全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題解答(A卷)5

2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合比賽一試（A卷）一、填空題：本大題共8個(gè)小題，每題8分，共64分。2013A1、設(shè)會(huì)合A2,0,1,3,會(huì)合Bx|xA,2x2A，則會(huì)合B中所有元素的和為◆答案：5★分析：易得B3,2,1,0，考證即可得B3,2，所以所求為2352013A2、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A,B在拋物線y24x上，知足OAOB4，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，則OFA與OFB的面積之比為◆答案：2★分析：由題意得F1,0，設(shè)Ay12,y1，By22,y2，代入OAOB4得y1y28，44所以O(shè)FA與OFB的面積之比為1OF2y22y142013A3、在ABC中，已知sinA10sinBsinC，cosA10cosBcosC，則tanA的值為◆答案：11★分析：因?yàn)閟inAcosA10sinBsinCcosBcosC10cosBC10coAs，即tanA112013A4、已知正三棱錐PABC的底面邊長(zhǎng)為1，高為2，則其內(nèi)切球半徑為◆答案：26★分析：如圖，設(shè)球心O在面ABC和面ABP內(nèi)的射影分別是H和K，AB中點(diǎn)為M，內(nèi)切球半徑為r，則P,K,M共線，P,O,H共線，PHMPKO900，且OHOKr，POPHOH2r，MH3AB3,PMMH2PH21253,661262013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合比賽試題第1頁(yè)共8頁(yè)所以rOKsinKPOMH1,解得r22rOPMP562013A5、設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)axb知足：對(duì)隨意x[0,1]，都有f(x)1，則ab的最大值為◆答案：14★分析：由題意得af(1)f(0)，bf(0)21f2(1)1f2(1)所以abf(0)f(1)f(0)f(0)1f(1)1，當(dāng)且僅當(dāng)24442f(0)f(1)1，即ab1時(shí)，ab1，故所求最大值為1。2442013A6、從1,2,,20中任取5個(gè)不一樣的數(shù)，此中起碼有2個(gè)是相鄰數(shù)的概率為232◆答案：323★分析：記所取的5個(gè)數(shù)分別為a1,a2,a3,a4,a5，且a1a2a3a4a5。若這五個(gè)數(shù)互不相鄰，則1a1a21a32a43a5416，由此可知，從1,2,,20中取5個(gè)互不相鄰的數(shù)的取法和從1,2,,16中取5個(gè)不一樣的數(shù)的取法同樣即C165，故所求起碼有兩個(gè)數(shù)是相鄰的概率為C205C165232C2053232013A7、若實(shí)數(shù)x,y知足x4y2xy，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為◆答案：04,20★分析：令ya，xyb，明顯a0，b0，且xa2b2，x4y2xy即為a2b24a2b，亦為a22b125（a0，b0），以a,b為坐標(biāo)2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合比賽試題第2頁(yè)共8頁(yè)作圖如圖示，在平面內(nèi)，a,b的軌跡為以下圖的實(shí)線部分含原點(diǎn)O，所以aOba2b202,25，即xa2b204,20。2013A8、已知數(shù)列an共有9項(xiàng)，此中a1a01，且對(duì)每個(gè)iai111,2,,8，均有2,1,ai2則這樣的數(shù)列的個(gè)數(shù)為◆答案：491★分析：記ai1bi，i1,2,,8，則bi2,1,1b1b2b8a91ai2a1反之，若切合的8項(xiàng)數(shù)列bn能夠獨(dú)一確立一個(gè)切合題意條件的9項(xiàng)數(shù)列an。的bn有N個(gè)，明顯bii1,2,1，即2k個(gè)1記切合條件,8中有偶數(shù)個(gè)；既而有2k個(gè)2，224k個(gè)1，當(dāng)給定k的值時(shí)，bn有C82kC82k2k種，易得k只好取0,1,2，所以這樣的數(shù)列bn共有1C82C62C84C44491.