2022-2023學(xué)年重慶市江津區(qū)京師實(shí)驗(yàn)學(xué)校等四校聯(lián)考九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年重慶市江津區(qū)京師實(shí)驗(yàn)學(xué)校等四校聯(lián)考九年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：（每小題4分，共48分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)中．1．下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2 C．y＝2x2﹣7 D．2．下列圖形是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．3．方程x2+x﹣12＝0的兩根的情況是（）A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根 D．不能確定4．如圖，△ABC是等邊三角形，D為BC邊上的點(diǎn)，∠BAD＝20°，△ABD經(jīng)旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△ACE的位置，那么旋轉(zhuǎn)了（）A．65° B．60° C．55° D．20°5．拋物線y＝3x2向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得到的拋物線是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+26．下列說(shuō)法中正確的是（）A．全等的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱 B．能夠完全重合的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱 C．繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后能夠重合的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱 D．繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能夠重合的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱7．二次函數(shù)y＝x2+4x+a的最小值是5，則a的值是（）A．5 B．6 C．7 D．98．若方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根是﹣3和1，那么二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的對(duì)稱軸是直線（）A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝19．用大小相同的圓點(diǎn)擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放，則第9個(gè)圖案中共有圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．59 B．65 C．70 D．7110．已知二次函數(shù)y＝ax2+bc+c的圖象如圖所示，則在“①a＜0；②b＞0；③c＞0；④b2﹣4ac＞0”中正確的判斷是（）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④11．使得關(guān)于x的不等式組有且只有4個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于x的一元二次方程（a﹣5）x2+4x+1＝0有實(shí)數(shù)根的所有整數(shù)a的值之和為（）A．35 B．30 C．26 D．2112．對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說(shuō)法：①若a+b+c＝0，則b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，則一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題：（本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分）請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上.13．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．14．已知x＝a是x2﹣3x﹣6＝0的根，則代數(shù)式7+6a﹣2a2的值為．15．如圖，已知鈍角三角形ABC，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)110°得到△AB′C′，連接BB′，若AC′∥BB′，則∠CAB′的度數(shù)為．16．新新面粉廠現(xiàn)有小麥若干千克和面粉500千克準(zhǔn)備一邊繼續(xù)將小麥生產(chǎn)成面粉，一邊將生產(chǎn)好的面粉加工成面條，現(xiàn)將全部10名工人，分為A、B兩組，A組負(fù)責(zé)將小麥加工成面粉，B組負(fù)責(zé)將面粉加工成面條．已知每位工人每天可將100千克小麥生產(chǎn)成75千克面粉或?qū)?5千克面粉加工成50千克面條．生產(chǎn)m天后，面粉質(zhì)量與面條質(zhì)量之比為13：2，又生產(chǎn)了若干天后，小麥全部用完，此時(shí)面粉質(zhì)量與面條質(zhì)量之比為6：1，若繼續(xù)將所有面粉都加工成面條再出售，且每千克面條售出后可獲利3元，則所有面條售出后，新新面粉廠共可獲利元．三、解答題：（本大題共9個(gè)小題，17-18每小題8分，共16分、19-25每題各10分，共70分）請(qǐng)把答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的空白處，解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過(guò)程或推理步驟．