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中考復(fù)習(xí)專(zhuān)題題“隱形圓”
——點(diǎn)到圓最值問(wèn)題不積洼步無(wú)以至千里。引入定理不積洼步無(wú)以至千里。
隱形圓的應(yīng)用是中考中的常見(jiàn)題目,這類(lèi)題目在條件中沒(méi)有直接給出有關(guān)圓的信息,但我們通過(guò)分析和轉(zhuǎn)化,最終都可以利用圓的知識(shí)求解。這類(lèi)題目構(gòu)思巧妙,綜合性強(qiáng),它將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓內(nèi)的求角問(wèn)題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想,處理這類(lèi)題目,關(guān)鍵在于能否把“隱形圓”找出來(lái)。探究定理不積洼步無(wú)以至千里。
平面內(nèi)一定點(diǎn)D和圓O上動(dòng)點(diǎn)E的連線(xiàn)中,當(dāng)連線(xiàn)過(guò)圓心O時(shí),線(xiàn)段DE有最大值和最小值.具體分以下三種情況討論(規(guī)定:OD=d,圓O半徑為r):1、
當(dāng)D點(diǎn)在圓O外時(shí),d>r,如圖①、②:當(dāng)D、E、O三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),線(xiàn)段DE出現(xiàn)最值,DE的最大值為d+r,DE的最小值為d-r;分析:當(dāng)D、E、O三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),線(xiàn)段DE出現(xiàn)最值。理由,當(dāng)三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí),構(gòu)成三角形,依據(jù)三角形三邊關(guān)系,可證探究定理不積洼步無(wú)以至千里。
2、當(dāng)D點(diǎn)在圓O上時(shí),d=r,如圖③、④:當(dāng)D、E、O三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),線(xiàn)段DE出現(xiàn)最值,DE的最大值為d+r=2r(即為圓O的直徑),DE的最小值為d-r=0(點(diǎn)D、E重合);
探究定理不積洼步無(wú)以至千里。3、當(dāng)D點(diǎn)在圓O內(nèi)時(shí),d<r,如圖⑤、⑥:當(dāng)D、E、O三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),線(xiàn)段DE出現(xiàn)最值,DE的最大值為d+r,DE的最小值為r-d.應(yīng)用定理例1如圖,E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿(mǎn)足AE=DF,連接CF交BD于點(diǎn)G,連接BE交AG于點(diǎn)H,若正方形邊長(zhǎng)為2,則線(xiàn)段DH長(zhǎng)度的最小值是________.不積洼步無(wú)以至千里。不積洼步無(wú)以至千里。證明:在正方形ABCD中,AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA,∠ADG=∠CDG,在△ABE和△DCF中,AB=CD∠BAD=∠CDA=90°AE=DF∴△ABE≌△DCF(SAS),∴∠1=∠2,在△ADG和△CDG中,AD=CD∠ADG=∠CDG=45°DG=DG∴△ADG≌△CDG(SAS),∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°,∴∠1+∠BAH=90°,∴∠AHB=180°-90°=90°,∴BE⊥AG;∴∠AHB=90°{{取AB的中點(diǎn)O為圓心畫(huà)弧即:點(diǎn)H在弧AB上∴DH的最小值為d-r∵正方形的邊長(zhǎng)為2,OA=1=r∴d=∴DH長(zhǎng)度的最小值O應(yīng)用定理例2.某城市街角有一草坪,草坪是由草地和弦與其所對(duì)的劣弧圍成的草地組成,如圖所示.管理員王師傅在M處的水管上安裝了一噴灌龍頭,以后,他想只用噴灌龍頭來(lái)給這塊草坪澆水,并且在用噴灌龍頭澆水時(shí),既要能確保草坪的每個(gè)角落都能澆上水,又能節(jié)約用水.