謂線性統(tǒng)計模型(linearstatisticalmodel)描述每一個觀察值：其中：xij是在第i

水平（處理）下的第

j

次觀察值。μ是對所有觀察值的一個參量，稱為總平均數(shù)(overallmean)。αi是僅限于對第

i

次處理的一個參量，稱為第i次處理效應(yīng)(treatmenteffect)。方差分析的目的，就是要檢驗處理效應(yīng)的大小或有無。eij是隨機誤差成份。第十五頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

上述模型中，包括兩類不同的處理效應(yīng)。第一類處理效應(yīng)稱為固定效應(yīng)(fixedeffect)，它是由固定因素(fixedfactor)所引起的效應(yīng)。若因素的a個水平是經(jīng)過特意選擇的，則該因素稱為固定因素。例如，幾個不同的實驗溫度，幾個不同的化學(xué)藥物或一種藥物的幾種不同濃度，幾個作物品種以及幾個不同的治療方案和治療效果等。第十六頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

在這些情況中，因素的水平是特意選擇的，所檢驗的是關(guān)于ai的假設(shè)，得到的結(jié)論只適合與方差分析中所考慮的那幾個水平，并不能將其結(jié)論擴展到未加考慮的其它類似水平上。所以上述的那些因素：溫度、藥物、品種等，稱為固定因素。處理這樣的因素所用的模型稱為固定效應(yīng)模型（fixedeffectmodel）。例2.1中的5個小麥品系是特意選擇的，目的是從這5個品系中，選出最優(yōu)者，因而“品系”這個因素屬于固定因素，所用的模型是固定效應(yīng)模型。第十七頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

第二類處理效應(yīng)稱為隨機效應(yīng)（ran-domeffect），它是由隨機因素（randomfactor）所引起的效應(yīng)。若因素的a個水平，是從該因素全部水平的總體中隨機抽出的樣本，則該因素稱為隨機因素。從隨機因素的a個水平所得到的結(jié)論，可以推廣到這個因素的所有水平上。處理隨機因素所用的模型稱為隨機效應(yīng)模型（randomeffectmo-del）。例2.2的動物窩別，是從動物所有可能的窩別中隨機選出來的，實驗的目的是考查在窩別之間，出生重是否存在差異，因而“窩別”是隨機因素。

第十八頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日有時固定因素和隨機因素很難區(qū)分，除上述所講的原則外，還可以從另一角度鑒別。固定因素是指因素水平，可以嚴(yán)格地人為控制。在水平固定之后，它的效應(yīng)值也是固定的。例如，研究三種溫度對胰蛋白酶水解產(chǎn)物的影響。因為溫度水平是可以嚴(yán)格控制的，即每一溫度水平，在各個重復(fù)之間都可以準(zhǔn)確地控制在一個固定值上，所以在重復(fù)該實驗時，水解產(chǎn)物的產(chǎn)量也是固定的。簡單地說，在水平（不同溫度）固定以后，其效應(yīng)值（產(chǎn)量）也是固定的。因此，溫度是固定因素。

第十九頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

隨機因素的水平是不能嚴(yán)格地人為控制的，在水平確定之后，它的效應(yīng)值并不固定。例如，在研究不同農(nóng)家肥施用量對作物產(chǎn)量的影響試驗中，農(nóng)家肥是因素，不同施用量是該因素的不同水平，作物的產(chǎn)量是它的效應(yīng)值。由于農(nóng)家肥的有效成份很復(fù)雜，不能像控制溫度那樣，將農(nóng)家肥的有效成份嚴(yán)格地控制在某一個固定值上。在重復(fù)試驗時即使施以相同數(shù)量的肥料，也得不到一個固定的效應(yīng)值。即在因素的水平（施肥量）固定之后，它的效應(yīng)值（產(chǎn)量）并不固定，因而農(nóng)家肥是一隨機因素。

第二十頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日二、固定效應(yīng)模型在固定效應(yīng)模型中，ai是處理平均數(shù)與總平均數(shù)的離差，且是個常量，因而

要檢驗a個處理效應(yīng)的相等性，就要ai判斷各是否等于0。若各ai都等于0，則各處理效應(yīng)之間無差異。因此，零假設(shè)為：備擇假設(shè)為：HA：ai≠0（至少有1個i）。若接受H0，則不存在處理效應(yīng)，每個觀察值都是由平均數(shù)加上隨機誤差所構(gòu)成。若拒絕H0，則存在處理效應(yīng)，每個觀察值是由總平均數(shù)、處理效應(yīng)和誤差三部分構(gòu)成。第二十一頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