17．計(jì)算：（1）x2+4x﹣5＝0；（2）（x﹣5）2＝16．18．計(jì)算：（1）（x﹣y）2﹣y（y﹣2x）；（2）÷（1﹣）．19．如圖，四邊形ABCD是矩形，連接AC、BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAO交BD于點(diǎn)E．（1）用尺規(guī)完成基本作圖：作∠ACD的角平分線交BD于點(diǎn)F，連接AF，EC；（保留作圖痕跡，不寫作法，不寫結(jié)論）（2）猜想四邊形AECF是哪種特殊四邊形，并完成下列證明．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝OC，AB∥CD．∴∠＝∠．∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO，∴∠EAO＝∠BAO，∠FCO＝∠DCO．∴．∵在△AEO和△CFO中，，．．又∵AO＝CO，∴四邊形AECF是．20．閱讀與理解：法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)在研究一元二次方程時(shí)有一項(xiàng)重大發(fā)現(xiàn)：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根分別是x1和x2，那么，．例如：方程2x2+3x﹣5＝0的兩根分別是x1和x2，則，．請(qǐng)同學(xué)們閱讀后利用上述結(jié)論完成下列問(wèn)題：（1）已知方程3x2﹣7＝11x的兩根分別是x1和x2，則x1+x2＝，x1x2＝．（2）已知方程x2+5x﹣3＝0的兩根分別是x1和x2，求的值．21．如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）在拋物線上存在一點(diǎn)P，使△ABP的面積為10，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．22．2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一開(kāi)售時(shí)，就深受大家的喜歡．某供應(yīng)商今年2月第一周購(gòu)進(jìn)一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一個(gè)冰墩墩的進(jìn)價(jià)比一個(gè)“雪容融”的進(jìn)價(jià)多40元，進(jìn)貨20個(gè)“冰墩墩”和30個(gè)“雪容融”的金額相同．（1）今年2月第一周每個(gè)“冰墩墩”和“雪容融”的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）今年2月第一周，供應(yīng)商以150元每個(gè)售出“冰墩墩”120個(gè)，以100元每個(gè)售出“雪容融”150個(gè)．第二周供應(yīng)商決定調(diào)整價(jià)格，每個(gè)“冰墩墩”的價(jià)格不變，每個(gè)“雪容融”的售價(jià)在第一周的基礎(chǔ)上下降了m元，由于冬奧賽事的火熱進(jìn)行，第二周“冰墩墩”的銷量比第一周增加了個(gè)，“雪容融”的銷量比第一周增加了m個(gè)，最終商家獲利6600元，求m．23．對(duì)于各位數(shù)字均不相同的三位自然數(shù)m＝，交換百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字后得到m1＝，記F（m）＝，若F（m）能被5整除，則稱m為“五好數(shù)”．例如：621是“五好數(shù)”，因?yàn)镕（621）＝＝5，5能被5整除，所以621是“五好數(shù)”；743不是“五好數(shù)”，因?yàn)镕（743）＝＝4，4不能被5整除，所以743不是“五好數(shù)”．（1）判斷409、678是否是“五好數(shù)”？并說(shuō)明理由；（2）m是“五好數(shù)”，若a＞c且滿足|a﹣b|+|b﹣c|能被7整除，求出所有符合題意的m值．24．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l與拋物線交于點(diǎn)C，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)是（4，﹣3）．（1）求拋物線解析式；（2）點(diǎn)E是（1）中拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是（1）中拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)且位于直線AC上方．①試求△ACM的最大面積以及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；②在①的條件下求ME+EF+AF的最小值．（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，平面內(nèi)一點(diǎn)Q，使得以P、A、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為邊的矩形？如果存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．如圖在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°；（1）如圖1，若AB＝2，求BC的長(zhǎng)；（2）如圖2，在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝120°，連接BD、CE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，①當(dāng)點(diǎn)D、E、C三點(diǎn)共線時(shí)，求證：CD＝AD+BD；②若DE交AB于點(diǎn)F，且AE⊥CE，AD＝DF，請(qǐng)直接寫出的值．

