2021年和2020年全部高校強基計劃數(shù)學試題

2021年和2020年全部高校強基計劃數(shù)學試題（北大，清華，復旦，交大，中科大等）2021年北京大學強基計劃數(shù)學試題本試卷共20題，部分題目可能與實際考試有所出入，僅供參考.已知為的外心，、與的外接圓交于、．若，則________．2．方程的正整數(shù)解的組數(shù)為________．3．若實數(shù)，，，滿足，則的最小值為________．4．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）已知，則的個位數(shù)字是________．若平面上有100條二次曲線，則這些曲線可以把平面分成若干個連通區(qū)域，則連通區(qū)域數(shù)量最大值為________．6．已知實數(shù)．數(shù)列滿足：若，則，若，則．現(xiàn)知，則可能的的個數(shù)為________．7．設．若，則的最小值為________．8．已知、、是三個不全相等的實數(shù)且滿足、、．則________．9．如圖，為中的平分線．過作的垂線，過作交于點．若與交于點，且，，．則________．10．如果一個十位數(shù)的各位數(shù)字之和為81，則稱是一個“小猿數(shù)”．則小猿數(shù)的個數(shù)為________．設是與的差的絕對值最小的整數(shù)，是與的差的絕對值最小的整數(shù)．記的前項和為的前項和為．則的值為________．12．設正整數(shù)，且是完全平方數(shù)．則可能的的個數(shù)為________．13．方程的整數(shù)解的組數(shù)為________．14．現(xiàn)有7把鑰匙和7把鎖．用這些鑰匙隨機開鎖，則，，這三把鑰匙不能打開對應的鎖的概率是________．15．設正整數(shù)，均不大于2021，且．則這樣的數(shù)組個數(shù)為________．16．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）有三個給定的經(jīng)過原點的平面．過原點作第四個平面，使之與給定的三個平面形成的三個二面角均相等．則這樣的的個數(shù)是________．17．若，，為非負實數(shù)，且，則的最小值為________．18．已知數(shù)列滿足，．數(shù)列滿足，．若正整數(shù)滿足，則的最小值為________．19．若為非負整數(shù)，則方程的解有________組．20．已知，且，求的最小值．2021年清華大學強基計劃數(shù)學試題部分題目可能與實際考試有所出入，僅供參考.1．甲乙丙丁四人共同參加4項體育比賽，每項比賽第一名到第四名的分數(shù)依次為4、3、2、1分．比賽結束甲獲得14分第一名，乙獲得13分第二名，則（）．A．第三名不超過9分B．第三名可能獲得其中一場比賽的第一名C．最后一名不超過6分D．第四名可能一項比賽拿到3分2．定義，則（）．3．已知，則（）．A．B．C．D．4．恰有一個實數(shù)使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（）．A． B． C． D．5．已知為高斯函數(shù)，解的組數(shù)為（）．A．30 B．40 C．50 D．606．已知，最大公約數(shù)為，最小公倍數(shù)為，數(shù)對的組數(shù)為（）．A． B． C． D．7．設為常數(shù)，，，則（）．A． B．恒成立C． D．滿足條件的不止一個8．已知四面體中，，則體積的最大值為（）．A． B． C． D．9．在中，為的中點，，則的最大值為（）．A． B． C． D．10．已知非負實數(shù)，，滿足，則的最大值為（）．11．已知十等分圓周，則在其中取四點構成凸四邊形為梯形個數(shù)為（）．A．60 B．45 C．40 D．5012．已知，，設的最大值為，最小值為，則（）．A． B． C． D．13．已知集合，，且中任意兩項相加不是5的倍數(shù)，求的元素個數(shù)最大值．14．將函數(shù)的圖象逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到曲線．若對于每一個旋轉(zhuǎn)角，曲線都是一個函數(shù)的圖像，則的最大值為（）．A． B． C． D．15．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）在平面直角坐標系中，是坐標原點，兩定點，滿足，則點集所表示的區(qū)域的面積是（）A． B． C． D．16．已知，過做拋物線兩條切線，交軸于，兩點，則外接圓方程為（）．A． B．C． D．17．橢圓，，過作直線交橢圓于、，、交于、，下面正確的有（） A．定值 B．為定值 C．可能為2 D．可能為218．如圖，四邊形為圓外接四邊形，，為直徑：若，，則________．19.，，，為互不相等的正實數(shù)，，，，為其一個排列，，，則的概率是________．20.（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）有個質(zhì)點，每個質(zhì)點的質(zhì)量為，則質(zhì)心位置；對于一桿，長，放于間，且線密度滿足，則質(zhì)心位于（）． A． B． C． D．