方差分析的基本思想，就是將總的變差分解為構(gòu)成總變差的各個部分。對單因素實驗，可以將總平方和（totalsumofsqua-res）做如下分解：

對于每個固定的xi·，第二十二頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日因此，

（2·3）式表示度量全部數(shù)據(jù)變差的總平方和，可以分解為處理平均數(shù)與總平均數(shù)之間離差的平方和，處理內(nèi)部觀察值與處理平均數(shù)之間離差的平方和兩部分。處理平均數(shù)與總平均數(shù)之間的離差，度量了處理之間的差異；而處理內(nèi)部觀察值與處理平均數(shù)之間的離差，度量了隨機誤差的大小。第二十三頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日用SST表示總平方和，

用SSA表示（2·3）等號右邊第一項，稱為處理平方和（treatmentssumofsquares）或稱為處理間平方和（sumofsquaresbetweentreatments）。第二十四頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

用SSe表示（2·3）等號右邊第二項，稱為誤差平方和（errorsumofsquares）或稱為處理內(nèi)平方和（sumofsquareswithintreatments）。因此：

自由度可以做同樣的分割：SST具an－1自由度dfT＝an－1；A因素工有a水平，因而SSA有a－1自由度dfA＝a－1；SSe有an－a自由度，這是因為每一處理均有n－1自由度，共有a個處理，因而SSe的自由度為an－a，dfe＝an－a。為了估計s2，用SSe除以相應(yīng)的自由度第二十五頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日MSe稱為誤差均方（errormeansquare）。用類似的方法，可以求出處理均方MSA（treatmentsmeansquare）

用MSA與MSe比較，就可以反映出ai的大小。若MSA與MSe相差不大，就可以認(rèn)為各ai與0的差異不大，或者說各mi之間差異不大。若MSA與MSe超出很多，則認(rèn)為各mi之間差異是顯著的。為此，用F單側(cè)檢驗，具dfA，dfe自由度。第二十六頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

當(dāng)F＜Fa時，則可以認(rèn)為MSA與MSe差異不大，產(chǎn)生的變差是由隨機誤差造成的；接受零假設(shè)，處理平均數(shù)之間差異不顯著。當(dāng)F＞Fa時，拒絕零假設(shè)，處理平均數(shù)間差異顯著。以上所述可以歸納成方差分析表（tableofvarianceanalysis），見表2－4。表2－4單因素固定效應(yīng)模型方差分析表

變差來源平方和自由度均方F處理間誤差或處理內(nèi)SSASSe

a－1na－aMSAMSeMSA／MSe

總和SSTna－1第二十七頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日其中的（x2··／na）通常稱為校正項（correc-tion），用C表示。

在實際計算時，通常將SST和SSA寫成下列形式：第二十八頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日誤差平方和可由（2·13）式求出，

現(xiàn)在用以上各式計算例2.1。在方差分析中，為了簡化計算同樣可以用編碼法。方差分析的編碼，必須將全部數(shù)據(jù)均減去同一個共同的數(shù)。在例2.1中，每一個xij都減去65，列成下表，先計算校正項C再計算第二十九頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日株號品系ⅠⅡⅢⅣⅤ12345―0.40.3―0.21.00.8－0.50.3―0.4－1.3－1.12.81.32.11.83.56.87.15.04.16.04.23.24.83.32.5總和xi·x2i·∑x２ij1.52.251.93－3.09.003.411.5132.2529.4329.0841.0174.4618.0324.068.06571308.50277.28第三十頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日將以上結(jié)果列成方差分析表(見表2－5)：表2－5

不同小麥品系株高方差分析表

變差來源平方和自由度均方

F品系間誤差131.7415.5842032.720.7841.95**總和147.3224**a＝0.01當(dāng)分子自由度為4，分母自由度為20時，F(xiàn)4，20，0.05＝2.87，F(xiàn)4，20，0.01＝4.43，F(xiàn)＞F0.01。因此，不同小麥品系的株高差異極顯著。習(xí)慣上用“*”表示在α＝0.05水平上差異顯著，用“**”表示在α＝0.01水平上差異顯著，常常稱為差異“極顯著”（highlysignificant）。第三十一頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日三、隨機效應(yīng)模型在實驗中，經(jīng)常回遇到某個因素有許多可能的水平，若參加實驗的a個水平，是從該因素的水平總體中隨機選出的，那么這一因素稱為隨機因素。其方差分析是通過隨機選取的a個水平對該因素的水平總體做推斷。要求水平的總體是無暇總體，即使不是無限總體，也應(yīng)相當(dāng)大，以至于可以認(rèn)為是無限總體。例2.2中動物的“窩”是隨機因素，每一窩是一個水平，這種動物所有的窩構(gòu)成一水平總體。從該總體中隨機選擇4個水平（4窩）做實驗，實驗的目的是希望由這4窩動物去推斷該種動物所有不同的窩別之間幼仔出生重是否存在差異。第三十二頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

固定效應(yīng)模型中∑ai＝0的假設(shè)在這里不再適用。在隨機模型中，對單個處理效應(yīng)的檢驗是無意義的，所要檢驗的是關(guān)于ai的變異性的假設(shè)，因而，

