第5講半群和的定義性質

第十章群與環(huán)-

半群和群的定義和性質2015.09.212023/3/262主要內容半群獨異點群2023/3/263半群定義10.1(1)：<S,°>是一個代數(shù)系統(tǒng)，其中S是非空集合，°是S上的一個二元運算(運算°是封閉的)，如果運算°是

可結合的，即對任意的x,y,z∈S，

滿足(x°y)°z=x°(y°z)則稱代數(shù)系統(tǒng)<S,°>為半群.2023/3/264例10.1<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>,<C,+>為半群設n>2,<Mn(R),+>,<Mn(R),·>為半群<P(B),>,<P(B),>,<P(B),>為半群A={a1,a2,...,an},n∈Z+,*為A上的二元運算,?a,b∈A有ai*aj=ai,則A關于*運算構成半群Sk={x|x∈Z∧x≥k}，<Sk,+>為半群<Z+,->，<R,/>不是半群

2023/3/265例10.2Σ={a,b}，Σ+為所有由a,b組成的字符串

,“·”為字符串的連接運算.則<Σ+,·>構成半群。2023/3/266獨異點定義10.1(2)：設<S,°>是一個半群，若存在eS為S中關于運算°的單位元,

則稱<S,°>為幺半群，也叫做獨異點。(有時也把單位元標明<S,°,e>)2023/3/267例10.1Sk={x|x∈Z∧x≥k}，<Sk,+>(k>0)？<S0,+>？

不是獨異點是獨異點2023/3/268例10.2Σ={a,b}，Σ+為所有由a,b組成的字符串,“·”為字符串的連接運算.思考：半群<Σ+,·>是否做成獨異點？空串Σ*=Σ+{}<Σ*,·>構成獨異點2023/3/269例10.3冪集<P(B),>是獨異點，單位元為<P(B),>？是獨異點，單位元為B

<P(B),>？是獨異點，單位元是2023/3/261010.4*αβγδζααβγδζββγδζαγγδζαβδδζαβγζζαβγδ是單位元可結合性在運算表中無特殊體現(xiàn)11群(Group)定義10.1（3）：設<G,°>是一個代數(shù)系統(tǒng)，其中G是非空集合，°是G上一個二元運算，如果(1).運算°是封閉的(2).運算°是可結合的(3).存在單位元e(4).對于每一個元素x∈G，存在著它的逆元x-1則稱<G,°>是一個群2023/3/2612例10.1Sk={x|x∈Z∧x≥k}，<Sk,+>(k>0)？<S0,+>？

不是群不是群(大于1的整數(shù)無逆元）2023/3/2613例10.2Σ={a,b}，Σ+為所有由a,b組成的字符串,”·”為字符串的連接運算.空串Σ*=Σ+{}<Σ*,·>思考：獨異點<Σ*,·>是否構成群？(不是群，非空串無逆元)2023/3/2614例10.3冪集<P(B),>？(不是群:非空集無逆元)<P(B),>？(不是群:非全集無逆元)

<P(B),>？單位元和逆元?(是群:單位元是，每個元素的逆元是它自身)2023/3/2615例10.4(1-2)(1)

<Z,+>整數(shù)加群(2)<Zn,+n>模n整數(shù)加群

思考:<Zn,n>是不是群?Ans:不是群，0無逆元。2023/3/2616例10.4(3-6)(3)

<Mn(R),+>n階實矩陣加群(4)

<Mn(R),>n階實可逆矩陣乘法群；(5)所有行列式為1的n階實可逆矩陣關于矩陣乘法；(構成群，因運算封閉，結合，含單位元，存在逆且逆封閉。)2023/3/2617例10.5Klein四元群G={e,a,b,c}*eabceeabcaaecbbbceaccbae2023/3/2618例10.5(2)Klein四元群G={e,a,b,c}e=(0,0)a=(0,1)b=(1,0)c=(1,1)運算o為逐分量模2加法,2023/3/2619群的等價定義定理

(等價定義)<G,°>,°可結合，若存在右單位元e，且每個元素a相對于e存在右逆元a’，則G是群.證明:封閉性可結合性單位元？逆元？2023/3/2620群的等價定義證明:證e為左單位元.?a∈G,有a°e=a,所以有e°e=e(e為右單位元)。設存在a’∈G,使得a°a’=e,代入得e°(a°a’)=a°a’.因為a’∈G

,存在a’’∈G,使得a’°a’’=e上式兩邊右乘

a’’

得

e°a°a’°a’’=a°a’°a’’,而a’°a’’=e因此有e°a=a.

e是G中的單位元.證a’為a的左逆元，設a’a’’=ea’’=e°a’’=(a°a’)°a’’=a°(a’°a’’)=a°e=a2023/3/2621群的相關術語（定義10.2）平凡群只含單位元的群{e}有限群與無限群群G

的階

G的基數(shù)，通常有限群記為|G|交換群或阿貝爾（Abel）群2023/3/2622例10.6（交換群）(1)

<Z,+>無限群;(2)<Z6,+6>模6整數(shù)加群，階為6(3)<Z4,+4>模4整數(shù)加群，階為4(4)Klein四元群G={e,a,b,c}，階為4(5)<P(B),>群，階為|P(B)|2023/3/2623n次冪定義

設<S,*>是一個半群，xS,nZ+,定義的x的n次冪xn為:推廣到獨異點2023/3/2624n次冪實例在半群<Z,+>中,xZ,x的n次冪是在半群<P(B),>中,xP(B),x的n次冪是2023/3/2625n次冪（推廣到群）定義10.3設<G,*>是一個群，xG,n