參考答案一、選擇題：（每小題4分，共48分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)中．1．下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2 C．y＝2x2﹣7 D．【分析】根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的定義判斷各選項(xiàng)即可得出答案．解：A、是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、整理后是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、y＝2x2﹣7是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)正確；D、y與x2是反比例函數(shù)關(guān)系，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義條件：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的定義條件是：a、b、c為常數(shù)，a≠0，自變量最高次數(shù)為2．2．下列圖形是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對(duì)稱圖形，以及軸對(duì)稱圖形的定義即可判斷出．解：A、該圖形是中心對(duì)稱圖形，正確，B、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，錯(cuò)誤；C、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，錯(cuò)誤；D、該圖形是軸對(duì)稱圖形，錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的定義，根據(jù)定義得出圖形形狀是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．方程x2+x﹣12＝0的兩根的情況是（）A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根 D．不能確定【分析】先求出Δ的值，再判斷出其符號(hào)即可．解：∵方程x2+x﹣12＝0中，Δ＝12﹣4×（﹣12）＝49＞0，∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．4．如圖，△ABC是等邊三角形，D為BC邊上的點(diǎn)，∠BAD＝20°，△ABD經(jīng)旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△ACE的位置，那么旋轉(zhuǎn)了（）A．65° B．60° C．55° D．20°【分析】由△ABD經(jīng)旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△ACE的位置，而AB＝AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BAC等于旋轉(zhuǎn)角，即旋轉(zhuǎn)角等于60°．解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△ABD經(jīng)旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△ACE的位置，∴∠BAC等于旋轉(zhuǎn)角，即旋轉(zhuǎn)角等于60°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．5．拋物線y＝3x2向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得到的拋物線是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2【分析】根據(jù)圖象向下平移減，向右平移減，可得答案．解：拋物線y＝3x2向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得到的拋物線是y＝3（x﹣1）2﹣2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式．6．下列說(shuō)法中正確的是（）A．全等的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱 B．能夠完全重合的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱 C．繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后能夠重合的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱 D．繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能夠重合的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義（繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能夠重合的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱）解決此題．解：A．全等的兩個(gè)圖形不一定成中心對(duì)稱，如：底邊在同一條直線上且腰長(zhǎng)大于底邊長(zhǎng)的兩個(gè)全等等腰三角形不成中心對(duì)稱，那么A錯(cuò)誤，故A不符合題意．B．能夠完全重合的圖形是全等圖形，不一定成中心對(duì)稱，那么B錯(cuò)誤，故B不符合題意．C．根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義，繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能夠重合的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱，那么C錯(cuò)誤，故C不符合題意．D．根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義，繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能夠重合的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱，那么D正確，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查中心對(duì)稱圖形，熟練掌握中心對(duì)稱圖形的定義是解決本題的關(guān)鍵．