H0：sa2＝0

HA：sa2＞0

如果接受H0：sa2＝0，則表示處理之間沒有差異；若拒絕H0而接受HA：sa2＞0，則表示處理之間存在差異，方差分析的做法仍然是將總平方和分解，

第三十三頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日自由度做同樣分解,由此可得出MSA和MSe。然后用F單側(cè)檢驗（具dfA，dfe

自由度），方差分析的程序與固定效應(yīng)模型的方差分析程序完全一樣，但是結(jié)論不同。隨機效應(yīng)模型適用于全部水平的總體，而固定效應(yīng)模型只適用于所選水平的總體。下面計算例2.2，并對結(jié)果加以解釋。將表2－2中的每一個數(shù)值都減去30，列成下表，第三十四頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日4.73.2－2.92.93.3－4.0－6.71.4

－3.8－1.4－2.2－4.31.62.3－3.3－2.0總和

c

i·5.800.10－15.10－2.00

c

2i·

33.640.01228.014.00

∑c2ij

49.9833.4969.0332.86－11.20265.66185.36第三十五頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日將上述結(jié)果列成方差分析表：表2－6動物出生重方差分析變差來源平方和自由度均方F

窩別誤差58.575118.94531219.5259.9121.97總和177.5215查表得知，F(xiàn)3，12，0.05＝3.49，因F＜F0.05，所以差異不顯著。通過對4窩動物出生重的調(diào)查，可以推斷不同窩別動物的出生重沒有顯著差異。第三十六頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日四、多重比較（multiplecomparison）假設(shè)對一個固定效應(yīng)模型經(jīng)過方差分析之后，結(jié)論是拒絕H0，處理之間存在差異。但這并不說在每對處理之間都存在差異。為了弄清究竟在哪些對之間存在顯著差異，哪些對之間無顯著差異，必須在個處理平均數(shù)之間一對一對地做比較，這就是多重比較。多重比較的方法很多，這里只介紹LSD法和Duncan法。

LSD稱為最小顯著差數(shù)（leastsignificantdifference），它的計算方法簡述如下。第三十七頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

對于任意兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，差數(shù)（x1－x2）的差異顯著性檢驗，可以用成組數(shù)據(jù)t檢驗，當(dāng)n1＝n2時第三十八頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

其中MSe為誤差均方，n為每一處理的觀察次數(shù)，于是具an－a自由度，當(dāng)t＞t0.05時差異顯著，當(dāng)t＞t0.01時差異極顯著。因此，當(dāng)差異顯著時第三十九頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日并可得到，當(dāng)時差異顯著。t0.05√2MSe／n

稱為最小顯著差數(shù)，記為LSD。每一對平均數(shù)的差與LSD比較，當(dāng)│x1－x2│＞LSD時，差異顯著；否則差異不顯著。LSD是一種很有用的檢驗方法，計算起來很方便，也容易比較。但是它有難以克服的缺點，即這種比較方法將會加大Ⅰ型錯誤的概率。第四十頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

為了克服上述缺點，Duncan（1955）提出了Duncan多范圍檢驗（Duncanmultipletest）。檢驗方法如下：首先，將需要比較的a個平均數(shù)依次排列好，使之并將每一對

x

之間的差（范圍）列成下表

aa－1…321x1－xa

x1－xa－1…x1－x3

x1－x22x2－xa

x2－xa－1…x2－x3

∶a－2xa－2－xa

xa－2－xa－1a－1xa－1－xa注：表中的x均為x

第四十一頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日Duncan檢驗與LSD的一個明顯不同是Duncan檢驗中，不同對平均數(shù)的差有不同的臨界值Rk

。其中第四十二頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

ra＝ra（k

，df）的值可以從附表“多重比較中的Duncan表”中查出：表的最左邊一列是誤差自由度df

＝a（n－1），最上一列為k值，表體為ra

(k,df)。表中的

k

值是相比較的兩個平均數(shù)之間所包含的平均數(shù)的個數(shù)。如兩個要比較的平均數(shù)相鄰時k＝2，兩個要比較的平均數(shù)中間隔一個平均數(shù)時k＝3，依此類椎。因為平均數(shù)共有a個，所以需查出a一1個ra

，分別乘以S，得：第四十三頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日先從表的第一行最左邊的一個差x1－xa開始比較。若x1－xa＞Ra，則x1與xa的差異顯著；否則差異不顯著，然后比較下一個。若x1－xa－1＞Ra一1，則x1與xa－1差異顯著，否則差異不顯著，···。第一行比較完之后用同樣的方法比較第二行。先從第二行最左邊的一個差x2－xa開始，在x2到xa這個范圍內(nèi)共包含a－1個平均數(shù)，因此x2－xa應(yīng)與Ra－1比較，若x2－xa＞Ra－1，則差異顯著，否則不顯著，···。第二行比較完再比較第三行，第四行，···。直到所有平均數(shù)的差均與其相應(yīng)的Rk比較完為止。對于顯著的標(biāo)上“*”，極顯著的標(biāo)上“**”。第四十四頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