Z,定義的x的n次冪xn為:2023/3/2626元素的階定義10.4設G是群，aG，元素a的階

|a|：使得ak=e成立的最小正整數(shù)k.記作|a|=k,也稱a為k階元與群的階比較有限群的元素都是有限階，比群的階?。槿旱碾A的因子?。。。辉囟际怯邢揠A的群不一定是有限群.2023/3/2627例10.6（元素的階）(1)

<Z,+>無限群，|0|=1(2)<Z6,+6>模6整數(shù)加群，元素的階(3)<Z4,+4>模4整數(shù)加群，元素的階(4)Klein四元群G={e,a,b,c}(5)<P(B),>群中元素的階2023/3/2628冪運算的性質定理10.1冪運算規(guī)則(a-1)-1=a(ab)-1=b-1a-1

anam=an+m(an)m=anm

若G為Abel群，則(ab)n=anbn說明：等式1和2證明用到逆元定義和唯一性等式3和4的證明使用歸納法并加以討論等式2可以推廣到有限個元素之積.2023/3/2629模n剩余類設Z是整數(shù)集合，n是任意正整數(shù)，Zn是由模n的同余（剩余）類組成的集合，在Zn上定義兩個二元運算+n和n:[i],[j]Zn[i]+n[j]=[(i+j)modn][i]n[j]=[(ij)modn]2023/3/2630整數(shù)同余式定義（同余）：稱整數(shù)a模正整數(shù)m同余于整數(shù)b，記為a≡b（modm）是指m|a-b,m稱為模數(shù)。

m|a-ba=q1m+r且b=q2m+r，即a和b分別除以m有相同的余數(shù)?！巴唷倍值膩碓淳驮谟诖?。2023/3/2631同余關系相對于某個固定模數(shù)m的同余關系，是整數(shù)間的一種等價關系。具有等價關系的三點基本性質：

自反性：對任意整數(shù)a有a≡a（modm）

對稱性：如果a≡b(modm)則b≡a（modm）

傳遞性：如果a≡b(modm）b≡c（modm）則a≡c(modm)

全體整數(shù)集合Z可按模m（m>1）分成一些兩兩不交的等價類，稱之為同余類或剩余類。2023/3/2632整數(shù)模m同余類共有m個，他們分別為{km+0},{km+1},…{km+(m-1)}，其中k∈Z，每一類都可以選一個代表元，一般選這一類中的最小的非負整數(shù)。于是稱[0],[1],[2],…[m-1]為標準完全剩余系。Z模12的標準剩余系為：[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]同（剩）余類2023/3/2633對于某個固定模m的剩余類可以象普通的數(shù)那樣相加、相減和相乘：(1)a(modm)±b(modm)=(a±b)(modm)(2)a(modm)*b(modm)=a*b(modm)

消去率：對于ab≡ac（modm）來說，若(a,m)＝1則b≡c(modm)剩余類間的運算2023/3/2634(1)<Zn,+n>模n整數(shù)加群(2)<Zn-{0},

n>關于模n乘法是否做成群？<Z3-{0},

3>

<Z4-{0},

4><Z5-{0},

5>

<Z6-{0},

6><Z7-{0},

7>

……剩余類組成的群<Zn-{0},n>(n>1為素數(shù)和合數(shù)兩種)2023/3/2635例：通過同余式演算證明560-1是56的倍數(shù)。解： 注意53=125≡13(mod56)

于是有56≡132≡

169≡1(mod56)

因此有560≡1(mod56)， 即有56∣560-1。剩余類應用舉例<Zn,+n>，<Zn,n>(令n為素數(shù)和不為素數(shù)兩種)2023/3/2636子半群(子獨異點)定義：設<S,*>是一個半群，BS且*在B上是封閉的，那么<B,*>也是一個半群，通常稱<B,*>是半群<S,*>的子半群;設<S,*>是一個獨異點，BS,eB且*在B上是封閉的，那么<B,*>也是一個獨異點，通常稱<B,*>是獨異點<S,*>的子獨異點。半群S的子代數(shù)是S的子半群,獨異點S的子代數(shù)是S的子獨異點2023/3/2637子半群舉例A關于矩陣乘法構成半群<A,·>,且它是<M2(R),·>的

子半群,令,則V是<M2(R),·,I>的子獨異點，I是2階單位陣。

2023/3/2638子半群的交集定理10.3:若干子半群的非空交集仍為子半群；若干子獨異點的交集仍為子獨異點.(只需證明封閉性)思考:若干子半群的并集是否仍然是子半群?Ans:不一定是。2023/3/2639同態(tài)和同構半群與獨異點的同態(tài)和同構半群f(xy)=f(x)f(y)獨異點f(xy)=f(x)f(y),f(e)=e’2023/3/2640同態(tài)的性質定理:設f是從代數(shù)系統(tǒng)A到代數(shù)系統(tǒng)B的同態(tài)映射，則若A是半群(獨異點)，則同態(tài)象f(A)也是半群(獨異點)證:f(A)上運算滿足結合律(f(a)f(b))f(c)=f(ab)f(c)=f((ab)c)=f(a(bc))=f(a)f(bc)=f(a)(f(b)f(c))，且f(a)f(e)=f(ae)=f(a)，f(e)f(a)=f(ea)=f(a),故f(e)=e’.2023/3/2641半群的同態(tài)性質定理

設V=<S,?>為半群，V’=<SS,°>，°為映射復合，則V’也是半群，且存在V到V’的