7．二次函數(shù)y＝x2+4x+a的最小值是5，則a的值是（）A．5 B．6 C．7 D．9【分析】直接用二次函數(shù)的最值公式代入計(jì)算可得．解：由二次函數(shù)y＝x2+4x+a的最小值為5可知＝＝5，解得a＝9，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．若方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根是﹣3和1，那么二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的對(duì)稱軸是直線（）A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝1【分析】先根據(jù)題意得出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱即可得出結(jié)論．解：∵方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根是﹣3和1，∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)分別為（﹣3，0），（1，0）．∵此兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴對(duì)稱軸是直線x＝＝﹣1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟知拋物線與x軸的交點(diǎn)與一元二次方程根的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．9．用大小相同的圓點(diǎn)擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放，則第9個(gè)圖案中共有圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．59 B．65 C．70 D．71【分析】觀察圖形可知，第1個(gè)圖形共有圓點(diǎn)5+2個(gè)；第2個(gè)圖形共有圓點(diǎn)5+2+3個(gè)；第3個(gè)圖形共有圓點(diǎn)5+2+3+4個(gè)；第4個(gè)圖形共有圓點(diǎn)5+2+3+4+5個(gè)；…；則第n個(gè)圖形共有圓點(diǎn)5+2+3+4+…+n+（n+1）個(gè)；由此代入n＝9求得答案即可．解：根據(jù)圖中圓點(diǎn)排列，當(dāng)n＝1時(shí)，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)5+2；當(dāng)n＝2時(shí)，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)5+2+3；當(dāng)n＝3時(shí)，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)5+2+3+4；當(dāng)n＝4時(shí)，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)5+2+3+4+5，…∴當(dāng)n＝10時(shí)，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)5+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝4+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）＝4+×10×（10+1）＝59．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論，利用規(guī)律解決問(wèn)題．10．已知二次函數(shù)y＝ax2+bc+c的圖象如圖所示，則在“①a＜0；②b＞0；③c＞0；④b2﹣4ac＞0”中正確的判斷是（）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④【分析】有拋物線開(kāi)口方向，對(duì)稱軸位置，拋物線與x軸交點(diǎn)位置，拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解．解：∵拋物線開(kāi)口向下，∴a＜0，∵拋物線對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴b＜0，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，∴c＞0，∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0，∴①③④正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．11．使得關(guān)于x的不等式組有且只有4個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于x的一元二次方程（a﹣5）x2+4x+1＝0有實(shí)數(shù)根的所有整數(shù)a的值之和為（）A．35 B．30 C．26 D．21【分析】解不等式組得到4＜a≤10，由關(guān)于x的一元二次方程（a﹣5）x2+4x+1＝0有實(shí)數(shù)根，得到a≤9，于是得到結(jié)論．解：解不等式組的≤x＜4，∵關(guān)于x的不等式組有且只有4個(gè)整數(shù)解，∴﹣1＜≤0，解得4＜a≤10，∵關(guān)于x的一元二次方程（a﹣5）x2+4x+1＝0有實(shí)數(shù)根，∴△＝16﹣4（a﹣5）≥0，解得：a≤9且a≠5，∵a為整數(shù)，∴a＝6，7，8，9，∴所有整數(shù)a的值之和＝6+7+8+9＝30，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根的判別式、及解不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的判別式、不等式組的解法．12．