下面比較例2.1中各平均數(shù)的差數(shù)。首先將各平均數(shù)按次序排列好。

品系號

ⅣVIIIIII

平均數(shù)

70.868.667.365.364.4

順序號12345

再列成下表54321x1－x5＝6.4**x1－x4＝5.5**x1－x3＝3.5**x1－x2＝2.2**2x2－x5＝4.2**x2－x4＝3.3**x2－x3＝1.3*3x3－x5＝2.9**x3－x4＝2.0**4x4－x5＝0.9注：表中的x應(yīng)是x第四十五頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

臨界值也列成表格。表2－5已給出，誤差均方MSe＝0.78，n＝5，于是，對于k＝2，3，4，5，df＝a（n一1）＝5（5－1）＝20，分別求出r

0.05

和r

0.01的Rk值并列成表：dfk

r0.05

Rkr0.01

Rk2023452.951.1653.101.2253.181.2563.251.2844.021.5884.221.6674.331.7104.401.738第四十六頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

首先用α＝0.05水平做檢驗。x1－x5與R5

，比較x1－x5＝6.4＞R5＝1.28，因此x1與x5差異是顯著的，在6.4上打一個“*”。x1－x４＞R４，在5.5上打一個“*”，…第一行全部是顯著的。然后比較第二行。x2－x5＝4.2＞R4＝1.256，…，第二行也都是顯著的。第三行的兩對也都是顯著的。只x4與x5的差不顯著。對于顯著的差數(shù)再以α＝0.01的水平做檢驗。除x2－x3之外，全都達(dá)到極其顯著，對于極其顯著的標(biāo)上兩個“*”。以上全部工作完成之后，便可一眼看出兩兩平均數(shù)之間的差異的顯著程度。第四十七頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日五、方差分析應(yīng)具備的條件

1可加性：每個處理效應(yīng)與誤差效應(yīng)是可加的，xij＝＋αi＋εij。μ為總體平均數(shù)，αi為第i

處理效應(yīng)，εij

為誤差效應(yīng)。由于有這一假定，不同的效應(yīng)才能被分解，才能最終判斷處理效應(yīng)是否比誤差筍應(yīng)更顯著。

2正態(tài)性：實驗誤差應(yīng)當(dāng)是服從正態(tài)分布N（0，σ2）的獨立隨機變量。若實驗誤差之間可能存在某些關(guān)聯(lián)時，可以采用隨機化的方法破壞。第四十八頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日3方差齊性：各處理的誤差方差應(yīng)具備齊性，它們有一個公共的總體方差σ2，或者說各處理的總體方差必須一致。一般來說，在方差分析之前，應(yīng)先做方差齊性檢驗。對于生物學(xué)數(shù)據(jù)來說，大多數(shù)都能滿足以上要求，有時也可能不能滿足的。所以，在方差分析前，應(yīng)先做方差齊性檢驗。如果有些條件不能滿足，就需要對數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)淖儞Q后再分析。數(shù)據(jù)變換將在第四節(jié)中講述。第四十九頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日六、多個方差齊性的檢驗（testforhomogeneityofseveralvariances）方差分析的一個重要條件，就是各處理組的總體方差必須一致。因此在做方差分析之前，首先要對以下假設(shè)做檢驗。

H0：s21＝s22＝···＝s2a

HA：至少有兩個s2i不相等對于多個方差的齊性做檢驗，用得最廣泛的是Bartlett檢驗法。Bartlett檢驗法的基本原理是：當(dāng)a個隨機樣本是從獨立正態(tài)總體中抽取時，可以計算出統(tǒng)計量K2。當(dāng)n＝minni充分大時（n＞3），K2的抽樣分布非常接近于a一1自由度的χ2分布。檢驗的統(tǒng)計量：

第五十頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日其中第五十一頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

S2i（i＝1，2，···，a）是第i個總體的樣本方差，N是所有測定值的個體數(shù)目，a是樣本數(shù)目，ni是第i個樣本的重復(fù)次數(shù)。當(dāng)樣本方差S2i變異很大時，q值也很大；當(dāng)S2i相等時，q值等于0。因此，當(dāng)K2值相當(dāng)大，以至于

K2＞χ2a一1，a時，拒絕H0，接受HA，方差不具有齊性；

K2＜χ2a一1，a時，接受H0，拒絕HA，方差具有齊性。已經(jīng)證明，當(dāng)滿足正態(tài)性的假設(shè)時，Bartlett檢驗是很敏感的。在正態(tài)性假設(shè)不能滿足時，不能使用Bartlett檢驗。第五十二頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