21.有限項等差數(shù)列公差為4，第二項起各項的和加首項的平方小于，則該數(shù)列最多可有________項．2021復旦大學強基計劃數(shù)學試題1．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）命題：“的內(nèi)心與外心重合”是命題：“是正三角形”的什么條件？2．已知周期為1，則命題：“”是命題：“恒為1”的什么條件？3．是的角平分線，，，，求的長．4．求的常數(shù)項．5．已知，，則________．6．已知，分別是橢圓的左右焦點，為橢圓上一點，延長到點，滿足．的中點為，則下列兩個結論是否正確：結論1：；結論2：為橢圓的切線．7．若，，解不等式．8．方程的正整數(shù)解有多少組？9．確定曲線的類型．10．求由曲線，圍成的面積．11．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）求極坐標的曲線軌跡．12．若數(shù)列滿足，求．13．求展開式中的常數(shù)項．2021上海交大強基計劃數(shù)學試題已知中，，求最大值．求邊長為1的正五邊形的對角線長．3．實數(shù)，，滿足，求的值．4．2個拋物線最多分平面為7份，3個最多分16份，求4個拋物線最多分平面為幾份?5．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）求方程的實根個數(shù)．2021年中科大強基計劃數(shù)學試題1．已知正實數(shù)，二次函數(shù)，若任意長度為1的區(qū)間上，存在兩點函數(shù)值之差的絕對值不小于1，則的最小值為________．2．已知正實數(shù)滿足，則的最小值為________．3．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）已知正實數(shù)，，滿足，則的取值范圍為________．4．拋物線上有，兩點，，則中點的軌跡方程為________．5．拋擲一個均勻的骰子次，記該過程中出現(xiàn)的最大數(shù)字為，則________．6．有邊長為1的正，在邊上，在邊上，，沿折起，求四棱錐體積的最大值．7．已知的整數(shù)部分，證明：．8．已知，求的范圍．9.，，為實系數(shù)多項式，且兩兩互素，，證明：或2．2021年中國科學技術大學強基計劃數(shù)學試題（廣東）一、填空題1．求________．2．設拋物線與相切，則________．3．寫出一個函數(shù)________，使得對于任意的恒成立．4．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）設空間區(qū)域中存在四個點兩兩距離都是，則的是大值為________．5．設個人進行互相傳球游戲，每個拿球的人等可能地把球傳給其他人中的任何一位，．若初始時球彺甲手中，則第次傳球之后，球又回到甲手中的概率為________．二、解答題6．求函數(shù)的取值范圍．7．設，，是正整數(shù)，是素數(shù)，且整除，證明：整除．8．設數(shù)列滿足，且對任意正整數(shù)，均有．求的通項公式．9.設是次實系數(shù)多項式，其中，．證明：若的個根都是實數(shù)，則的個根也都是實數(shù)．2021年南京大學強基計劃數(shù)學試題及其解析求．2．已知，，，求的最值．2020年北京大學強基計劃數(shù)學試題共20道選擇題，在每題的四個選項中，只有一個選項符合題目要求，選對得5分，選錯或不選得0分．1.（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）已知均為正實數(shù)，且滿足和，則的最小值等于（）A. B. C.D.前三個答案都不對2．在的全體正因數(shù)中選出若干個，使得其中任意兩個的乘積都不是平方數(shù)，則最多可選因數(shù)的個數(shù)為（）．A．16 B．31 C．32D．前三個答案都不對3．已知整數(shù)列（）滿足，，且對任意有，則的個位數(shù)字是（）．A．8 B．4 C．2 D．前三個答案都不對4.設，，，是方程的4個復根，則的值為（）． B． C． D．前三個答案都不對5．設等邊的邊長為1，過點作以為直徑的圓的切線，交的延長線于點，，則的面積為（）．A． B． C． D．前三個答案都不對6．設，，均不為，其中為整數(shù)，已知，，成等差數(shù)列，則依然成等差數(shù)列的是（）．A．，， B．，，C．，， D．前三個答案都不對7．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）方程的整數(shù)解個數(shù)為（）．A．4 B．8 C．16 D．前三個答案都不對8．從圓上的點向橢圓：引切線，兩個切點間的線段稱為切點弦，則橢圓內(nèi)不與任何切點弦相交的區(qū)域面積為（）．A． B． C． D．前三個答案都不對9．使得對所有正實數(shù)，都成立的實數(shù)的最小值為（）．A．8 B．9 C．10 D．前三個答案都不對10．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）設P為單位立方體的面對角線上的一點，則的最小值為（）．A． B． C． D．前三個答案都不對11．