第十四章線性動態(tài)電路的復頻域分析

第一頁，共七十九頁，2022年，8月28日重點(1)拉普拉斯變換的基本原理和性質(2)掌握用拉普拉斯變換分析線性電路的方法和步驟(3)網絡函數(shù)的概念(4)網絡函數(shù)的極點和零點返回第二頁，共七十九頁，2022年，8月28日拉氏變換法是一種數(shù)學積分變換，其核心是把時間函數(shù)f(t)與復變函數(shù)F(s)聯(lián)系起來，把時域問題通過數(shù)學變換為復頻域問題，把時域的高階微分方程變換為頻域的代數(shù)方程以便求解。應用拉氏變換進行電路分析稱為電路的復頻域分析法，又稱運算法。14.1

拉普拉斯變換的定義1.拉氏變換法下頁上頁返回第三頁，共七十九頁，2022年，8月28日例一些常用的變換對數(shù)變換乘法運算變換為加法運算相量法時域的正弦運算變換為復數(shù)運算拉氏變換F(s)(頻域象函數(shù))對應f(t)(時域原函數(shù))下頁上頁返回第四頁，共七十九頁，2022年，8月28日2.拉氏變換的定義定義[0,∞)區(qū)間函數(shù)

f(t)的拉普拉斯變換式：正變換反變換s

復頻率下頁上頁返回第五頁，共七十九頁，2022年，8月28日積分下限從0

開始，稱為0

拉氏變換。積分下限從0+

開始，稱為0

+

拉氏變換。積分域注意今后討論的均為0

拉氏變換。[0,0＋]區(qū)間

f(t)=(t)時此項

0象函數(shù)F(s)存在的條件：下頁上頁返回第六頁，共七十九頁，2022年，8月28日如果存在有限常數(shù)M和c

使函數(shù)f(t)

滿足：則f(t)的拉氏變換式F(s)總存在，因為總可以找到一個合適的s

值使上式積分為有限值。下頁上頁象函數(shù)F(s)用大寫字母表示,如I(s)，U(s)原函數(shù)f(t)用小寫字母表示，如i(t),

u(t)返回第七頁，共七十九頁，2022年，8月28日3.典型函數(shù)的拉氏變換(1)單位階躍函數(shù)的象函數(shù)下頁上頁返回第八頁，共七十九頁，2022年，8月28日(3)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)(2)單位沖激函數(shù)的象函數(shù)下頁上頁返回第九頁，共七十九頁，2022年，8月28日14.2拉普拉斯變換的基本性質1.線性性質下頁上頁證返回第十頁，共七十九頁，2022年，8月28日例1解例2解根據拉氏變換的線性性質，求函數(shù)與常數(shù)相乘及幾個函數(shù)相加減的象函數(shù)時，可以先求各函數(shù)的象函數(shù)再進行相乘及加減計算。下頁上頁結論返回第十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日2.微分性質下頁上頁證若足夠大0返回第十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日例解下頁上頁利用導數(shù)性質求下列函數(shù)的象函數(shù)返回第十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日推廣：解下頁上頁返回第十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁3.積分性質證應用微分性質0返回第十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁例解返回第十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日4.延遲性質下頁上頁證返回第十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日例1例2求矩形脈沖的象函數(shù)解根據延遲性質求三角波的象函數(shù)解下頁上頁TTf(t)o1Ttf(t)o返回第十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日求周期函數(shù)的拉氏變換設f1(t)為一個周期的函數(shù)例3解下頁上頁...tf(t)1T/2To返回第十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁對于本題脈沖序列5.拉普拉斯的卷積定理返回第二十頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁證返回第二十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日14.3拉普拉斯反變換的部分分式展開用拉氏變換求解線性電路的時域響應時，需要把求得的響應的拉氏變換式反變換為時間函數(shù)。由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用公式(2)對簡單形式的F(s)可以查拉氏變換表得原函數(shù)下頁上頁(3)把F(s)分解為簡單項的組合部分分式展開法返回第二十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日利用部分分式可將F(s)分解為：下頁上頁象函數(shù)的一般形式待定常數(shù)討論返回第二十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日待定常數(shù)的確定：方法1下頁上頁方法2求極限的方法令s=p1返回第二十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁例解法1返回第二十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日解法2下頁上頁原函數(shù)的一般形式返回第二十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁K1、K2也是一對共軛復數(shù)注意返回第二十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁返回第二十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日例解下頁上頁返回第二十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁返回第三十頁，共七十九頁，2022年，8月28日例解下頁上頁返回第三十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日

