第5講半群和的定義性質(zhì)

第十章群與環(huán)-

半群和群的定義和性質(zhì)2015.09.212023/3/262主要內(nèi)容半群獨(dú)異點(diǎn)群2023/3/263半群定義10.1(1)：<S,°>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，其中S是非空集合，°是S上的一個(gè)二元運(yùn)算(運(yùn)算°是封閉的)，如果運(yùn)算°是

可結(jié)合的，即對(duì)任意的x,y,z∈S，

滿足(x°y)°z=x°(y°z)則稱(chēng)代數(shù)系統(tǒng)<S,°>為半群.2023/3/264例10.1<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>,<C,+>為半群設(shè)n>2,<Mn(R),+>,<Mn(R),·>為半群<P(B),>,<P(B),>,<P(B),>為半群A={a1,a2,...,an},n∈Z+,*為A上的二元運(yùn)算,?a,b∈A有ai*aj=ai,則A關(guān)于*運(yùn)算構(gòu)成半群Sk={x|x∈Z∧x≥k}，<Sk,+>為半群<Z+,->，<R,/>不是半群

2023/3/265例10.2Σ={a,b}，Σ+為所有由a,b組成的字符串

,“·”為字符串的連接運(yùn)算.則<Σ+,·>構(gòu)成半群。2023/3/266獨(dú)異點(diǎn)定義10.1(2)：設(shè)<S,°>是一個(gè)半群，若存在eS為S中關(guān)于運(yùn)算°的單位元,

則稱(chēng)<S,°>為幺半群，也叫做獨(dú)異點(diǎn)。(有時(shí)也把單位元標(biāo)明<S,°,e>)2023/3/267例10.1Sk={x|x∈Z∧x≥k}，<Sk,+>(k>0)？<S0,+>？

不是獨(dú)異點(diǎn)是獨(dú)異點(diǎn)2023/3/268例10.2Σ={a,b}，Σ+為所有由a,b組成的字符串,“·”為字符串的連接運(yùn)算.思考：半群<Σ+,·>是否做成獨(dú)異點(diǎn)？空串Σ*=Σ+{}<Σ*,·>構(gòu)成獨(dú)異點(diǎn)2023/3/269例10.3冪集<P(B),>是獨(dú)異點(diǎn)，單位元為<P(B),>？是獨(dú)異點(diǎn)，單位元為B

<P(B),>？是獨(dú)異點(diǎn)，單位元是2023/3/261010.4*αβγδζααβγδζββγδζαγγδζαβδδζαβγζζαβγδ是單位元可結(jié)合性在運(yùn)算表中無(wú)特殊體現(xiàn)11群(Group)定義10.1（3）：設(shè)<G,°>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，其中G是非空集合，°是G上一個(gè)二元運(yùn)算，如果(1).運(yùn)算°是封閉的(2).運(yùn)算°是可結(jié)合的(3).存在單位元e(4).對(duì)于每一個(gè)元素x∈G，存在著它的逆元x-1則稱(chēng)<G,°>是一個(gè)群2023/3/2612例10.1Sk={x|x∈Z∧x≥k}，<Sk,+>(k>0)？<S0,+>？

不是群不是群(大于1的整數(shù)無(wú)逆元）2023/3/2613例10.2Σ={a,b}，Σ+為所有由a,b組成的字符串,”·”為字符串的連接運(yùn)算.空串Σ*=Σ+{}<Σ*,·>思考：獨(dú)異點(diǎn)<Σ*,·>是否構(gòu)成群？(不是群，非空串無(wú)逆元)2023/3/2614例10.3冪集<P(B),>？(不是群:非空集無(wú)逆元)<P(B),>？(不是群:非全集無(wú)逆元)

<P(B),>？單位元和逆元?(是群:單位元是，每個(gè)元素的逆元是它自身)2023/3/2615例10.4(1-2)(1)

<Z,+>整數(shù)加群(2)<Zn,+n>模n整數(shù)加群

思考:<Zn,n>是不是群?Ans:不是群，0無(wú)逆元。2023/3/2616例10.4(3-6)(3)

<Mn(R),+>n階實(shí)矩陣加群(4)

