電容和電場能量

電容和電場能量第一頁，共十七頁，2022年，8月28日2、電容器電容的概念可推廣到一個導(dǎo)體系統(tǒng)上。讓我們考慮電荷各為+Q和-Q的二個導(dǎo)

+Q-QU2U1如果U1和U2分別為它們的電勢，則該系統(tǒng)的電容定義為

C=Q/(U1-U2)這種安排就構(gòu)成了一個所謂電容器。第二頁，共十七頁，2022年，8月28日例：無限大平行平面所構(gòu)成的電容器介質(zhì)中的電位移和電場分別為：

D=σ，E=σ/ε

兩平面導(dǎo)體之間的電勢差為：

U1-U2=Ed=σd/ε

如果S是金屬片的面積，可得Q=σS。則平板電容為：

C=Q/(U1-U2)=σS/σd/εC=εS/d+++++++++++Dεdσσ++σ高斯面第三頁，共十七頁，2022年，8月28日材料介電常數(shù)ε實(shí)用測量方法：先測量沒有介電材料時電容器的電容

Co=εoS/d再在兩平板之間填滿被測介質(zhì)而重測電容

C=εS/d于是得：C/Co=ε/εo=εr

所以兩電容之比就是放在兩平板之間材料的相對介電常數(shù)。根據(jù)電容的定義和串并聯(lián)的特點(diǎn)，同學(xué)們可證明電容器串聯(lián)和并聯(lián)公式：串聯(lián)公式：1/C=1/C1+1/C2+1/C3+…并聯(lián)公式：C=C1+C2+C3+…

第四頁，共十七頁，2022年，8月28日例7-8試求同心球形電容器的電容

(介質(zhì)為真空)解：兩導(dǎo)體之間的電場為

E=Q/4πεor2

ro

電極A、B之間電勢差為UA-UB=∫AB

E·dl

=∫RARBQ/4πεor2dr=Q(RB-RA)/4πεoRARB電容：C=Q/(UA-UB)

=4πεoRARB/(RB-RA)

若RB→∞，則C=4πεoRA，即為孤立導(dǎo)體球的電容。RARBAB+ε0QQ第五頁，共十七頁，2022年，8月28日EDUUABC討論；

1.電容計(jì)算之步驟：2.電容器之電容和電容器之結(jié)構(gòu)，幾何形狀、尺寸及介質(zhì)有關(guān)。

3.電容器是構(gòu)成各種電子電路的重要器件,也是電力工業(yè)中的一個重要設(shè)備。它的作用有整流、隔直、延時、濾波、分頻及提高功率因數(shù)等。第六頁，共十七頁，2022年，8月28日3.求此電容器之電容。1.用高斯定理求：2.求：UUAB；UUAB；[練習(xí)]一平行板電容器，其中填充了一層介質(zhì)，尺寸如圖，介質(zhì)的相對介電常數(shù)為D1D2,,+dd12ε0εrBCA+++++D1D2EE12σσεr。EE12,；第七頁，共十七頁，2022年，8月28日dd12ε0εrBCA+++++D1++++σσS第八頁，共十七頁，2022年，8月28日dd12ε0εrBCA+++++D1++++σσSsD=EdSσs.DdS上.DdS下.DdS側(cè).+++=+00DS=SD==σD111ε0

第九頁，共十七頁，2022年，8月28日εεdd1ε0εrBCA+++++D2++++σσSsD=EdSσs.DdS上.DdS下.DdS側(cè).+++=+00DS=SD==σD2220r2DdS上.2cos180o=2

第十頁，共十七頁，2022年，8月28日εεεε=UUABdlE.AC1dlE.CB2+ε0S=ε0σσε0σdlACdlCB+0rσ=dd12+C=UUABσrε0=dd12+S+dd12ε0εrBCA+++++D1D2EE12σrσ

第十一頁，共十七頁，2022年，8月28日二、電場能量

充電過程：電量0→Qt時刻：電容C帶電q，電勢為

U=q/C。

dq：∞→導(dǎo)體上，外力作功：

dA=Udq

導(dǎo)體上能量的增量dEe：

dEe=Udq=qdq/C

當(dāng)導(dǎo)體上的電荷由0→Q時，導(dǎo)體能量的總增量為：

Ee=∫oQqdq/C=Q2/2C=CU2/2=UQ/2第十二頁，共十七頁，2022年，8月28日Ee=Q2/2C=CU2/2=UQ/2

此式對電容器也成立，其中U改為電勢差U1-U2。對平板電容器：

C=εS/d,(U1-U2)=EdEe=C(U1-U2)2/2=(εS/d)(Ed)2/2=εE2Sd/2=εE2V/2

單位體積儲存在電場中的能量，即電場能量密度we

為

we=εE2/2=ED/2第十三頁，共十七頁，2022年，8月28日例7-9試證明半徑為R，帶電量為Q的球形導(dǎo)體在無限大介質(zhì)中(介電常數(shù)為ε)的電場能量為

Ee=∫εE2dV/2=Q2/8πεR。Rε++++++++++Q+證明：球形導(dǎo)體的電荷均勻分布在球體表面上，其電場分布為

E=0(r<R)E=Q/4πεr2(rR)在球體內(nèi)：電場能量為零

(因?yàn)镋=0)；第十四頁，共十七頁，2022年，8月28日在球體外：半徑為r，厚度為dr的薄層球殼中的能量為

dEe=E2dV/2=(Q/4r2)24r2dr/2=(Q2/8r2)

drdrrRε++++++++++Q因此，球形導(dǎo)體的電場能量為

Ee=∫dEe=∫R∞(Q2/8r2)

dr

=Q2/8R

根據(jù)電場在空間的分布，然而計(jì)算出空間中的總電場能量Ee，則可利用C=Q2/2Ee式來計(jì)算出電容器的電容值，這是計(jì)算電容的另一種方法。第十五頁，共十七頁，2022年，8月28日例7-10電子半徑的估計(jì)解：為了簡化我們的計(jì)算起見，我們假定電子是一個半徑為r的實(shí)心球體，帶有電荷-e，同時只是表面帶電。利用例7-9的結(jié)果，電子的電場能量(介質(zhì)為真空)為：

Ee=Q2/8or將這些能量看作是電子的靜能mec2，即：Q2/8or=mec2

因此，可求出電子的半徑為：

r=(1/2)(e2/4omec2)

第十六頁，共十七頁，2022年，8月28日

但是如果我們對電子的電荷分布采取不同