下面用Bartlett檢驗法，檢驗例2.1中幾個方差的齊性。先計算每個處理的方差（S2i），得：c24,0.05＝9.49,K2＜c20.05。結(jié)論是不能拒絕H0，因而方差具有齊性。第五十三頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

當(dāng)各處理樣本含量相同時，（2.19）式可簡化為經(jīng)Bartlett檢驗發(fā)現(xiàn)各處理組之間的方差不具齊性時需經(jīng)適當(dāng)變換，使之滿足方差齊性這一條件，然后再做方差分析。具體變換方法將在后面介紹。第五十四頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日第二節(jié)兩因素的方差分析（two-factorsanalysisofvariance）或兩種方式分組的方差分析（two-wayclassificationanalysisofvariance）

一、模型的類型及交互作用的概念在實際工作中，經(jīng)常會遇到兩種或兩種以上的因素，共同影響實驗結(jié)果的情況。例如，一組病人同時服用兩種藥物，每一種藥物又有不同的劑量（水平），如A藥物有5個水平，B藥物有3個水，共有5×3＝15個劑量水平。需要15名病人參加實驗，每人接受一種水平組合，象這樣的分組方式稱為交叉（cross）分組。第五十五頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

上面講過，因素可分作固定因素和隨機因素。在兩因素實驗中，當(dāng)兩個因素都是固定因素時，稱為固定模型（fixedmodel）；兩個因素均為隨機因素時，稱為隨機模型（randommodel）；一個因素是固定因素，另一個因素是隨機因素時，稱為混合模型（mixedmodel）。這三種模型雖然在計算方法上沒有多大不同，但在檢驗以及對結(jié)果解釋上卻截然不同。尤其是在兩因素之間存在交互作用時，不同類型模型的區(qū)別就更明顯。為了下面敘述方便，介紹主效應(yīng)與交互作用兩個基本概念。第五十六頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

由于因素水平的改變而造成因素效應(yīng)的改變，稱為該因素的主效應(yīng)（maineffect）。例如有下面一組實驗，A因素有兩個水平，A1和A2

；B因素也有兩個水平，B1和B2

。當(dāng)A因素從第一個水平變化到第二個水平時，A因素的主效應(yīng)為A2水平的平均效應(yīng)減去A1水平的平均效應(yīng)。

A1A2

B1B218243844第五十七頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日同樣，B因素的主效應(yīng)：若A、B之間不存在交互作用，則有時會發(fā)現(xiàn)，某一因素在另一因素的不同水平上所產(chǎn)生的效應(yīng)不同。例如：A1A2

B1B218283022第五十八頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日A（在B1水平上）＝A2B１－A1B1＝28－18＝10A（在B2水平上）＝A2B2－A1B2＝22－30＝－8

可以明顯看出：A的效應(yīng)依B的水平而不同。這時我們說：在A和B因素見存在交互作用。交互作用的大小可用來估計。上例的A、B間的交互作用：AB＝18＋22―30―28＝—18。有時交互作用相當(dāng)大，因素的主效應(yīng)相對來說變得相當(dāng)小。在上面例子中，A因素的主效應(yīng)：A＝（28＋22）／2－（18＋30）／2＝1，與交互作用的絕對值18相比已經(jīng)相當(dāng)小，這時可認(rèn)為不存在主效應(yīng)。第五十九頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日當(dāng)因素間存在交互作用時，對因素間交互作用的了解比只了解因素的主效應(yīng)重要得多。因此，在兩因素方差分析中，分解出因素的交互作用十分必要。兩因素間是否存在交互作用，有專門的統(tǒng)計判斷方法，一般情況下，可以根據(jù)專業(yè)知識判斷。另外，做圖法也能提供一些幫助。將上面兩表的數(shù)據(jù)，可以做以下兩圖（圖2－1）。第六十頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日B2B1A1A2B1B2A1A2a.不存在交互作用b.存在交互作用圖2—1因素間交互作用的圖示第六十一頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

當(dāng)A、B之間不存在交互作用時，從B1變化到B2是不依A水平的不同而變化，所以B1－B1，B2－B2兩線平行。當(dāng)存在交互作用時，Ａ的效應(yīng)依Ｂ的水平而不同，所以B1－B1，B2－B2兩線不平行。直觀圖可以幫助判斷因素之間是否存在交互作用，但在處理數(shù)據(jù)時只憑圖象是不行的，需要經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)據(jù)分析之后，才能最后斷定。第六十二頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