對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說(shuō)法：①若a+b+c＝0，則b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，則一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)解決此題．解：①當(dāng)x＝1時(shí)，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正確．②方程ax2+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則﹣4ac＞0，那么b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，進(jìn)而推斷出②正確．③由c是方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，得ac2+bc+c＝0．當(dāng)c≠0，則ac+b+1＝0；當(dāng)c＝0，則ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正確．④，由b2﹣4ac＝，得．由x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則成立，那么④正確．綜上：正確的有①②④，共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題：（本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分）請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上.13．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（5，3）．【分析】二次函數(shù)的一般形式中的頂點(diǎn)式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常數(shù)），它的對(duì)稱軸是直線x＝h，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）．解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（5，3），故答案為：（5，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要是對(duì)一般形式中對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)的考查．14．已知x＝a是x2﹣3x﹣6＝0的根，則代數(shù)式7+6a﹣2a2的值為﹣5．【分析】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到a2﹣3a＝6，再把7+6a﹣2a2變形為7﹣2（a2﹣3a），然后利用整體代入的方法計(jì)算．解：∵x＝a是方程x2﹣3x﹣6＝0的根，∴a2﹣3a﹣6＝0，∴a2﹣3a＝6，∴7+6a﹣2a2＝7﹣2（a2﹣3a）＝7﹣2×6＝﹣5．故答案為：﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．15．如圖，已知鈍角三角形ABC，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)110°得到△AB′C′，連接BB′，若AC′∥BB′，則∠CAB′的度數(shù)為75°．【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BAB′＝∠CAC′＝110°，AB＝AB′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易得∠AB′B＝35°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠C′AB′＝∠AB′B＝35°，然后利用∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．解：∵將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)110°得到△AB′C′，∴∠BAB′＝∠CAC′＝110°，AB＝AB′，∴∠AB′B＝（180°﹣110°）＝35°，∵AC′∥BB′，∴∠C′AB′＝∠AB′B＝35°，∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝110°﹣35°＝75°．故答案為：75°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：掌握旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角是本題的關(guān)鍵．16．新新面粉廠現(xiàn)有小麥若干千克和面粉500千克準(zhǔn)備一邊繼續(xù)將小麥生產(chǎn)成面粉，一邊將生產(chǎn)好的面粉加工成面條，現(xiàn)將全部10名工人，分為A、B兩組，A組負(fù)責(zé)將小麥加工成面粉，B組負(fù)責(zé)將面粉加工成面條．已知每位工人每天可將100千克小麥生產(chǎn)成75千克面粉或?qū)?5千克面粉加工成50千克面條．生產(chǎn)m天后，面粉質(zhì)量與面條質(zhì)量之比為13：2，又生產(chǎn)了若干天后，小麥全部用完，此時(shí)面粉質(zhì)量與面條質(zhì)量之比為6：1，若繼續(xù)將所有面粉都加工成面條再出售，且每千克面條售出后可獲利3元，則所有面條售出后，新新面粉廠共可獲利39000元．【分析】設(shè)有x名工人分在A組，則有（10﹣x）名工人分在B組，根據(jù)題意列出方程求出m及x的值，設(shè)又生產(chǎn)了t天后，小麥全部用完，根據(jù)此時(shí)面粉質(zhì)量與面條質(zhì)量之比為6：1，列出關(guān)于t的方程，解方程求出t的值，進(jìn)而得出最后生產(chǎn)的面條質(zhì)量，即可求出答案．