基于地震強度和能量控制的一般隨機地震動模型

PAGEPAGE16基于地震強度和能量控制的一般隨機地震動模型研究摘要：考慮地震荷載的隨機性和頻率與強度非平穩(wěn)性，通過理論分析，提出一般隨機地震動模型，并給出了確定模型參數(shù)的原則和方法。該模型以地震強度、地震能量以及地震持時等宏觀指標作為控制隨機地震動模型參數(shù)的指標，而對其內(nèi)在的頻譜組成等指標只要求滿足一般地震作用的特征。該模型可以用于描述平穩(wěn)隨機過程、強度非平穩(wěn)隨機過程以及強度和頻率完全非平穩(wěn)隨機過程。通過與常用功率譜模型的比較，驗證了該模型的合理性。關(guān)鍵詞：隨機地震動模型；非平穩(wěn)性；隨機過程；功率譜StudyonGeneralStochasticSeismicMotionModelBasedonEarthquakeIntensityandEnergyAbstract:Aversatile,stochasticseismicmotionmodelnamedgeneralstochasticseismicmotion(GSSM)modelaccountingforuncertaintyandtimevariationoffrequencycontentofrealseismicexcitationsisformulatedinthispaper.Theprincipleandmethodofdeterminingmodelparametersaregiven.Theearthquakeintensityandenergyareusedascontrollingindextodeterminingthemodelparameters.And,frequencycompositionisagreewiththecharacteristicofearthquake.GSSMmodelisappropriatetosimulatethestationary,intensitynonstationaryandfullynonsationaryprocess.Comparedwithconventionalpowerspectrummodel,therationalityofGSSMmodelisexaminedandcertified.1前言一般認為，在保證模型和計算方法精確性的前提下，采用地震記錄進行確定性分析可以較為精確地得到該實測地震激勵下的結(jié)構(gòu)實際地震反應(yīng)性狀，但對于該結(jié)構(gòu)在將來可能發(fā)生的地震作用下的實際反應(yīng)卻無法得到定量結(jié)果，即使根據(jù)地震記錄分析結(jié)果從經(jīng)驗上對將來地震反應(yīng)進行定性評價也可能出現(xiàn)非常大的偏差。因此，將地震荷載作為隨機過程考慮，用概率評價結(jié)構(gòu)體系在地震荷載激勵下具有何種程度的安全度則更為合理，這也是隨機地震反應(yīng)分析研究的意義所在。結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)分析中，合適的地震動模型以及輸入方式是抗震分析中非常重要也是首要解決的問題。眾所周知，任何一次地震作用都是不確定的，且具有顯著的非平穩(wěn)性。地震動的不確定性主要反映在地震動強度、頻譜成分以及持時三個方面。地震動的非平穩(wěn)性包括強度和頻率非平穩(wěn)兩個方面，主要體現(xiàn)為強度和頻譜組成的時間演變過程。隨機地震動模型研究自20世紀40年代以來得到了很大的發(fā)展[1－5]。但是，目前真正為工程所用的隨機地震動模型卻并不多，且這其中大多屬于平穩(wěn)或強度非平穩(wěn)隨機地震動模型[6-7]，而考慮頻率非平穩(wěn)的隨機地震動模型在實際工程中的應(yīng)用極為少見。其原因主要有以下幾個方面：①在工程結(jié)構(gòu)抗震分析中考慮地震動頻率非平穩(wěn)特性的必要性沒有得到公認；②地震動頻率成分的演變過程本身也是一個隨機過程，難以從現(xiàn)有的實測地震記錄中析??；③僅有的頻率非平穩(wěn)隨機地震動數(shù)學(xué)模型非常復(fù)雜，限制了工程應(yīng)用。