兩因素實驗的典型設(shè)計是：假定A因素有a水平，B因素有b水平，則每一次重復(fù)都包括ab次實驗，并設(shè)實驗重復(fù)次數(shù)n次，χijk表示A因素的第i水平，B因素第j水平和第k次重復(fù)的觀察值。數(shù)據(jù)將以下表的形式出現(xiàn)。表2－7中A和B可以是固定因素，也可以是隨機因素，因而引出三種不同的統(tǒng)計模型。第六十三頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日表2－7兩因素交互分組實驗的一般格式因素Bj＝1，2，…，b總計B1B2…Bb因素Ai∥1，2，∶，aA1Χ111Χ112∶Χ11nΧ121Χ122∶Χ12n…Χ1b1Χ1b2∶Χ1bnΧ1··A2Χ211Χ212∶Χ21nΧ221Χ222∶Χ22n…Χ2b1Χ2b2∶Χ2bnΧ2··∶∶∶…∶∶AaΧa11Χa12∶Χa1nΧa21Χa22∶Χa2n…Χab1Χab2∶ΧabnΧa··總計Χ·1·Χ·2·…Χ·b·Χ1··第六十四頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

表2－7中的各種符號做如下說明：ci··表示A因素第i水平的所有觀察值的和；c·j·表示B因素第j水平的所有觀察值的和；cij·表示A的第i水平和B的第j水平的所有觀察值的和；c···表示所有觀察值的綜合。用公式表示為：第六十五頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日二、固定效應(yīng)模型

1.

有重復(fù)實驗時有重復(fù)實驗時，觀察值可以以下線性統(tǒng)計模型描述：其中，m是總體效應(yīng)；ai是A因素第i水平的真正效應(yīng)；bj是B因素第j水平的真正效應(yīng)；（ab）ij是在ai和bj之間的交互作用的效應(yīng)；eijk是隨機誤差成份。當(dāng)兩因素均為固定因素時，各處理效應(yīng)是距總平均效應(yīng)的離差。因此，第六十六頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日交互作用的效應(yīng)也是固定的，eij是相互獨立且服從N（0，s2）的隨機變量（2·24）因?qū)嶒灩灿衝次重復(fù)，所以實驗的總次數(shù)為abn次。第六十七頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日交互分組兩因素固定效應(yīng)模型的方差分析的零假設(shè)為：方差分析的基本思想仍然是將總平方和分解。第六十八頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日第六十九頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

于是，總平方和可分解為：由于A因素所引起的平方和SSA，B因素所引起的平方和SSB，A、B交互作用所引起的平方和SSAB及誤差平方和SSe

。分別是：第七十頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

從(2·32)式可以看出，為了得到誤差平方和，至少要重復(fù)兩次。有了誤差平方和，才能把誤差與交互作用分解開。與每一平方和所相應(yīng)的自由度為：

Aa－1Bb－1AB交互作用（a－1）（b－1）誤差ab（n－1）總和abn－1第七十一頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

其中總自由度、A因素自由度和B因素自由度比較簡單，分別為abn－1，a－１和b－1。交互作用的自由度，是兩個因素全部水平的組合數(shù)減1，再減A、B主效應(yīng)自由度，即（ab－1）―（a―1）―（b―1）＝（a―1）（b―1）。誤差自由度在每一因素組合內(nèi)是n－1，共有ab種組合，故為ab（n－1）。各項的均方分別為：第七十二頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日兩因素固定模型方差分析表如下：表2－8固定模型方差分析表（因素A、B固定型）

變差來源平方和

自由度均方

F因素A因素B交互作用AB誤差SSASSBSSAB

SSe

ａ－1ｂ－1(a-1)(b-1)ab(n-1)

MSA

MSB

MSAB

MSe

MSA／MSeMSB／MSeMSAB／MSe

總和

SSTabn-1第七十三頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日實際計算時，可按下述方式進(jìn)行。其中c2···／abn稱為校正項，用C表示。第七十四頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

為了得到SSAB需分兩步計算。首先，由重復(fù)間的平均數(shù)，求出次總平方和（subtotalsum

ofsquares）SSST，這一平方和由三部分構(gòu)成：由此可以得出，AB交互作用平方和SSAB，而第七十五頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日另一種計算交互作用平方和的方法，是通過計算重復(fù)間平方和得到誤差平方和，再由總平方和減去A因素、B因素及誤差平方和，剩余的便是交互作用平方。

例2.3為了從三種不同原料和三種不同發(fā)酵溫度中，選出最適的條件，設(shè)計了一個兩因素試驗。并得到以下結(jié)果（表2－9）：第七十六頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日表2－9用不同原料與不同溫度發(fā)酵的酒精產(chǎn)量原料種類A溫度B30℃35℃40℃1234149232547595040433553501113252443383336553847446222618822181430332619第七十七頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日在這個試驗中，溫度和原料均為固定因素。每一處理有4次重復(fù)。因此可按上面敘述過的方法分析。將表中的每一數(shù)字均減去30，列成表2－10.1，由表2－10.1中，可以計算出及第七十八頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日表2－10.1發(fā)酵實驗方差分析計算表原料A溫度Bcij1cij2cij3cij4cij·c2ij·∑c2ijk12330354030354030354011-19-241713-221325019-1718298-8583-7-5-4203-122317-4-5-6-12106-162014-1118-47-487630-586164-12324220923045776900336437214096144556711800163027894811231174146∑＝84228387366第七十九頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日利用χij·列列成表2－10.2。表2－10.2發(fā)酵實驗方差分析表溫度Bci··c2i··

