彈塑性力學習題集

彈塑性力學習題集————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期：第二章應力例題104ij030405求在n1e11e21e3面上的法向正應力和切向剪應力222?解11101(4)122T1l11m21n312222Tl12m22n10131032222Tl13m23n1(4)10152522222NT1lT2mT3n1(1131527222)222222222T12＋T22＋T33－N21274822例2如下圖的楔形體受水壓力作用，水的容重為，試寫出界限條解：在x=0上，l=1，m=0，XyY0(x)x=0(1)+(yx)x=00=y(xy)x=0(1)+(y)x=00=0(x)x=0=y(xy)x=0在斜邊上l=cos，m=sinxcosyxsin=0yxycosysin=0

例1如下圖，試寫出其界限條件。q(1)x0,us0u0,vhvs00xyxah(2)xa,l1,m0yX0,Y0l0,m1(4)yh,l(x)sm(xy)sXX0,Y0m(y)sl(xy)sY0(1)00,0xsxysxsxysys(1)xys00l0,m1(3)yh,0,0X0,Yqyxyssxs0xys(1)0ys(1)xys0qysq,xys0件。1x第四章本構關系例.一薄壁圓管，均勻半徑為R，壁厚為t，受內壓p作用，議論以下兩種情（1）管的兩頭是自由的；況：應力狀態(tài)為，z=0，=pR/t，r=0，zr=r=z=0（1）管的兩頭是自由的；1222（2）管的兩頭是關閉的；J2=[(zr)2+()2+(z)2)]r+6(zrrz6分別使用Mises和Tresca折服條件，議論p多大時管子開始折服（規(guī)定11=純剪時兩種折服條件重合）[2(pR/t)2]=(pR/t)263解：將Mises和Tresca中的資料常數(shù)k1和k2都使用純剪時的折服極限表示，13==pR/t并使得兩種折服條件重合，則有2關于Mises折服條件:22p3st/RMises折服條件:J2=J2=k2ssTresca折服條件:13=2s關于Tresca折服條件:13=k1=2sp=2st/R（2）管段的兩頭是關閉的；應力狀態(tài)為，z=pR/2t，=pR/t，r=0，zr=r=z=0例.一種資料在二維主應力空間中進行試驗，所得折服時的應力狀態(tài)為(1，2)=(3t，t)，假定此資料為各向同性，與靜水壓力沒關且拉壓折服應力相等。J2=1[(z2+(r2+(z)2+6(222z)]=13(pR/t)2（1）由上述條件推測在1－2空間中的各折服點應力。6r))zrr62（2）證明Mises折服條件在1－2空間中的曲線經過（a）中所有點。13==pR/t解：因為靜水壓力沒關的條件得出折服在以下各點會發(fā)生：(1，2，3)=(3t，t，0)+(3t，3t，3t)=(0，2t，3t)關于Mises折服條件：關于Tresca折服條件：

p=2st/R(，2，3)=(3t，t，0)+(t，t，t)=(2t，0，t)1p=2st/R還有，因為拉壓折服應力相等，因此可獲得1－2空間中的此外六個應力折服點再因為各向同性的條件，很簡單看出1－2空間中的以下五個應力：(A1，，)=(3t，t，0)點也是折服點323A：(，，)=(t，3t，0)1A2：(1，2，3)=(t，3t，0)423B3：(1，2，3)=(3t，2t，0)B1：(1，2，3)=(3t，2t，0)B4：(1，2，3)=(2t，3t，0)B2：(1，2，3)=(2t，3t，0)C：(，，3)=(2t，t，0)C1：(1，2，3)=(2t，t，0)312C4：(1，2，3)=(t，2t，0)C2：(1，2，3)=(t，2t，0)所以，依據這些點的數(shù)據，能夠作出在1－2空間中的折服面。簡單證明Mises折服條件2227t2經過以上所有折服點1212。議論:均衡方程為:hhPN12N2cos30033(132)幾何關系為:vv,hh113h3v3332v,24h41s2本構方程為:當s時，E當s時，sE1(s)sEs(1E1)1E

Psshh彈性解:當P足夠小時,三桿均處于彈33性狀態(tài),應力與應變?yōu)楸嚷?因為231故23144P(132)331(1)4因為12所以12,P桿1最初抵達塑性狀態(tài),當s時，1v1sh于是桁架開始出現(xiàn)塑性變形的載荷為P(133稱為彈性極限載荷．s)P114塑性解:1s,2s,PP2由基本方程可得P3E11(1E1)s3[E12(1E1)s]EEE1v(133)(1E1)(13)shh33h4E在P由零漸漸增添（單一加載）的過程中，桁架變形能夠分為三個不一樣的階段P例一薄壁圓管同時受拉,扭和內壓作用，有應力重量z,,z,泊松比1,求：2（１）當應力重量之間保持z23z比率從零開始加載，問z多大時開始進入折服？（２）開始折服后，持續(xù)給予應力增量，知足dz0及dz2d．求對應的dz及d值．分別對Mises和Tresca兩種折服條件進行剖析．