工程結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)除了與地震強度有關(guān)外，與遭遇地震的頻譜成分也有很大的關(guān)系。若地震動的卓越頻率與結(jié)構(gòu)體系的基本頻率接近，則結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)較大。此外，在強烈地震激勵下，結(jié)構(gòu)體系的非線性性能顯著，結(jié)構(gòu)體系的振動特性也是一個與地震過程有關(guān)的隨機演變過程。若考慮地震過程的頻率非平穩(wěn)特性，且在地震作用的某一段時間，結(jié)構(gòu)體系的基本頻率與此時地震動的卓越頻率接近，則這段時間結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)顯然要大，盡管這段時間地震作用強度可能不是很大。因此，在工程結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)分析中考慮地震動的非平穩(wěn)特性是必要的，具有重要的現(xiàn)實意義。本文在前人研究成果的基礎(chǔ)上，從功率譜密度函數(shù)的物理意義出發(fā)，利用隨機過程理論，發(fā)展了一個可以描述平穩(wěn)、強度非平穩(wěn)以及強度和頻率完全非平穩(wěn)隨機過程的一般隨機地震動模型（GSSM），給出了模型參數(shù)的確定原則和方法，并以平穩(wěn)過程為例，通過與Kanai譜和馬爾柯夫譜進行比較，驗證了該模型的有效性和合理性。2隨機地震動過程功率譜密度函數(shù)的物理含義由隨機過程的定義及性質(zhì)可知：（1）式中，為一般隨機過程，分別為該隨機過程的樣本函數(shù)。由于地震的發(fā)生總是具有一定的時間段，設(shè)在地震作用時間內(nèi)有：（2）式中，為隨機地震過程。若將隨機過程看成與時間有關(guān)的隨機變量的集合，則對于隨機地震過程，式（1）改寫為：（3）式中，為隨機地震動過程；為時刻地震加速度隨機變量；為時刻地震加速度的第種可能取值；為可能取值元素的總個數(shù)。設(shè)時間段內(nèi)，地震加速度的可能取值恒定，則時間內(nèi)地震能量為：（4）整個地震過程中，地震的總能量應(yīng)為：，（5）則地震總能量的期望值可表示為：（6）由隨機過程理論可知，地震過程的總能量又可表示為：，隨機地震過程能量的期望值可以下式表示：（7）根據(jù)式（6）和式（7）可得：（8）(a)平穩(wěn)過程(b)非平穩(wěn)過程圖1功率譜密度函數(shù)的物理含義上式左邊項表示時刻地震作用能量。根據(jù)上式，則功率譜密度函數(shù)的物理含義可以理解為隨機地震過程某一時刻能量在頻域上的分布。顯然，若隨機地震過程為平穩(wěn)過程，則任意時刻的地震能量相同，功率譜可以某一確定性的頻率函數(shù)表示，此時隨機地震過程的功率譜密度函數(shù)在頻域內(nèi)圍成的面積與任意時刻地震能量相等，如圖1(a)所示；若隨機地震過程為非平穩(wěn)過程，各時刻地震能量不等，功率譜密度函數(shù)則變成一個不確定的、與時間和頻率均相關(guān)的函數(shù)，如圖1(b)所示。(a)平穩(wěn)過程(b)非平穩(wěn)過程圖1功率譜密度函數(shù)的物理含義此時，式（8）應(yīng)該寫成：（9）如此，則式（9）對于平穩(wěn)過程、強度非平穩(wěn)及強度和頻率完全非平穩(wěn)過程都是成立的。以上分析表明，在一定的情況下，當(dāng)或者時，式（9）中的功率譜密度函數(shù)則包含了一般隨機地震動過程的所有信息。也即，如果確定了任意時刻的功率譜密度函數(shù)，結(jié)構(gòu)在隨機地震動激勵下任意時刻的響應(yīng)則能夠通過現(xiàn)有的分析方法得到。3GSSM模型的基本假定及構(gòu)建實際上，地震作用是一個非常復(fù)雜的過程，任何一個數(shù)學(xué)模型都無法準確表達地震作用過程的所有特征。因此，本文首先對一般隨機地震過程做一些基本假設(shè)。然后，在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建一般隨機地震動的數(shù)學(xué)模型。