303540原1料2

A318-47-487630-586154-12-77481135929230412769c·j·

c2·j·

15547-11824025220913924844015821002第八十頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日由表2－10.2中可以計算出第八十一頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日列成方差分析表：表2－11發(fā)酵實驗方差分析表

變差來源

平方和自由度均方

F

原料A溫度BAB誤差1554.173150.58808.751656.5022427777.091575.29202.1961.3512.67**25.68**3.30*總和7170.0035**a＝0.01*a＝0.05原料和溫度在α＝0.01水平上拒絕H0；交互作用在α＝0.05水平上拒絕H0。因此酒精的產(chǎn)量不僅與原料與溫度有關(guān)，而且與兩者的交互作用也有關(guān)。第八十二頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

由于交互作用的存在，在固定效應(yīng)模型中，每一處理都應(yīng)該設(shè)置重復(fù)。重復(fù)之間的平方和為誤差平方和。有了誤差平方和，才能把交互作用從總平方和中分解出來。如果不設(shè)重復(fù)，所得到的殘余項（residual）平方和，SS殘余＝SST―SSA―SSB

，包括由誤差及交互作用兩部分所引起的平方和，且無法分開。因此，在因素存在交互作用時，不設(shè)重復(fù)的實驗是無意義的。第八十三頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日2.

無重復(fù)實驗如果經(jīng)驗或?qū)I(yè)知識，可以判斷兩因素間確實無交互作用，也可以不設(shè)重復(fù)（n＝1）。不設(shè)重復(fù)可以大大減少工作量，也能達(dá)到同樣的效果。在交叉分組的兩因素實驗中，若因素間不存在交互作用，觀察值的線性模型是：eij為相互獨立且服從正態(tài)分布N（0，s2）的隨機變量第八十四頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日零假設(shè)為：檢驗A因素使用的統(tǒng)計量為：

F＝MSA／MSe，具有(a―1)，(a—1)(b—1)自由度檢驗B因素使用的統(tǒng)計量為：

F＝MSB／MSe，具有(b―1)，(a—1)(b—1)自由度下面舉一個無交互作用的兩因素方差分析的例子。第八十五頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

例2.4

記載了四個村從1984－1987年四年的小麥畝產(chǎn)量，現(xiàn)在許精確估計一下各年、各村的產(chǎn)量是否有顯著差異。表2－12四各村四年的小麥畝產(chǎn)量（斤）年度1986198719881989密度一二三四546600548551578703682690813861815831815854852853第八十六頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

解村別和年度多是固定因素。由于四個村的自然條件和采取的增產(chǎn)措施，基本是一致的，因而村別與年度之間不存在交互作用。將表2－12中的每一個χij都減去700，列成表2－13。表2－13四個村四個年度小麥產(chǎn)量方差分析計算表年度Χi·Χi·Χ2i·∑χ2ij1986198719881989一密二三度四

χ·iχ·j

χ2·j

∑χ2ij-154-100-152-149-555-138.7530802579021-1223-18-10-147-36.752160915317113161115131520130.0027040069076115154152153574143.5032947683454-4821897125392929510246868-12.0054.5024.2531.2524.502304475249409156257486264594596465975762871246868第八十七頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日第八十八頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日列成方差分析表：變差來源平方和自由度均方F村別年度誤差9111.5222773.55379.03393037.1774257.83597.675.08*124.25**總和237264.015*a＝0.05,**a＝0.01結(jié)論是村間的產(chǎn)量差異在a＝0.05水平上顯著；年度之間的產(chǎn)量差異在a＝0.01水平上顯著。根據(jù)以上資料,可以進(jìn)一步查出村間存在差別的原因和年度間顯著增產(chǎn)的原因,為以后的生產(chǎn)安排提供資料。第八十九頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日3.交互作用的判斷為了幫助確定因素間是否存在交互作用，可以用由Tuker所提供的一種方法做判斷（J.W.Tuker,1949.Biometrics,Vol.5,pp.232-242）。做法是將殘余項平方和（SST－SSA－SSB）分解為具１自由度的非累加（交互作用）的成份和具(a－1)(b－1)－1自由度的誤差成份。公式為：第九十頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日具1自由度和

SSe＝SS殘余－SSN，具(a－1)(b－1)－1自由度為了檢驗交互作用的存在，計算當(dāng)F＞F1，(a－1)(b－1)－1，a時，拒絕無交互作用的假設(shè)。第九十一頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