設數(shù)列滿足，，且對任意有，其前項和為，則的最大值等于（）．A．28 B．35 C．47 D．前三個答案都不對12．設直線與橢圓交于，兩點，坐標原點，則面積的最大值為（）．A．8 B．10 C．12 D．前三個答案都不對13．正整數(shù)稱為理想的，若存在正整數(shù)使得，，構成等差數(shù)列，其中為組合數(shù)，則不超過2020的理想數(shù)個數(shù)為（）．A．40 B．41 C．42 D．前三個答案都不對14．在中，，，，…，依次為邊上的點，且．設，，…，，，則的值為（）．A． B． C． D．前三個答案都不對15．函數(shù)的最大值為（）．A． B． C． D．前三個答案都不對16．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）方程的實根個數(shù)為（）．A．1 B．2 C．3 D．前三個答案都不對17．凸五邊形的對角線分別與對角線和交于點和，已知，，，和分別為和的面積，則等于（）．A．8：15 B．2：3 C．11：23 D．前三個答案都不對18．設，均為不超過100的正整數(shù)，則有有理根的多項式的個數(shù)為（）．A．99 B．133 C．150 D．前三個答案都不對19．滿足對任意有且嚴格遞增的數(shù)列的個數(shù)為（）．A．0 B．1 C．無窮個 D．前三個答案都不對20．設函數(shù)，其中，，均為正實數(shù)，則有（）．A．既有最大值也有最小值 B．有最大值但無最小值C．有最小值但無最大值 D．前三個答案都不對2020年清華大學強基計劃數(shù)學試題共35道選擇題，為不定項選擇題．1．若，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．2．設，，為正實數(shù)，若一元二次方程有實根，則（）A． B．C． D．在非等邊中，，若和分別為的外心和內(nèi)心，在線段上，且滿足，則下列選項正確的是（）．A．，，，四點共圓 B．C． D．4．已知集合，且，則有序集合組的個數(shù)是（）．A． B． C． D．5．已知數(shù)列滿足，，則的值可能是（）．A．0 B．2 C．10 D．126．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）已知點在橢圓上，，，則的最大值是（）．A．4 B． C． D．67．已知為雙曲線上一點（非頂點），，，令，，下列表達式為定值的是（）．A． B．C． D．8．甲、乙、丙三位同學討論同一道數(shù)學競賽題，甲說：“我做錯了．”乙說：“甲做對了．”丙說：“我做錯了．”老師看過他們的答案并聽了他們的上述對話后說：“你們僅有一人做對且僅有一人說謊了”，則根據(jù)以上信息可以推斷（）．A．甲做對了B．乙做對了C．丙做對了D．無法確定誰做對了9．在中，，，，，則下列說法正確的是（）．A． B． C． D．10．求值：（）．A． B． C． D．11．從0到9這十個數(shù)中任取五個數(shù)組成一個五位數(shù)（可以等于0），則的概率為（）．A． B． C． D．隨機變量，，滿足，且，則（）．A． B． C． D．13．已知向量，，滿足，，，則下列說法正確的是（）．A．的最大值為 B．最大值為C．的最小值為0 D．的最小值為214．若存在，，使得與均為完全平方數(shù)，則正整數(shù)可能取值為（）．A．2 B．4 C．5 D．615．（）．A．0 B． C． D．116．已知正四棱錐中，相鄰兩側(cè)面構成的二面角為，側(cè)棱與底面夾角為，則（）．A． B．C． D．17．已知函數(shù)，則的最大值與最小值的和是（）．A．2 B． C．3 D．4（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）已知函數(shù)的圖像如圖所示，的圖像與直線，，軸圍成圖形的面積為，則下列說法正確的是（）．A． B．C． D．19．我們稱數(shù)列為“好數(shù)列”，若對任意存在，使得，其中，則下列說法正確的是（）．A．若，則數(shù)列為“好數(shù)列”B．若（為常數(shù)），則數(shù)列為“好數(shù)列”C．若，均為“好數(shù)列”，則為等差數(shù)列D．對任意等差數(shù)列，存在“好數(shù)列”，，使20．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）（）．A． B． C． D．21.在中，，，，設為中點，現(xiàn)將沿折起，使得四面體的體積為，則折起后的長度可能為（）A．1 B． C． D．222．設復數(shù)，在復平面內(nèi)對應的點分別為，，為坐標原點，若，，則的面積為（）A．1 B． C．2 D．23．使得成立的最小正整數(shù)等于（）A．3 B．4 C．5 D．624．已知實數(shù)，，滿足，則（）A．有1組 B．有4組 C．，，均為有理數(shù) D．，，均為無理數(shù)25．設實數(shù)滿足，則的最大值為（）A．110 B．120 C．220 D．24026．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）在平面直角坐標系中，橫坐標與縱坐標都是整數(shù)的點稱為格點，且所有頂點都是格點的多邊形稱為格點多邊形．