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上一節(jié)

第四章 §4.3線性方程組的的結(jié)構(gòu) 把線性方程組的解都寫成列向量這便于討論方程組的解的結(jié)構(gòu)首先考慮齊次(即常數(shù)項(xiàng)為0)線性方程組:命題3.1AX=0A是列滿秩矩陣推論3.1當(dāng)An階矩陣時命題3.2AX=0的有限個解的線性組合仍為AX=0的解表示.并且基礎(chǔ)解系的線性組合都是AX=0的解．定理3.1AX=0n元齊次線性方程組若秩A=rAX=0n-r個線性無關(guān)的解向量證明AX=0n-r個向量,n-r個線性無關(guān)的解均為基礎(chǔ)解系.因此我們AX=0n-r個解向量.r=n時A是一個列滿秩矩陣故方程組AX=0只有零解n-n=0個解向量.r<n時n-r個自由變量故其參數(shù)形n-r個參數(shù)給出,設(shè)為xx

tn? ?b2ntn?r,

?brntn?rtn?

寫成向量形式為? r+1

b1,n# #? # #? ? ?=t1 ?+"+tn?r ? ?

? #?#? #?#??? ??

#?? #???

? 簡記為:X=t1α1+"+tn?rαn?r顯然,α1,α2,",αn?r都是 r+1

?b1n?? #?? (α1,α2,",αn?r)=???

?brn?????所以α1,α2,",αn? 線性無關(guān).從而為基礎(chǔ)解系例3.1求下列方程組的一個基礎(chǔ)解系及通解?1 +x3?x4 ?2x1?2x2+x3+ ??3x1?3x2+ 0??1?4x2?3x3—x4 ?解將系數(shù)矩陣化成約化階梯矩陣

??2× +

? ?

??3×r1+

3??? 3???

0??4×r

+ 1

3 ??1×r2+?

3???1×r2+??

0? 0? ? 21×r2+

?3 ?(約化階梯矩陣??1×?

0? 0??1?x2+2x4 0,??x3?3x4 ? =a,x4 = aaabx1

1

x2 1 ?0 ? 即x

?=

0?+b?3 ? 4

? 0 ?1a,

α1=(1,100)T,α2=(?203,1)T則α1α2從而 aα1+bα2 其中a,b是任意數(shù)AX=b此時AX=0稱命題3.3設(shè)β是AXb的一個解α是AX0的解,則α+β是AX=bAXb的任意解γ均可表示為γαβ,其中α是AX0的解.由此可得如果設(shè)βnAX=b的任意一個固定解(稱為一個特解),1,2,n?rAX=0個基礎(chǔ)解系 其中c2,c

, 是任意c.n? n?,總結(jié)一下我們有下面的定理3.2AX=bn元線性方程組當(dāng)秩A秩(A,b)時方程組無解當(dāng)秩A秩(A,b)=n時方程組有唯一解當(dāng)秩A秩(A,b)<n時方程組有無窮解3.2An階矩陣時有唯一解的充分必要條件是系數(shù)行列式不等于則α+βAX=b的解． 命題3.4α1,α2…αsAX=b的解，α是它們的一個線性組合：α=c1α1+c2α2+"+csαs，則1當(dāng)c1c2++cs0時，αAX=02)當(dāng)c1c2++cs1時，αAX=bAX=bAX=0的基礎(chǔ)解系給出.但在具體計(jì)算時既不必預(yù)先判斷方程組有沒有解也無需我們可以直接對增廣矩陣做初等行變換,將其化成階梯矩陣或類似矩陣然后求解相應(yīng)的方程組由此可得出原方［對于無解的方程組最終總會出現(xiàn)方程0=c例3.2

x3+x4+2x5=??x1+x2?

+2x3+x4+x5 ?x1+x2+3x3+x4+x5 的通解及相應(yīng)的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系解：在本章第2節(jié)的例2.1,x ??x????

?1 ?1 ?0 0 ??0 ?0 X=a

+ ??0 ??0

?1

例3.3a,b,c滿足何關(guān)系時 x+y+z=?

ax+by+cz=?a2x+b2y+c2z=111Dabc=(b?a)(c?a)(c?a,bc互不相同時D0方程組有唯一解abc時 ??a×r+

? ?

1-a?

?a ×r1+ 2

1- 若a1a1若a1a=1時方程組有無窮解abc?

??a×

+

?

?? ?2

c? 1-a?

?

×r1+r3

2? ?

? 1- ?(c+a)×r2+

? c??