解：設(shè)有x名工人分在A組，則有（10﹣x）名工人分在B組，生產(chǎn)m天后，面粉質(zhì)量為：500+75mx﹣25m（10﹣x）（kg），面條質(zhì)量為：50m（10﹣x）（kg），∵生產(chǎn)m天后，面粉質(zhì)量與面條質(zhì)量之比為13：2，∴，∴x＝，∵m、x為正整數(shù)，且x＜10，∴7m﹣1為17的倍數(shù)，∴m＝5，∴x＝＝＝8，∴生產(chǎn)m天后，面粉質(zhì)量為：500+75mx﹣25m（10﹣x）＝500+75×5×8﹣25×5×（10﹣8）＝3250（kg），面條質(zhì)量為：50m（10﹣x）＝50×5×（10﹣8）＝500（kg），設(shè)又生產(chǎn)了t天后，小麥全部用完，此時(shí)面粉質(zhì)量與面條質(zhì)量之比為6：1，∴面粉質(zhì)量為：3250+75×8t﹣25t×（10﹣8）＝3250+600t﹣50t＝（3250+550t）（kg），面條質(zhì)量為：500+50t×（10﹣8）＝（500+100t）（kg），∴，解得：t＝5，∴最后生產(chǎn)面條質(zhì)量為：（3250+550×5）×2+500+100×5＝13000（kg），故所有面條售出后可獲利：13000×3＝39000（元），故答案為：39000．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意在不同條件下分別表示出面粉和面條的質(zhì)量，從而列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．三、解答題：（本大題共9個(gè)小題，17-18每小題8分，共16分、19-25每題各10分，共70分）請(qǐng)把答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的空白處，解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過(guò)程或推理步驟．17．計(jì)算：（1）x2+4x﹣5＝0；（2）（x﹣5）2＝16．【分析】（1）根據(jù)因式分解法解方程即可求解；（2）根據(jù)因式分解法解方程即可求解．解：（1）x2+4x﹣5＝0，（x+5）（x﹣1）＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1；（2）（x﹣5）2＝16，（x﹣5）2﹣16＝0，（x﹣5﹣4）（x﹣5+4）＝0，（x﹣9）（x﹣1）＝0，解得x1＝9，x2＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．18．計(jì)算：（1）（x﹣y）2﹣y（y﹣2x）；（2）÷（1﹣）．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則先計(jì)算乘方和乘法，然后合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)；（2）先將括號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行通分計(jì)算，然后再算括號(hào)外面的除法．解：（1）原式＝x2﹣2xy+y2﹣y2+2xy＝x2；（2）原式＝÷＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的混合運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的結(jié)構(gòu)，分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序（先算乘方，然后算乘除，最后算加減，有小括號(hào)先算小括號(hào)里面的）和計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．19．如圖，四邊形ABCD是矩形，連接AC、BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAO交BD于點(diǎn)E．（1）用尺規(guī)完成基本作圖：作∠ACD的角平分線交BD于點(diǎn)F，連接AF，EC；（保留作圖痕跡，不寫作法，不寫結(jié)論）（2）猜想四邊形AECF是哪種特殊四邊形，并完成下列證明．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝OC，AB∥CD．∴∠BAO＝∠DCO．∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO，∴∠EAO＝∠BAO，∠FCO＝∠DCO．∴∠EAO＝∠FCO．∵在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA）．∴OE＝OF．又∵AO＝CO，∴四邊形AECF是平行四邊形．【分析】（1）利用尺規(guī)作出圖形即可；（2）證明△AEO≌△CFO（ASA），推出OE＝OF，可得結(jié)論．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝OC，AB∥DC，∴∠BAO＝∠DCO，∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO，∴∠EAO＝∠BAO，∠FCO＝∠DCO．∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE＝OF，又∵AO＝CO，∴四邊形AECF是平行四邊形．故答案為：∠BAO＝∠DCO，∠EAO＝∠FCO，△AEO≌△CFO（ASA），OE＝OF，平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．20．閱讀與理解：法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)在研究一元二次方程時(shí)有一項(xiàng)重大發(fā)現(xiàn)：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根分別是x1和x2，那么，．例如：方程2x2+3x﹣5＝0的兩根分別是x1和x2，則，．請(qǐng)同學(xué)們閱讀后利用上述結(jié)論完成下列問(wèn)題：（1）已知方程3x2﹣7＝11x的兩根分別是x1和x2，則x1+x2＝，x1x2＝﹣．（2）已知方程x2+5x﹣3＝0的兩根分別是x1和x2，求的值．