3.1GSSM模型的基本假定1.一次地震作用過程為若干次隨機振蕩過程族，每次隨機振蕩過程為該時刻地震加速度隨機變量取值的過程；2.在時間段內(nèi)，地震加速度隨機變量所有可能取值構(gòu)成一個集合，且在時間段內(nèi)，集合元素相同，也即：（10）在這一假設(shè)的前提下，則式（6）中的最后一個等式必然成立；3.在時間段內(nèi)，地震加速度隨機變量的取值過程為均勻調(diào)制高斯過程，也即：（11）這里，為高斯平穩(wěn)隨機過程；4.地震作用時間內(nèi)，任意時刻地震加速度隨機變量的取值相互獨立。3.2GSSM模型的構(gòu)建根據(jù)以上假定，則一般隨機地震加速度過程可表示為：（12）式中，為時刻地震加速度隨機變量，；，；為時間調(diào)制函數(shù)。設(shè)時間段內(nèi)，地震加速度隨機變量的取值過程為高斯平穩(wěn)過程，其自相關(guān)函數(shù)可表示為：（13）則平穩(wěn)過程的功率譜密度函數(shù)為：（14）則有：（15）上式中，為高斯平穩(wěn)過程的頻率帶寬參數(shù)；為隨機過程的中心頻率參數(shù)。根據(jù)隨機過程理論，時間內(nèi)，地震能量期望值可表示為：故：（16）由此可以得到：（17）由于與時間有關(guān)，故、也應(yīng)該是時間的函數(shù)，假設(shè)和是時間的連續(xù)函數(shù)，則對于任意時刻，式（15）可以寫成以下形式：（18）根據(jù)式（17）和式（18），則地震加速度過程的演變功率譜密度函數(shù)可表示為：（19）此時，地震作用總能量為：（20）此外，由式（15）可知：（21）上式表明，式（19）所示的功率譜密度函數(shù)可能出現(xiàn)低頻部分失真的情況，對于頻帶較寬，而中心頻率較小的平穩(wěn)過程甚至可能出現(xiàn)嚴重失真的現(xiàn)象。為此，采用一階微分方程對上述平穩(wěn)過程進行過濾以削弱其低頻分量[4]。假設(shè)在作用下，過濾體反應(yīng)滿足以下一階方程：（22）則經(jīng)過濾后的演變功率譜密度函數(shù)可表示為：（23）圖2演變功率譜密度函數(shù)的低頻過濾式中，為頻響函數(shù)；為過濾特性參數(shù)。圖2為過濾前和過濾后功率譜密度函數(shù)（）。圖2演變功率譜密度函數(shù)的低頻過濾式（23）還可以表示成以下形式：（24）上式即為本文提出的能夠反映地震過程非平穩(wěn)特性的一般非平穩(wěn)隨機地震動模型。若式（24）中的為與時間無關(guān)的頻率函數(shù)，則隨機地震動模型退化為強度非平穩(wěn)模型；若為與時間無關(guān)的頻率函數(shù)，且為常數(shù)，則隨機地震動模型退化為平穩(wěn)隨機模型。因此，式（24）適用于平穩(wěn)過程、強度非平穩(wěn)過程及強度和頻率完全非平穩(wěn)過程，可表示為一般隨機地震動的功率譜密度函數(shù)。4確定GSSM模型參數(shù)的原則和方法式（23）表示的一般隨機地震動演變功率譜密度函數(shù)包含頻帶寬度參數(shù)、中心頻率參數(shù)、時間調(diào)制函數(shù)參數(shù)、時間參數(shù)和以及過濾特性參數(shù)等幾個待定參數(shù)。其中，頻帶寬度參數(shù)和中心頻率參數(shù)與地震作用時間有關(guān)，其他參數(shù)與時間無關(guān)，可取為常數(shù)。實際上，地震作用本身就是隨機的。從某種意義上講，確定隨機地震動模型參數(shù)與地震作用的隨機性是矛盾的。因此，根據(jù)以往的實測地震記錄，從細觀上準確定義模型參數(shù)以擬合實測地震記錄沒有多大的實際意義，且由于部分參數(shù)的相關(guān)性，要對多條地震記錄都要求滿意的擬合精度則幾乎不可能。相反地，若以地震強度、地震能量以及地震持時等宏觀指標作為控制隨機地震動模型參數(shù)的指標，而對其內(nèi)在的頻譜組成等指標只要求滿足一般地震作用的特征則更符合地震隨機性的特點。這也是本文確定一般隨機地震動模型參數(shù)的首要原則。此外，確定一般隨機地震動模型參數(shù)的另一個原則是要求模型參數(shù)容易確定以滿足便于工程應(yīng)用的要求?？