于是,他主噴灌龍頭的轉(zhuǎn)角正好等于(即每次噴灌時(shí)噴灌龍頭由轉(zhuǎn)到,然后再轉(zhuǎn)回,這樣往復(fù)噴灌),同時(shí),再合理設(shè)計(jì)好噴灌龍頭噴水的射程就可以了.如圖,已測(cè)出,MB=10mAB=24m,?ABM的面積為96m2;過(guò)弦AB的中點(diǎn)D作DE⊥AB交弧AB于點(diǎn)E,又測(cè)得DE=8m.請(qǐng)你根據(jù)以上提供的信息,幫助王師傅計(jì)算噴灌龍頭的射程至少多少米時(shí),才能實(shí)現(xiàn)他的想法?為什么?不積洼步無(wú)以至千里。解:作射線(xiàn)ED交AM于點(diǎn)C∵AD=DB,ED⊥AB,弧AB為劣弧
DE=8mAB=24m∴弧AB所在圓心在射線(xiàn)DC上假設(shè)圓心為O,半徑為r,連接OA,則r2=122+(r-8)2解得r=13∴OD=5過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB,垂足為N∵S?ABM=96.AB=24∴MN=8,NB=6,AN=18∵?ADC∽?ANM∴∴DC=OD<CD∴點(diǎn)O在?AMB內(nèi)部,M在圓O的內(nèi)部∴M到圓上最大距離為d+r,r=13過(guò)點(diǎn)O作OH⊥MN,則OH=DN=6,MH=3∴OM==d∴最大距離=d+r=+13不積洼步無(wú)以至千里。應(yīng)用定理
例3.所示,AB、AC、BC是某新區(qū)的三條規(guī)劃路其中,AB=6km,AC=3km,∠BAC=60°,BC所對(duì)的圓心角為60°.新區(qū)管委會(huì)想在BC路邊建物資總站點(diǎn)P,在AB、AC路邊分別建物資分站點(diǎn)E、F.也就是,分別在BC線(xiàn)段AB和AC上選取點(diǎn)P、E、F.由于總站工作人員每天要將物資在各物資站點(diǎn)間按P→E→F→P的路徑進(jìn)行運(yùn)輸,因此,要在各物資站點(diǎn)之間規(guī)劃道路PE、EF和FP.為了快捷環(huán)保和節(jié)約成本要使得線(xiàn)段PE、EF、FP之和最短,試求PE+EF+FP的最小值(各物資站點(diǎn)與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計(jì)).不積洼步無(wú)以至千里。不積洼步無(wú)以至千里。解:假設(shè)P點(diǎn)即為所求點(diǎn),分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB、AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′、P"連接PP′、P′E,PE,P"F,PF,PP"由對(duì)稱(chēng)性可知PE+EF+FP=P′E+EF+FP"=P′P",當(dāng)P′、E、F、P"在一條直線(xiàn)上,P′P"即為最短距離,∵?AP′P"是120°等腰三角形,P′P"=AP∴當(dāng)PA最小時(shí)P′P"也最小∵點(diǎn)A在圓外,PA最短=d-r∴作出弧BC的圓心O,連接AO,與弧BC交于P,∵AB=6km,AC=3km,∠BAC=60°,∴?ABC是直角三角形,∠ABC=30°,BC=BC所對(duì)的圓心角為60°,∴?OBC是等邊三角形,∠CBO=60°,BO=BC=∴∠ABO=90°,AO=
,PA=-∠P′AE=∠EAP,∠PAF=∠FAP",∴∠P′AP"=2∠ABC=120°,P′A=AP",∴∠AP′E=∠AP"F=30°∵P′P"=
P′A=
-9所以PE+EF+FP的最小值為(
-9)km.課堂檢測(cè)1.已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為2,E、F分別是BC、CD上的動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足BE=CF,連接AE、BF,交點(diǎn)為P點(diǎn),則PD的最小值為_(kāi)________不積洼步無(wú)以至千里。課堂檢測(cè)2.如圖,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足∠PAB=∠PBC,則線(xiàn)段CP長(zhǎng)的最小值是_________.不積洼步無(wú)以至千里。2課堂檢測(cè)3.
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