【分析】（1）將原方程轉(zhuǎn)化為一般形式，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出x1+x2及x1x2的值；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣3，再將其代入＝（x1+x2）2﹣2x1x2中即可求出結(jié)論．解：（1）∵原方程化為一般形式為3x2﹣11x﹣7＝0，∴a＝3，b＝﹣11，c＝﹣7，∵x1和x2是原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝﹣＝，x1x2＝＝﹣．故答案為：；﹣．（2）∵方程x2+5x﹣3＝0的兩根分別是x1，x2，∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣3，∴＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣5）2﹣2×（﹣3）＝31．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及數(shù)學(xué)常識(shí)，牢記“兩根之和等于﹣，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵．21．如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）在拋物線上存在一點(diǎn)P，使△ABP的面積為10，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝x2+bx+c得b、c的方程組，然后解方程即可；（2）設(shè)P（x，x2+2x﹣3），先解方程x2+2x﹣3＝0得B（﹣3，0），利用三角形面積公式得到?4?|x2+2x﹣3|＝10，然后解絕對(duì)值方程可確定P點(diǎn)坐標(biāo)．解：（1）根據(jù)題意得，解得，所以拋物線解析式為y＝x2+2x﹣3；（2）設(shè)P（x，x2+2x﹣3），當(dāng)y＝0時(shí)，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，則B（﹣3，0），A（1，0），∵△ABP的面積為10，∴?4?|x2+2x﹣3|＝10，解方程x2+2x﹣3＝5得x1＝﹣4，x2＝2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，5），（2，5）；方程x2+2x﹣3＝﹣5沒(méi)有實(shí)數(shù)解，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，5），（2，5）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．22．2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一開(kāi)售時(shí)，就深受大家的喜歡．某供應(yīng)商今年2月第一周購(gòu)進(jìn)一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一個(gè)冰墩墩的進(jìn)價(jià)比一個(gè)“雪容融”的進(jìn)價(jià)多40元，進(jìn)貨20個(gè)“冰墩墩”和30個(gè)“雪容融”的金額相同．（1）今年2月第一周每個(gè)“冰墩墩”和“雪容融”的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）今年2月第一周，供應(yīng)商以150元每個(gè)售出“冰墩墩”120個(gè)，以100元每個(gè)售出“雪容融”150個(gè)．第二周供應(yīng)商決定調(diào)整價(jià)格，每個(gè)“冰墩墩”的價(jià)格不變，每個(gè)“雪容融”的售價(jià)在第一周的基礎(chǔ)上下降了m元，由于冬奧賽事的火熱進(jìn)行，第二周“冰墩墩”的銷量比第一周增加了個(gè)，“雪容融”的銷量比第一周增加了m個(gè)，最終商家獲利6600元，求m．【分析】（1）設(shè)今年2月第一周每個(gè)“冰墩墩”的進(jìn)價(jià)是x元，每個(gè)“雪容融”的進(jìn)價(jià)是y元，根據(jù)一個(gè)冰墩墩的進(jìn)價(jià)比一個(gè)“雪容融”的進(jìn)價(jià)多40元且進(jìn)貨20個(gè)“冰墩墩”和30個(gè)“雪容融”的金額相同，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）利用總利潤(rùn)＝每個(gè)的銷售利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．解：（1）設(shè)今年2月第一周每個(gè)“冰墩墩”的進(jìn)價(jià)是x元，每個(gè)“雪容融”的進(jìn)價(jià)是y元，依題意得：，解得：．答：今年2月第一周每個(gè)“冰墩墩”的進(jìn)價(jià)是120元，每個(gè)“雪容融”的進(jìn)價(jià)是80元．（2）依題意得：（150﹣120）（120+m）+（100﹣m﹣80）（150+m）＝6600，整理得：m2﹣10m＝0，解得：m1＝10，m2＝0（不符合題意，舍去）．答：m的值為10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．23．對(duì)于各位數(shù)字均不相同的三位自然數(shù)m＝，交換百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字后得到m1＝，記F（m）＝，若F（m）能被5整除，則稱m為“五好數(shù)”．例如：621是“五好數(shù)”，因?yàn)镕（621）＝＝5，5能被5整除，所以621是“五好數(shù)”；743不是“五好數(shù)”，因?yàn)镕（743）＝＝4，4不能被5整除，所以743不是“五好數(shù)”．（1）判斷409、678是否是“五好數(shù)”？并說(shuō)明理由；（2）m是“五好數(shù)”，若a＞c且滿足|a﹣b|+|b﹣c|能被7整除，求出所有符合題意的m值．【分析】（1）由“五好數(shù)”的定義即可判斷；（2）根據(jù)m是“五好數(shù)”和a與c的取值范圍，求出a﹣c＝5，進(jìn)而求出a，c的值，根據(jù)1≤|a﹣b|≤9，1≤|b﹣c|≤9和|a﹣b|+|b﹣c|能被7整除，確定|a﹣b|+|b﹣c|為7或14進(jìn)而求解．