n=m

時將F(s)化成真分式和多項式之和由F(s)求f(t)的步驟：求真分式分母的根，將真分式展開成部分分式求各部分分式的系數(shù)對每個部分分式和多項式逐項求拉氏反變換下頁上頁小結返回第三十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日例解下頁上頁返回第三十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日14.4運算電路基爾霍夫定律的時域表示：1.基爾霍夫定律的運算形式下頁上頁根據拉氏變換的線性性質得KCL、KVL的運算形式對任一結點對任一回路返回第三十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日u=Ri2.電路元件的運算形式電阻R的運算形式取拉氏變換電阻的運算電路下頁上頁uR(t)i(t)R+-時域形式：R+-返回第三十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日電感L的運算形式取拉氏變換,由微分性質得L的運算電路下頁上頁i(t)+u(t)

-L+-sLU(s)I(s)+-時域形式：sL+U(s)I(s)-返回第三十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日電容C的運算形式C的運算電路下頁上頁i(t)+u(t)

-C時域形式：取拉氏變換,由積分性質得+-1/sCU(s)I(s)-+1/sCCu(0-)+U(s)I(s)-返回第三十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日耦合電感的運算形式下頁上頁i1**L1L2+_u1+_u2i2M時域形式：取拉氏變換,由微分性質得互感運算阻抗返回第三十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日耦合電感的運算電路下頁上頁+-+sL2+sM++sL1-----+返回第三十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日受控源的運算形式受控源的運算電路下頁上頁時域形式：取拉氏變換b