故所求的數(shù)列個(gè)數(shù)為491。二、解答題：本大題共3小題，共56分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。2013A9、（此題滿分16分）給定正數(shù)數(shù)列xn知足Sn2Sn1，n2,3,，這里Snx1x2xn，證明：存在常數(shù)C0，使得xnC2n，n1,2,3,★證明：當(dāng)n2時(shí)，Sn2Sn1等價(jià)于xnx1x2xn1①對(duì)常數(shù)C1x1，我們用數(shù)學(xué)概括法證明：xnC2n，n1,2,3,②4當(dāng)n1時(shí)，明顯建立，又x2x1C22對(duì)n3，假定xkC2k，k1,2,,n1，由①式得xnx1x2xn1x1C22232n1C2n，所以，由數(shù)學(xué)概括法可得，結(jié)論②是建立的。綜上存在常數(shù)C0，使得xnC2n。2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合比賽試題第3頁(yè)共8頁(yè)2013A10、（此題滿分20分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的方程為x2y21(ab0)，22abA1,A2分別為橢圓的左右極點(diǎn)，F(xiàn)1,F2分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，P為橢圓上不一樣于A1,A2的隨意一點(diǎn).若平面中有兩個(gè)點(diǎn)Q,R知足QA1PA1,QA2PA2,RF1PF1,RF2PF2，試確立線段QR的長(zhǎng)度與b的大小關(guān)系，并給出證明?！锓治觯河沜a2b2，則A1a,0，A2a,0，F(xiàn)1c,0，F(xiàn)1c,0。設(shè)Px0,y0，Qx1,y1，Rx2,y2，則x02y021，y00，由QA1PA1，QA2PA2得22abA1QA1Px1ax0ay1y00，兩式相減得x1x0，代回解得y1x02a2，于是y0A2QA2Px2ax0ay2y00Qx0,x02a2，同理依據(jù)RF1PF1,RF2PF2可得Rx0,x02c2y0y0b2，故QRb（此中等號(hào)建立的充分必需條件是y0b，即所以QR，因?yàn)閥00,by0P0,b）2013A11、（此題滿分20分）設(shè)函數(shù)f(x)ax2b，求所有的正實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)，使得對(duì)隨意的實(shí)數(shù)x,y均有f(xy)f(xy)f(x)f(y)?！锓治觯阂阎纯勺兂桑篴x2y2baxybax2bay2b①先找尋a,b所知足的必需條件。①式中，令y0，的對(duì)隨意的x都有1bax2b2b0，因?yàn)閍0，故ax2能夠取到隨意大的正當(dāng)，所以必有1b0，即0b1。①式中，令yx，得ax4bbax22b，即對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，有aa2x42ab2x2bb20②2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合比賽試題第4頁(yè)共8頁(yè)2記g(x)aa2x42abx22bb2，即g(x)aa2x2bb22ab1a1a要g(x)0恒建立，則baa20，即0a1，0b1，2ab2③22ab1a0下邊證明對(duì)知足③的隨意實(shí)數(shù)對(duì)a,b及隨意實(shí)數(shù)x,y，總有①建立，令(,y)(aa2)x2y2a(1)(x2y2)2axy(2bb2)0恒建立，hxb事實(shí)上，在③建即刻，有a(1b)0，aa20，b22ab0，又x2y22xy，1a可得h(x,y)(aa2)x2y2a(1b)(x2y2)2axy(2bb2)(aa2)x2y2a(1b)(2xy)2axy(2bb2)(aa2)x2y22abxy(2bb2)b2b(aa2)xy122ab1aa綜上所述，知足條件的(a,b)為a,b0b1,0a1,2ab2。2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合比賽試題第5頁(yè)共8頁(yè)2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合比賽二試2013A一、（此題滿分40分）以下圖，AB是圓的一條弦，P為弧AB內(nèi)一點(diǎn)，E,F為線段AB上兩點(diǎn)，知足AEEFFB.