解：（1）F（m）＝＝＝|a﹣c|，∵F（409）＝|4﹣9|＝5，5能被5整除，∴409為“五好數(shù)”，∵F（678）＝|6﹣8|＝2，2不能被5整除，∴678不是“五好數(shù)”；（2）∵1≤a≤9，1≤c≤9，a＞c，∴1≤|a﹣c|≤8，∵m是“五好數(shù)”，∴|a﹣c|能被5整除，∴a﹣c＝5，∴a＝9，c＝4或a＝8，c＝3或a＝7，c＝2或a＝6，c＝1，∵1≤|a﹣b|≤9，1≤|b﹣c|≤9，∴2≤|a﹣b|+|b﹣c|≤18，∵|a﹣b|+|b﹣c|能被7整除，∴|a﹣b|+|b﹣c|＝7或14，1°當(dāng)a＝9，c＝4時(shí)，|9﹣b|+|b﹣4|＝7或14，解得b＝3，此時(shí)m＝934，2°當(dāng)a＝8，c＝3時(shí)，|8﹣b|+|b﹣3|＝7或14，解得b＝2或9，此時(shí)m＝823或8933°當(dāng)a＝7，c＝2時(shí)，|7﹣b|+|b﹣2|＝7或14，解得b＝1或8，此時(shí)m＝712或782，4°當(dāng)a＝6，c＝1時(shí)，|6﹣b|+|b﹣1|＝7或14，解得b＝0或7，此時(shí)m＝601或671，綜上：所有符合題意的m值為601，671，712，782，823，893，934．【點(diǎn)評(píng)】本題以新定義為背景考查了學(xué)生們的閱讀能力，關(guān)鍵是能夠根據(jù)新定義列出關(guān)系式進(jìn)而求解．24．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l與拋物線交于點(diǎn)C，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)是（4，﹣3）．（1）求拋物線解析式；（2）點(diǎn)E是（1）中拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是（1）中拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)且位于直線AC上方．①試求△ACM的最大面積以及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；②在①的條件下求ME+EF+AF的最小值．（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，平面內(nèi)一點(diǎn)Q，使得以P、A、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為邊的矩形？如果存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）①過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸交AC于點(diǎn)N，設(shè)M（t，﹣t2+4t﹣3），則N（t，﹣t+1），可得S△ACM＝﹣（t﹣）2+，當(dāng)t＝時(shí)，△ACM的面積有最大值，此時(shí)M（，）；②過(guò)M點(diǎn)作MG⊥AC交于點(diǎn)G，交對(duì)稱軸于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，當(dāng)M、E、F、G四點(diǎn)共線時(shí)，ME+EF+AF有最小值，利用等積法S△ACM＝＝×AC×MG，求出MG＝，即為所求；（3）分兩種情況討論：當(dāng)P點(diǎn)在AC上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸交于點(diǎn)H，則有AG＝PG，設(shè)P（x，﹣x2+4x﹣3），Q（a，b），則x﹣1＝﹣x2+4x﹣3，求出P（2，1），再由BH＝HQ，得到﹣b＝a﹣3①，由AC＝PQ，得到3＝②，聯(lián)立①②求出Q（5，﹣2）；當(dāng)P點(diǎn)在直線AC的下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QK⊥x軸交于K點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作MN⊥x軸交于N點(diǎn)，過(guò)P作PM⊥MN交于M點(diǎn)，則有PM＝CM，即4﹣x＝﹣3﹣（﹣x2+4x﹣3），求出P（﹣1，﹣8），再由KQ＝AK，得到﹣b＝1﹣a，由QP＝AC，得到3＝，聯(lián)立求出Q（﹣4，﹣5）．解：（1）將A（1，0），C（4，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝﹣x2+4x﹣3；（2）①設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+1，過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸交AC于點(diǎn)N，設(shè)M（t，﹣t2+4t﹣3），則N（t，﹣t+1），∴MN＝﹣t2+4t﹣3+t﹣1＝﹣t2+5t﹣4，∴S△ACM＝×3×（﹣t2+5t﹣4）＝﹣（t﹣）2+，∴當(dāng)t＝時(shí)，△ACM的面積有最大值，此時(shí)M（，）；②∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，過(guò)M點(diǎn)作MG⊥AC交于點(diǎn)G，交對(duì)稱軸于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，∵直線AC的解析式為y＝﹣x+1，∴∠FAG＝45°，∴FG＝AF，∴ME+EF+AF＝ME+EF+FG≥MG，∴當(dāng)M、E、F、G四點(diǎn)共線時(shí)，ME+EF+AF有最小值，∵S△ACM＝＝×AC×MG，∴MG＝，∴ME+EF+AF的最小值為；（3）存在點(diǎn)P，使得以P、A、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為邊的矩形，理由如下：當(dāng)P點(diǎn)在AC上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸交于點(diǎn)H，∵∠BAC＝45°，∠PAC＝90°，∴∠PAG＝45°，∴