彈塑性解:hh331s,2s,PP1由基本方程可得PE11s(1E1)2E2cos300EEv(E133)(1E1)sPhE4Ev當2s時,即2s時,h桁架所有進入塑性狀態(tài)，對應的載荷為PEE2cos300E1vE1)s(11)ss(13211EhEhh33P在彈塑性階段，１桿固然進入塑性狀態(tài)，但因為其他兩桿仍處于彈性階段，１桿的塑性變形遇到限制，整個桁架的變形仍限制在彈性變形的量級，這個階段可稱為拘束的塑性變形階段．在塑性階段，三桿都進入塑性狀態(tài)，桁架的變形大于彈性變形量級．一般說來，所有的彈塑性構造在外力的作用下，都會有這樣三個變形的階段．Mises：折服準則為f1223220zzzsz23z代入上式獲得z12s13折服后，增量本構關系為：ddz9dz8G8Ezz將其睜開后得z2zf22()202zs2f2220szszzs6zs時達到折服．7將該式微分，得(s)dz(sz)d2zdz0第五章彈塑性力學識題的提法例題qxz

Tresca：2',"zz222z因為z23z2zz2z,01,2322所以，折服準則為：213zz2s22zdz1ddz2d(s)Ed1dzd2d(sz)Edz0dG2dz依據問題的對稱性，位移應不過z的函數(shù)w=w(z)體積應變是uvwdwxyzdz代入均衡微分方程2Gd2wg0dz2w112gzA2B2E1代表剛度位移，應由位移界限條件確立應力是習題5-1用逆解法求解圓柱體的扭轉問題x=y=g(z+A)z1z=g(z+A)xy=yz=zx=0Mz應用界限條件求待定常數(shù)LOzxyL=m=0,n=1XY0Zq界限條件是：Oyzyzz=0=qMzx解得：A=q/gx依據資料力學的方法,在圓拄體扭轉時,截面上發(fā)生與半界限條件(側面).XvzxnzYvzynMz徑垂直且與點到圓心的距離成正比率的剪應力GrZvxzlyzmL在圓柱側面上,有這里表示單位長度的扭轉角.將向Ox和Oy軸方向分解,OyXvYvZv0sinGrsinx,sinyxMzzx此中cosxycosGrcosmsin0zyrrlcos,,nrr假定其他的應力重量全為零,則將應力代入上邊,應力知足圓柱側面上的界限條件.zxGy,zyGx觀察圓柱的兩頭,在z=l處,l0,m0,n1xyzxy0界限條件變?yōu)?Xvzx上邊的解在體力為零時,是知足均衡微分方程的.Yvzy此刻校核能否知足界限條件.Zv0依據題設條件,作用于z=L端面上的外力Xv,Yv,Zv靜力上等效于扭矩M,而其詳細散布狀況是不清楚的,所以,對應力重量zx,zy,也只好從放松的意義上要求它們知足z=L這一端的界限條件,即:假如他們也靜力等效于扭矩M,則應力重量zx

Gy,zy

Gx就是圓柱體扭裝時的解xyzxy0事實上端面上的主矢投影為:zxdxdyGydxdy0zydxdyGxdxdy0端面上的主矩為:M(xzyyzx)dxdyG(x2y2)dxdyGIpMGIp第六章彈塑性平面問題例6.1設一簡支梁的中部上、下兩表面，在2a范圍內對稱地作用均布載荷q.(如圖6.7所示)。這樣梁的厚度為1個單位，不計體力，試求其應力重量。圖6.7局部受均布載荷簡支粱由圖6.7可知，所示載荷對稱于y軸，是x的偶函數(shù)，故式(1)的睜開式只含E0,G0及余弦項，此中1lqaqaE0G0(3)2lq(x)dx2ldxlla而系數(shù)En'可由載荷睜開式q(x)En'cosnx(4)n1l運用往常求富里葉系數(shù)的方法，兩邊乘以cosmx，并在區(qū)間[l,l]l積分，有'cosnxcosmxdx0(mn)llq(x)cosmxdxE'lln1lnll(mn)lEm由此可得Em'1lq(x)cosmxdxlll1lnx因為m為隨意整數(shù)，所以可換成n，于是得'q(x)cosdxEnlll同理也可得Gn'。sh()sh,ch()ch，則可得''nchntBn'Cn'0CnBnchntntshnt'En'shntntchnt(9)nshntAn2sh2nt2nt''nDnAnshttchtDn'2E'shtnnnnntnt2sh22nnn所以式(7)中的常數(shù)可所有確立，將式(9)代入式(7)，即得相應的應力重量，再加上式xxy0,yqa中由均布載荷而產生的應力，即得梁總的應力重量計算式。如ly的表達式為yqa4qsinna[(shntntchnt)chnyln(sh2ntn12nt)nyshntshny]cosnx

解：第一將載荷睜開為富里葉級數(shù)，最廣泛的狀況下，上部界限(yt)和下部界限(yt)的載荷分別表示為(q)ytE0EnsinnxE'cosnxulnln1n1(1)sinnxGn'cosnx(qd)ytG0Gnn1ln1l注意載荷實質作用地區(qū)為quqd0,(lxa，，axl)quqdq,(axa)(2)式中E0,G0表示整個梁的均勻散布載荷，式(1)中的所有系數(shù)均可用富里葉系數(shù)的公式求出。a01lq(x)dx2llan1lnxq(x)cosdxlllbn1lnxlq(x)sindxll將q(x)q代入上式可得''qacosnx2qn(5)EnGnadxsinallnl因為常數(shù)E0,G0,En',Gn,的存在，該問題可理解為上、下分別作用均布載荷E0G0qa，再加上后邊的三角級數(shù)所表示的載荷。l于是，能夠分別計算每一部分載