紤]到大型工程都需要開展地震危險性分析，且地震危險性分析能夠給出基于一定的概率水平的一些關(guān)于未來地震強度、能量等一些宏觀指標。因此，一般隨機地震動模型參數(shù)的確定可在地震危險性分析的基礎(chǔ)上進行。當(dāng)然，當(dāng)?shù)氐膶崪y地震記錄也可作為確定模型參數(shù)的依據(jù)。4.1與時間無關(guān)參數(shù)的確定4.1.1時間調(diào)制函數(shù)參數(shù)的確定根據(jù)一般隨機地震動模型的定義過程，由式（16）可知，在一定時間段內(nèi)，時間調(diào)制函數(shù)值的平方與這期間的地震能量相等。因此，選定時間調(diào)制函數(shù)形式后，由地震記錄或地震危險性分析得到的人工地震加速度時程可確定時間調(diào)制函數(shù)的參數(shù)。目前，應(yīng)用較為廣泛的時間調(diào)制函數(shù)主要為指數(shù)型和分段型，分別如式（25）和（26）所示。（25）式中，、為均勻時間調(diào)制函數(shù)的包絡(luò)參數(shù)。（26）式中，、和分別為控制主震段首末時間和衰減快慢的參數(shù)。4.1.2.其他參數(shù)的確定一般隨機地震動模型適用于平穩(wěn)和非平穩(wěn)過程。根據(jù)式（20），一次地震作用的總能量與時間調(diào)制函數(shù)和地震持時有關(guān)。對于非平穩(wěn)過程，無論是強度非平穩(wěn)過程還是完全非平穩(wěn)過程，時間調(diào)制函數(shù)相同（如此則可以保證強度非平穩(wěn)過程與完全非平穩(wěn)過程的能量相同），因此，地震持時均可定義為整個地震作用時間。然而，對于平穩(wěn)過程，地震持時只能取平穩(wěn)段持時，平穩(wěn)段持時根據(jù)地震總能量確定，并保證平穩(wěn)過程的總能量與非平穩(wěn)過程的總能量相等。時間步長的大小直接影響了地震加速度隨機變量的取值過程。原則上，的確定應(yīng)盡量使隨機地震動模型包含加速度過程的所有信息，且要考慮計算工作量的影響。本文認為，在范圍內(nèi)取值較為合適。地震作用平穩(wěn)段，過濾特性參數(shù)的大小可根據(jù)地震實測記錄或加速度時程的功率譜確定，一般地，。4.2與時間有關(guān)參數(shù)的確定4.2.1.中心頻率參數(shù)的確定假設(shè)任意時間內(nèi)，基巖地震過程為平穩(wěn)白噪聲激勵經(jīng)基巖過濾后的平穩(wěn)過程，基巖為無阻尼體系，則該時間段內(nèi)基巖地震動的卓越頻率應(yīng)為基巖場地卓越頻率。設(shè)為基巖場地卓越頻率，基巖地震動功率譜密度的中心頻率為基巖地震動的卓越頻率。由此可以得到＝。由于：（27）式中：為基巖運動加速度方差；為基巖激勵的白譜強度。將式（16）和式（17）代入上式，得：（28）其中，為任意時間內(nèi)基巖地震能量期望值。由此可以得到：（29）上式中，可根據(jù)基巖目標時程得到；與震級和震中距有關(guān)，可根據(jù)文獻[8]確定。4.2.2.頻率帶寬參數(shù)的確定若基巖為無阻尼體系，則任意時間內(nèi)，基巖功率譜密度最大譜值即為基巖激勵的白譜強度。據(jù)此，將式（18）對頻率求導(dǎo)，且令，可得：（30）解之得：（31）將式（31）代入式(17)可得：（32）將式（29）代入式（32），有：（33）定義為非平穩(wěn)系數(shù)，則式（33）可以改寫為：（34）將式（29）代入式（34）則可以求得頻率帶寬參數(shù)。由式（29）和式（34）可知，若基巖地震動被視為完全非平穩(wěn)過程，則根據(jù)目標時程（或調(diào)制時程）和白譜強度可確定基巖演變功率譜模型中與時間有關(guān)的頻率帶寬參數(shù)與中心頻率參數(shù)，近而可構(gòu)建時－頻演變功率譜模型；若基巖地震動被視為平穩(wěn)過程，則在整個平穩(wěn)段持時內(nèi)有，，此時中心頻率參數(shù)和帶寬參數(shù)均與時間無關(guān)，基巖功率譜密度為時不變的；若基巖地震動被視為強度非平穩(wěn)過程，則基巖功率譜的頻率成分與平穩(wěn)過程功率譜頻率成分相同，其譜強度與時間有關(guān)，可由調(diào)制函數(shù)確定，則基巖時變功率譜密度便可得到。