<Mn(R),>n階實(shí)可逆矩陣乘法群；(5)所有行列式為1的n階實(shí)可逆矩陣關(guān)于矩陣乘法；(構(gòu)成群，因運(yùn)算封閉，結(jié)合，含單位元，存在逆且逆封閉。)2023/3/2617例10.5Klein四元群G={e,a,b,c}*eabceeabcaaecbbbceaccbae2023/3/2618例10.5(2)Klein四元群G={e,a,b,c}e=(0,0)a=(0,1)b=(1,0)c=(1,1)運(yùn)算o為逐分量模2加法,2023/3/2619群的等價(jià)定義定理

(等價(jià)定義)<G,°>,°可結(jié)合，若存在右單位元e，且每個(gè)元素a相對(duì)于e存在右逆元a’，則G是群.證明:封閉性可結(jié)合性單位元？逆元？2023/3/2620群的等價(jià)定義證明:證e為左單位元.?a∈G,有a°e=a,所以有e°e=e(e為右單位元)。設(shè)存在a’∈G,使得a°a’=e,代入得e°(a°a’)=a°a’.因?yàn)閍’∈G

,存在a’’∈G,使得a’°a’’=e上式兩邊右乘

a’’

得

e°a°a’°a’’=a°a’°a’’,而a’°a’’=e因此有e°a=a.

e是G中的單位元.證a’為a的左逆元，設(shè)a’a’’=ea’’=e°a’’=(a°a’)°a’’=a°(a’°a’’)=a°e=a2023/3/2621群的相關(guān)術(shù)語(yǔ)（定義10.2）平凡群只含單位元的群{e}有限群與無(wú)限群群G

的階

G的基數(shù)，通常有限群記為|G|交換群或阿貝爾（Abel）群2023/3/2622例10.6（交換群）(1)

<Z,+>無(wú)限群;(2)<Z6,+6>模6整數(shù)加群，階為6(3)<Z4,+4>模4整數(shù)加群，階為4(4)Klein四元群G={e,a,b,c}，階為4(5)<P(B),>群，階為|P(B)|2023/3/2623n次冪定義

設(shè)<S,*>是一個(gè)半群，xS,nZ+,定義的x的n次冪xn為:推廣到獨(dú)異點(diǎn)2023/3/2624n次冪實(shí)例在半群<Z,+>中,xZ,x的n次冪是在半群<P(B),>中,xP(B),x的n次冪是2023/3/2625n次冪（推廣到群）定義10.3設(shè)<G,*>是一個(gè)群，xG,n

Z,定義的x的n次冪xn為:2023/3/2626元素的階定義10.4設(shè)G是群，aG，元素a的階

|a|：使得ak=e成立的最小正整數(shù)k.記作|a|=k,也稱(chēng)a為k階元與群的階比較有限群的元素都是有限階，比群的階?。槿旱碾A的因子！?。。?；元素都是有限階的群不一定是有限群.2023/3/2627例10.6（元素的階）(1)

<Z,+>無(wú)限群，|0|=1(2)<Z6,+6>模6整數(shù)加群，元素的階(3)<Z4,+4>模4整數(shù)加群，元素的階(4)Klein四元群G={e,a,b,c}(5)<P(B),>群中元素的階2023/3/2628冪運(yùn)算的性質(zhì)定理10.1冪運(yùn)算規(guī)則(a-1)-1=a(ab)-1=b-1a-1

anam=an+m(an)m=anm

若G為Abel群，則(ab)n=anbn說(shuō)明：等式1和2證明用到逆元定義和唯一性等式3和4的證明使用歸納法并加以討論等式2可以推廣到有限個(gè)元素之積.2023/3/2629模n剩余類(lèi)設(shè)Z是整數(shù)集合，n是任意正整數(shù)，Zn是由模n的同余（剩余）類(lèi)組成的集合，在Zn上定義兩個(gè)二元運(yùn)算+n和n:[i],[j]Zn[i]+n[j]=[(i+j)modn][i]n[j]=[(ij)modn]2023/3/2630整數(shù)同余式定義（同余）：稱(chēng)整數(shù)a模正整數(shù)m同余于整數(shù)b，記為a≡b（modm）是指m|a-b,m稱(chēng)為模數(shù)。

m|a-ba=q1m+r且b=q2m+r，即a和b分別除以m有相同的余數(shù)。“同余”二字的來(lái)源就在于此。2023/3/2631同余關(guān)系相對(duì)于某個(gè)固定模數(shù)m的同余關(guān)系，是整數(shù)間的一種等價(jià)關(guān)系。具有等價(jià)關(guān)系的三點(diǎn)基本性質(zhì)：