連結(jié)PE,PF并延伸，與圓分別訂交于點(diǎn)C,D.求證：EFCDACBD（解題時(shí)請(qǐng)將圖畫在答卷紙上）★證明：連結(jié)AD,BC,CF,DE，因?yàn)锳EEFFB，從而BCsinBCEBE2①ACsinACEAE同理ADsinADFAF2②BDsinBDFBF又BCEBCPBDPBDF,ACEACPADPADF由①BCAD4,即BCAD4ACBD③②得ACBD又托勒密定理知ADBCACBDABCD④聯(lián)合③④得ABCD3ACBD即EFCDACBD2013A二、（此題滿分40分）給定正整數(shù)u,v，數(shù)列an的定義以下：a1uv，對(duì)整數(shù)m1，a2mamua1a2am（m1,2,），證明：數(shù)列Sn中有無(wú)量多項(xiàng)完整平a2m1am，記Smv方數(shù)?！镒C明：對(duì)正整數(shù)n，有Sn11a1(a2a3)(a4a5)(an12an11)uv2n2Sn122222013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合比賽試題第6頁(yè)共8頁(yè)所以Sn12n1(uv)2Sn1(uv)n2n1221設(shè)uv2kq，此中k是非負(fù)整數(shù)，q是奇數(shù)，取nql2，此中l(wèi)是知足lk1mod2的隨意正整數(shù)，此時(shí)S2n1q2l22k1ql2，注意到q是奇數(shù)，故k1ql2k1l2k1k12kk10mod2所以S2n1是完整平方數(shù)，因?yàn)閘的隨意性，故數(shù)列Sn中有無(wú)量多項(xiàng)完整平方數(shù)。2013A三、（此題滿分50分）一次考試共有m道試題，n個(gè)學(xué)生參加，此中m,n2為給定的整數(shù)，每道題的得分規(guī)則是：若該題恰有x個(gè)學(xué)生沒有答對(duì)，則每個(gè)答對(duì)該題的學(xué)生得x分，未答對(duì)的學(xué)生得0分.每個(gè)學(xué)生得總分為其m道題的得分總和.將所有的學(xué)生總分從高到低排列為P1P2Pn，求P1P2的最大可能值?！锓治觯簩?duì)隨意的k1,2,,m，設(shè)第k題沒有答對(duì)的有xk人，則第k題沒有答對(duì)的有nxk人，由得分規(guī)則知，這nxk在第k題均獲得xk分，記這n個(gè)學(xué)生的得分之和為S，則nmmm2PiSxk(nxk)nxkxki1i1k1k1m因?yàn)槊總€(gè)人在第k題上至多得xk分，故p1k1xk因?yàn)镻1P2Pn，故有Pnp1p2pnSP1n1n1所以P1PnP1SP1n2Sn1nP1n11n2m1mm2m1m2xknxkxk2xkxkn1k1n1k1k1k1n1k1m1m22由柯西不等式的xkxkk1mk12013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合比賽試題第7頁(yè)共8頁(yè)1m2于是，P1Pnxkm(n1)m(n1)m(n1)m(n1)k1另一方面，如有一個(gè)學(xué)生所有答對(duì)，其余n1個(gè)學(xué)生所有答錯(cuò)時(shí)，P1Pnm(n1)綜上所述，P1P2的最大可能值為m(n1)。2013A四、（此題滿分50分）設(shè)n,k為大于1n2k，證明：存在24個(gè)不被n整除的整數(shù)，的整數(shù)，若將他們隨意分紅兩組，則總有一組有若干個(gè)數(shù)的和被n整除?！镒C明：①當(dāng)n為2的冪的情況，設(shè)n2r，r1。取3個(gè)2r1及2k3個(gè)1，明顯這些書均不被n整除。將這2k個(gè)數(shù)隨意分紅兩組，則總有一組中含有2個(gè)2r1，它們的和為2r，被n整除。②當(dāng)n不是2的冪的情況，取2k個(gè)數(shù)1,1,2,22,,2k2,1,2,22,,2k1，因?yàn)閚不是2的冪，故上述2k個(gè)數(shù)均不被n整除。若可將這些數(shù)分紅兩組，使得每一組中隨意若干個(gè)數(shù)的和均不被n整除。不如設(shè)1在第一組，因?yàn)?10被n整除，故兩個(gè)1應(yīng)當(dāng)在第二組；又1120被n整除，故2應(yīng)當(dāng)在第二組；從而2在第二組。先概括假定1,2,,2l均在第一組，1,1,2,,2l均在第二組，這里1lk2，因?yàn)?12222k22k10被n整除，故2l1在第一組，從而2l1在第二組。故由數(shù)學(xué)概括法知，1,2,,2k2在第一組，