5.GSSM模型的驗證以平穩(wěn)過程為例，選取金井清譜（Kanai譜）和馬爾柯夫譜作為比較對象以驗證一般隨機地震動模型的有效性和合理性。Kanai譜為工程中常用的平穩(wěn)隨機地震動模型，其功率譜密度函數(shù)為：（35）式中，、分別為場地土層的卓越頻率和阻尼比，為基巖白噪聲譜強度。對于基巖場地，；。由式（35）可得：（36）(a)基巖地震動水平：1.0m/s2(b)基巖地震動水平：2.0m/s2(c)基巖地震動水平：3.0m/s2圖3功率譜密度的比較其中，為基巖地地震動加速速度方差，根根據(jù)隨機極極值理論有有：(a)基巖地震動水平：1.0m/s2(b)基巖地震動水平：2.0m/s2(c)基巖地震動水平：3.0m/s2圖3功率譜密度的比較（37）為峰值系數(shù)，本本文取。為基巖地地震動加速速度峰值，可可由烈度與與加速度峰峰值的統(tǒng)計計關(guān)系或地地震危險性性分析得到到。由公式式（35）和公式式（36）可得出出白噪聲譜譜強度。馬爾柯夫譜是在在基巖激勵勵為平穩(wěn)白白噪聲，基基巖為一次次無阻尼濾濾波器的假假定上得到到的，其功功率譜密度度函數(shù)為：：（338）為便于比較，這這里，基巖巖白譜強度度大小與式式（36）同。對于平穩(wěn)隨機過過程，一般般隨機地震震動模型功功率譜密度度函數(shù)中的的調(diào)制函數(shù)數(shù)，且為常函函數(shù)。同樣樣地，白譜譜強度與式式（36）同。選選取三個不不同的基巖巖地震動強強度水平進進行分析，分分別對應(yīng)加加速度峰值值為1.00m/s2、2.0mm/s2和3.0m/s2。則由式式（23）、（35）和式（38）得到的的功率譜密密度如圖33所示。馬爾柯夫譜是由由平穩(wěn)白噪噪聲經(jīng)一次次線性過濾濾所得，因因而從圖3可以看出出，其譜強強度隨頻率率的增大而而衰減，整整個頻域內(nèi)內(nèi)不存在峰峰值，即沒沒有卓越頻頻率，這不不符合實際際基巖地震震動的基本本特征。Kanaai譜被認為為是比較符符合地震動動基本特征征的隨機地地震模型，許許多功率譜譜模型均是是在其基礎(chǔ)礎(chǔ)上改進得得到，包括括工程中常常用的Penzziem譜。本文文提出的適適用于平穩(wěn)穩(wěn)過程的一一般隨機地地震動功率率譜模型形形狀上與Kanaai譜基本相相同，但是是，兩者之之間存在一一個顯著差差異。Kanaai譜的頻譜譜成分與地地震動的峰峰值沒有關(guān)關(guān)系，它僅僅在譜強度度上反映了了震級對地地震傳播過過程的影響響。而本文文一般隨機機地震動模模型的頻譜譜成分與地地震動強度度有關(guān)。圖圖3表明，地地震強度越越大，則地地震動的低低頻分量（長長周期成分分）越為顯顯著，這與與實測地震震記錄的規(guī)規(guī)律相符，反反映了震級級與基巖地地震動頻譜譜成分的內(nèi)內(nèi)在聯(lián)系。6結(jié)論本文從功率譜密密度函數(shù)的的物理意義義出發(fā)，利利用隨機過過程理論，發(fā)發(fā)展了一種種可以描述述平穩(wěn)和非非平穩(wěn)隨機機過程的一一般隨機地地震動模型型，模型參參數(shù)以地震震能量和強強度為控制制指標確定定。該模型型公式簡單單，可直接接由地震危危險性分析析結(jié)果或?qū)崒崪y地震記記錄得到演演變功率譜譜，便于工工程應(yīng)用。通通過與金井井清譜和馬馬爾柯夫譜譜的比較，驗驗證了該模模型描述平平穩(wěn)過程的的有效性和和合理性（非非平穩(wěn)性驗驗證及工程程應(yīng)用將另另文發(fā)表）。參考文獻[1]Houssner,,G.W.CCharaacterristiicsoofsttronggmottioneartthquaakes[[J].Bulll,seeismoologiicalSoc..ofAm.,,19447,337(1));199-31..[2]Kanaai,KK.Seemi-eempirricallforrmulaaforrtheeseiismiccchaaractterissticssofthegrouund[JJ].UUniv..