若一個格點多邊形的內(nèi)部有8個格點，邊界上有10個格點，則這個格點多邊形的面積為（）A．10 B．11 C．12 D．1327．設復數(shù)滿足，則的（）A．最大值為 B．最大值為 C．最小值為 D．最小值為28．設，為銳角，且，則的最大值為（）A． B． C．1 D．29．已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則的最小值為（）A． B． C． D．30．設，分別是軸，軸上的動點，若以為直徑的圓與直線相切，則圓面積的最小值為（）A． B． C． D．31．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）已知實數(shù)，滿足，設的所有可能值構成的集合為，則（）A．為單元素集 B．為有限集，但不是單元素集C．為無限集，且有下界 D．為無限集，且無下界32．已知數(shù)列的前項和，且實數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．33．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）《紅樓夢》，《三國演義》，《水滸傳》和《西游記》四部書分列在四層架子的書柜的不同層上．小趙，小錢，小孫，小李分別借閱了四部書中的一部．現(xiàn)已知：小錢借閱了第一層的書籍，小趙借閱了第二層的書籍，小孫借閱的是《紅樓夢》，《三國演義》在第四層．則（）A．《水滸傳》一定陳列在第二層 B．《西游記》一定陳列在第一層C．小孫借閱的一定是第三層的書籍D．小李借閱的一定是第四層的書籍設多項式的各項系數(shù)都是非負實數(shù)，且，則的常數(shù)項的最小值為（）A． B． C． D．35．已知，則（）A．存在實數(shù)解B．共有20個不同的復數(shù)解C．復數(shù)解的模長均為1D．存在模長大于1的復數(shù)解2020年復旦大學強基計劃數(shù)學試題1．設拋物線，過焦點作直線，交拋物線于，兩點，滿足．過點作拋物線準線的垂線，垂足記為點，準線交軸于點，若，則_______________．2．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）已知實數(shù)，，滿足，求的最小值．已知，若，則在，，，中能確定的參數(shù)是_________．若三次方程有一個根是純虛數(shù)，則_______________．在的展開式中，常數(shù)項為_______________．_________．點繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)60度，所得的點的坐標為_____．方程所表示的曲線形狀是________．設，，若則_______．實數(shù)，滿足，若的值與，無關，則的取值范圍是_______．在中，，若為的內(nèi)心，且滿足，則的最大值為_________．12．已知直線：和：，則有（）．A．與可能重合B．與不可能垂直C．直線上存在一點，使得直線以為中心旋轉(zhuǎn)后與重合D．以上都不對cta3213.如圖15-2所示，拋物線的焦點為，在拋物線上，點處的切線與夾角為30度，則點橫坐標為________．14．已知為直線上一點，且到和的距離相同，則點坐標為________．已知，且，連接原點和，兩點，則的概率為_______．________．17．已知三棱錐的體積為10.5，且，，，則的長度為__________．18．在中，，，，則邊上中線的長________．19．若，則的圖象大致為_______．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）定義令，已知，，則______．21．方程的非負整數(shù)解的組數(shù)為______．22．已知，，且，若滿足，則_______．23．若四邊形是凸四邊形，則是的______條件．24．設函數(shù)的反函數(shù)為，則在上的最大值和最小值的和為_____．25．若，（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）直線與和坐標軸圍成的四邊形面積的取值范圍是______．26．已知，，，四點共圓，且，，，，為，的交點，則的長度為______．27．給定5個函數(shù)，其中3個奇函數(shù)，2個偶函數(shù)，在這5個函數(shù)中任意取3個，其中既有奇函數(shù)，又有偶函數(shù)的概率為________．28．下列不等式恒成立的是（）．A． B．C．D.29．向量數(shù)列滿足，且滿足，，令，則當取最大值時，的值為______．某公司安排甲、乙、丙等7人完成7天的值班任務，每人負責天已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相鄰兩天，則不同的安排方式有________種．31．直線，交于點，為平面上任意一點，（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）若，分別為點到直線，的距離，則稱為點的距離坐標．已知非負常數(shù)，，下列三個命題正確的個數(shù)是________．（1）若，則距離坐標為的點有且僅有1個．