自反性：對(duì)任意整數(shù)a有a≡a（modm）

對(duì)稱(chēng)性：如果a≡b(modm)則b≡a（modm）

傳遞性：如果a≡b(modm）b≡c（modm）則a≡c(modm)

全體整數(shù)集合Z可按模m（m>1）分成一些兩兩不交的等價(jià)類(lèi)，稱(chēng)之為同余類(lèi)或剩余類(lèi)。2023/3/2632整數(shù)模m同余類(lèi)共有m個(gè)，他們分別為{km+0},{km+1},…{km+(m-1)}，其中k∈Z，每一類(lèi)都可以選一個(gè)代表元，一般選這一類(lèi)中的最小的非負(fù)整數(shù)。于是稱(chēng)[0],[1],[2],…[m-1]為標(biāo)準(zhǔn)完全剩余系。Z模12的標(biāo)準(zhǔn)剩余系為：[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]同（剩）余類(lèi)2023/3/2633對(duì)于某個(gè)固定模m的剩余類(lèi)可以象普通的數(shù)那樣相加、相減和相乘：(1)a(modm)±b(modm)=(a±b)(modm)(2)a(modm)*b(modm)=a*b(modm)

消去率：對(duì)于ab≡ac（modm）來(lái)說(shuō)，若(a,m)＝1則b≡c(modm)剩余類(lèi)間的運(yùn)算2023/3/2634(1)<Zn,+n>模n整數(shù)加群(2)<Zn-{0},

n>關(guān)于模n乘法是否做成群？<Z3-{0},

3>

<Z4-{0},

4><Z5-{0},

5>

<Z6-{0},

6><Z7-{0},

7>

……剩余類(lèi)組成的群<Zn-{0},n>(n>1為素?cái)?shù)和合數(shù)兩種)2023/3/2635例：通過(guò)同余式演算證明560-1是56的倍數(shù)。解： 注意53=125≡13(mod56)

于是有56≡132≡

169≡1(mod56)

因此有560≡1(mod56)， 即有56∣560-1。剩余類(lèi)應(yīng)用舉例<Zn,+n>，<Zn,n>(令n為素?cái)?shù)和不為素?cái)?shù)兩種)2023/3/2636子半群(子獨(dú)異點(diǎn))定義：設(shè)<S,*>是一個(gè)半群，BS且*在B上是封閉的，那么<B,*>也是一個(gè)半群，通常稱(chēng)<B,*>是半群<S,*>的子半群;設(shè)<S,*>是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)，BS,eB且*在B上是封閉的，那么<B,*>也是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)，通常稱(chēng)<B,*>是獨(dú)異點(diǎn)<S,*>的子獨(dú)異點(diǎn)。半群S的子代數(shù)是S的子半群,獨(dú)異點(diǎn)S的子代數(shù)是S的子獨(dú)異點(diǎn)2023/3/2637子半群舉例A關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成半群<A,·>,且它是<M2(R),·>的

子半群,令,則V是<M2(R),·,I>的子獨(dú)異點(diǎn)，I是2階單位陣。

2023/3/2638子半群的交集定理10.3:若干子半群的非空交集仍為子半群；若干子獨(dú)異點(diǎn)的交集仍為子獨(dú)異點(diǎn).(只需證明封閉性)思考:若干子半群的并集是否仍然是子半群?Ans:不一定是。2023/3/2639同態(tài)和同構(gòu)半群與獨(dú)異點(diǎn)的同態(tài)和同構(gòu)半群f(xy)=f(x)f(y)獨(dú)異點(diǎn)f(xy)=f(x)f(y),f(e)=e’2023/3/2640同態(tài)的性質(zhì)定理:設(shè)f是從代數(shù)系統(tǒng)A到代數(shù)系統(tǒng)B的同態(tài)映射，則若A是半群(獨(dú)異點(diǎn))，則同態(tài)象f(A)也是半群(獨(dú)異點(diǎn))證:f(A)上運(yùn)算滿足結(jié)合律(f(a)f(b))f(c)=f(ab)f(c)=f((ab)c)=f(a(bc))=f(a)f(bc)=f(a)(f(b)f(c))，且f(a)f(e)=f(ae)=f(a)，f(e)f(a)=f(ea)=f(a),故f(e)=e’.2023/3/2641半群的同態(tài)性質(zhì)定理

設(shè)V=<S,?>為半群，V’=<SS,°>，°為映射復(fù)合，則V’也是半群，且存在V到V’的