例2.5

判斷例2.4中的村別與年度間是否存在交互作用。

解根據(jù)表2－13中的數(shù)據(jù)計算：第九十二頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日F1,8,0.05＝5.32,F＜F0.05。因此，沒有充足根據(jù)說明數(shù)據(jù)間存在交互作用。第九十三頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日4.多重比較在固定效應(yīng)模型中，若主效應(yīng)顯著，還應(yīng)當(dāng)在沒一因素的各水平的平均數(shù)之間做多重比較。仍然使用Duncan多范圍檢驗。然而，如果交互作用顯著的話，那么某個因素（例如A）各水平的平均數(shù)之間的比較，由于AB交互作用的影響而難于進(jìn)行。解決這一問題的一種方法是，將B固定在某一水平上，在那個特定水平上，比較A因素各水平的平均數(shù)。例如，將例2.3中的A因素（原料）固定在第二種原料上，比較不同溫度對產(chǎn)量的影響。把產(chǎn)量由高到低排列好：第九十四頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

序號123處理χ21·χ22·χ23·產(chǎn)量49.037.515.5因為每一處理均有4次重復(fù)，標(biāo)準(zhǔn)誤差分別求出r0.05和r0.01的Rk值，列成下表:dfkr0.05Rkr

0.01Rk27232.913.0611.4112.003.934.1115.4116.11第九十五頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日用平均數(shù)的差與表中的臨界值做比較，得到以下結(jié)果32133.5**11.5**222.0**可以看出，在第二種原料上，溫度1與溫度2對產(chǎn)量的影響剛剛達(dá)到顯著，而溫度1與溫度3及溫度2與溫度3，對產(chǎn)量的影響均已達(dá)到極顯著。如果考慮交互作用的話，就要比較全部ab次處理，才能得出哪一些差異是顯著的。這樣比較的結(jié)果不僅包括主效應(yīng)，而且包括交互作用。上面的例子中，如果在9個處理的所有對之間做比較，將要做C29＝36次。第九十六頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

三、隨機效應(yīng)模型如果因素A和因素B都是隨機因素，則構(gòu)成隨機效應(yīng)模型。例如，將同一種作物種在不同地塊上，并施以不同數(shù)量的農(nóng)家肥，考查不同地塊和不同施肥量對作物產(chǎn)量的影響。不同地塊是隨機選出來的，屬隨機因素。農(nóng)家肥的肥力水平，是很難人為控制的，即使施用相同的數(shù)量,其效應(yīng)值也不會完全相同。因此，肥料也書隨機因素。隨機效應(yīng)模型的每一觀察值，可用以下線性統(tǒng)計模型描述：第九十七頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日零假設(shè)分別是：方差分析的方法與固定模型的分析一樣，分別計算出SST、SSA、SSB和SS

e。對H03：s2ab＝0的檢驗統(tǒng)計量應(yīng)當(dāng)是（具(a－1)(b－1)，ab(n－1)自由度）：第九十八頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日與F(a－1)(b―1),ab(n―1),a做比較，當(dāng)F＜Fa

時，接受H03：s2ab＝0的假設(shè)；若F＞Fa，拒絕H03：s2ab＝0的假設(shè)。對H01：s2a＝0的假設(shè)，使用統(tǒng)計量（具(a－1)，(a－1)(b－1)自由度）與F(a－1),(a―1)(b―1),a做比較，當(dāng)F＜Fa

時，接受H01：s2a＝0的假設(shè)；若F＞Fa，拒絕H01：s2a＝0的假設(shè)。第九十九頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

對H02：s2b＝0的假設(shè)，使用統(tǒng)計量（具(b－1)，(a－1)(b－1)自由度）與F(b－1),(a―1)(b―1),a做比較，當(dāng)F＜Fa

時，接受H02：s2b＝0的假設(shè)；若F＞Fa，拒絕H02：s2b＝0的假設(shè)。第一百頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日表2－14隨機效應(yīng)模型方差分析表（因素A、B隨機型）變差來源平方和自由度均方F因素A因素B交互作用AB誤差SSASSBSSABSSea－1b－1(a－1)(b－1)ab(n－1)MSAMSBMSABMSeMSA／MSABMSB／MSABMSAB／MSe

總和SSTabn－1隨機效應(yīng)模型的方差分析表如下：第一百零一頁，共一百二十八頁，2022年，8月28日

例2.6

為了研究不同地塊中施用不同數(shù)量農(nóng)家肥對作物產(chǎn)量的影響，設(shè)計了一個兩因素試驗。試驗結(jié)果列在下表中。地塊B一號地二號地三號地施肥量A100kg200kg300kg400kg8.698.478.888.7210.8210.8611.1611.428.808.749.689.5411.0010.9210.9711.139.499.379.399.5911.0711.0111.0010.90

解前面已