（2）若，且，則距離坐標為的點有且僅有1個．（3）若，則距離坐標為的點有且僅有4個．Giventwosetsand,thentheintersectionsetofAandBis（）．A．B．C．D.33．Whichnumberofthatnumber5isthecubicrootof?（）A．3 B．5C．25D.1252020年上海交通大學強基計劃數(shù)學試題已知函數(shù)的定義域為，若，則函數(shù)的定義域為_______________．已知方程，則下列判斷：方程沒有正數(shù)解；方程有數(shù)多個解；方程有一個正數(shù)解；方程的實根小于1．其中錯誤的判斷有_______________．3．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）在小于1000的正整數(shù)中，既不是5的倍數(shù)也不是7的倍數(shù)的整數(shù)有_______________個．4．已知邊長為的正三角形，，分別在邊，上，滿足，連接，，則與的夾角為_______________．5．已知的頂點坐標分別為，，，則角的平分線所在的直線方程為_______________．從2個紅球，3個黑球，5個白球（同色球完全相同）中任意取6個，有_______________種不同的取法．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）已知曲線過點，，則_________．8．過拋物線的焦點作直線，交拋物線于，兩點，若，橫坐標之和為5，則直線的條數(shù)為_______________．9．用同樣大小的正邊形平鋪整個平面（沒有重疊），若要將平面鋪滿，則的值為_______________．10．若三條直線：，：，：將平面劃分成6個部分，則可能的取值情況是（）．A．只有唯一值B．有兩個不同的值C有三個不同的值 D．無數(shù)個值11．已知非零實數(shù)，，，若，，成等差數(shù)列，則下列不等式一定成立的是（）．A． B． C． D．12．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）函數(shù)的定義域為，若對于任意的，都存在唯的，使得，則稱在上的和為4，給出下列函數(shù)：（1），；（2），；（3），；（4）．其中和為4的有_______________個．13．若集合中任意兩個元素的和、差、積、商（除數(shù)不為0）的運算結果都在中，則稱是封閉集合，下列集合：（1）；（2）；（3）；（4）．其中封閉集合的序號為_______________．14．方程的正整數(shù)解有_______________．15．若，，且滿足，則_______________．16．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）若四面體的各個頂點到平面的距離都相等，則稱平面為該四面體的中位面，則一個四面體的中位面的個數(shù)為_________．17．設是函數(shù)在區(qū)間上的最大值，則的最小值為______．18．在正方體8個頂點任意2個頂點所在的直線中，異面直線共有_______________對．19．若空間三條直線，，兩兩異面，則與三條直線都相交的直線有_______________條．20．用平面截一個單位正方體，若截面是六邊形則此六邊形周長的最小值為_______________．21．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）已知矩形的邊，過，作直線的垂線，垂足分別為，，且，分別為的三等分點，沿著將矩形翻折，使得二面角成直角，則的長度為______．22．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）平面上給定五個點，任意三個點不共線，過任意兩個點作直線，已知任意兩條直線既不平行也不垂直，過五個點中任意一個點向另外四個點的連線作垂線，則所有這些垂線的交點（不包括已知的五點）個數(shù)至多有_____個．23．若實數(shù)，滿足，，則_________．24．甲、乙、丙三人的職業(yè)分別是，，，乙的年齡比大，丙的年齡和不同，比甲的年齡小，則甲、乙、丙的職業(yè)分別是（）．25．函數(shù)，的最小值是_______．2020年中國科學技術大學創(chuàng)新班初試數(shù)學試題若，則的取值范圍是_______________．若，則其圍成圖形的面積_______________．的離心率是_______________．若，，，則_______________．若，，為正整數(shù)，為素數(shù)，則_______________．若，，，則，，的大小順序是_______________．若，且，，，，，為三角形的三邊，則的取值范圍是_______________．已知為的排列，若且，則為順序?qū)?，設為的順序?qū)Φ膫€數(shù)，則_______________．9．已知，求的取值范圍．10．（微信公眾號：樂思數(shù)學研究）已知，求所有，使得對，恒成立．11．已知，證明：當時，不等式成立，且當時，該不等式不成立．2020年武漢大學強基計劃數(shù)學試題不定項選擇題：共15小題，每題答案完全正確得滿分；選對但不全得部分分；選錯得0分.1