i1+_u2i2_u1i1+R+__+R返回第四十頁，共七十九頁，2022年，8月28日3.RLC串聯(lián)電路的運算形式下頁上頁u(t)RC-+iLU(s)R1/sC-+sLI(s)時域電路拉氏變換運算電路運算阻抗返回第四十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁運算形式的歐姆定律u(t)RC-+iL+-U(s)R1/sC-+sLI(s)+-Li(0-)拉氏變換返回第四十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁+-U(s)R1/sC-+sLI(s)+-Li(0-)返回第四十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日電壓、電流用象函數(shù)形式；元件用運算阻抗或運算導納表示；電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。下頁上頁電路的運算形式小結例給出圖示電路的運算電路模型。1F100.5H50V+-uC+-iL51020解t=0時開關打開uc(0-)=25ViL(0-)=5A時域電路返回第四十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日注意附加電源下頁上頁1F100.5H50V+-uC+-iL51020200.5s-++-1/s25/s2.5V5IL(s)UC(s)t>0運算電路返回第四十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日14.5應用拉普拉斯變換法分析線性電路由換路前的電路計算uc(0-),iL(0-)；畫運算電路模型，注意運算阻抗的表示和附加電源的作用；應用前面各章介紹的各種計算方法求象函數(shù)；反變換求原函數(shù)。下頁上頁1.運算法的計算步驟返回第四十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日例1(2)畫運算電路解(1)計算初值下頁上頁電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關閉合，試用運算法求電流i(t)。1V1H11Fi+-11/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返回第四十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日(3)應用回路電流法下頁上頁1/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返回第四十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁(4)反變換求原函數(shù)返回第四十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁例2，求uC(t)、iC(t)。圖示電路RC+ucis解畫運算電路1/sC+Uc(s)R返回第五十頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁1/sC+Uc(s)R返回第五十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日t=0時打開開關,求電感電流和電壓。例3下頁上頁解計算初值+-i10.3H0.1H10V23i2畫運算電路10/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-23返回第五十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁10/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-23注意返回第五十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日UL1(s)下頁上頁10/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-23返回第五十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日3.75ti1520下頁上頁uL1-6.56t-0.375(t)00.375(t)uL2t-2.190返回第五十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁注意由于拉氏變換中用0-初始條件，躍變情況自動包含在響應中，故不需先求t=0+時的躍變值。兩個電感電壓中的沖擊部分大小相同而方向相反，故整個回路中無沖擊電壓。滿足磁鏈守恒。返回第五十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁返回第五十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日14.6網絡函數(shù)的定義1.網絡函數(shù)H（s）的定義線性線性時不變網絡在單一電源激勵下，其零狀態(tài)響應的像函數(shù)與激勵的像函數(shù)之比定義為該電路的網絡函數(shù)H(s)。下頁上頁返回第五十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日由于激勵E(s)可以是電壓源或電流源，響應R(s)可以是電壓或電流，故s域網絡函數(shù)可以是驅動點阻抗（導納），轉移阻抗（導納），電壓轉移函數(shù)或電流轉移函數(shù)。下頁上頁注意若E(s)=1，響應R(s)=H(s)，即網絡函數(shù)是該響應的像函數(shù)。網絡函數(shù)的原函數(shù)是電路的沖激響應h(t)。2.網絡函數(shù)的應用由網絡函數(shù)求取任意激勵的零狀態(tài)響應返回第五十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日例下頁上頁1/4F2H2i(t)u1++--u21解畫運算電路返回第六十頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁I1(s)4/s2sI(s)U1(s)U2(s)2++--1返回第六十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日例下頁上頁解畫運算電路電路激勵為，求沖激響應GC+ucissC+Uc(s)G返回第六十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁3.應用卷積定理求電路響應結論可以通過求網絡函數(shù)H(s)與任意激勵的象函數(shù)E(s)之積的拉氏反變換求得該網絡在任何激勵下的零狀態(tài)響應。

返回第六十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日K1=3,K2=-3例解下頁上頁圖示電路

，沖激響應，求uC(t)。線性無源電阻網絡+-usCuc+-返回第六十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日14.7網絡函數(shù)的極點和零點1.極點和零點下頁上頁當

s=zi時，H(s)=0，

稱

zi為零點，zi

為重根，稱為重零點；當

s=pj時，H(s)∞，

稱

pj為極點，pj

為重根，稱為重極點；返回第六十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日2.復平面（或s平面）在復平面上把H(s)的極點用‘

’表示，零點用‘

o

’表示。零、極點分布圖下頁上頁zi，

Pj為復數(shù)joo返回第六十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日例繪出其極零點圖。解下頁上頁返回第六十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁24-1jooo返回第六十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日14.8極點、零點與沖激響應零狀態(tài)e(t)r(t)激勵響應下頁上頁1.網絡函數(shù)與沖擊響應零狀態(tài)δ(t)h(t)1R(s)沖擊響應H(s)和沖激響應構成一對拉氏變換對。結論返回第六十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日H0=-10例已知網絡函數(shù)有兩個極點為s=0、s=-1，一個單零點為s=1，且有，求H(s)和h(t)解由已知的零、極點得：下頁上頁返回第七十頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁2.極點、零點與沖激響應若網絡函數(shù)為真分式且分母具有單根，則網絡的沖激響應為：討論當pi為負實根時，h(t)為衰減的指數(shù)函數(shù)，當pi為正實根時，h(t)為增長的指數(shù)函數(shù)；極點位置不同，響應性質不同，極點反映網絡響應動態(tài)過程中自由分量的變化規(guī)律。注意返回第七十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁jo不穩(wěn)定電路穩(wěn)定電路返回第七十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日下頁上頁jo當pi為共軛復數(shù)時，h(t)為衰減或增長的正弦函數(shù)；不穩(wěn)定電路穩(wěn)定電路返