山西省懷仁市大地學(xué)校高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考試題

山西省懷仁市大地學(xué)校2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考試題（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4.考試結(jié)束后，將答題卡交回。第Ⅰ卷一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.復(fù)數(shù)（位虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：42，43，46，52，42，50，若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都減5后所得數(shù)據(jù)，則A、B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是A.平均數(shù) B.標(biāo)準(zhǔn)差 C.眾數(shù) D.中位數(shù)3.已知一個三棱柱的高為3，如圖是其底面用斜二測畫法畫出的水平放置的直觀圖，其中，則此三棱柱的體積為A.2 B.4 C.6 D.124.已知非零向量，若，且，則的夾角為A. B. C. D.5.設(shè)為平面，為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是A.若∥，∥，則∥ B.若，∥，則

C.若，，則∥ D.若∥，，則6.已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為A. B. C. D.7.已知數(shù)據(jù)的方差為4，若，則新數(shù)據(jù)的方差為A.16 B.13 C.-8 D.-16.8.如圖是一個正方體的表面展開圖，則圖中“有”在正方體中所在的面的對面上的是A.者 B.事 C.竟 D.成9.已知向量不共線，，，若∥，則A.﹣12 B.﹣9 C.﹣6 D.﹣310.如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖，樣本數(shù)據(jù)共分3組，分別為[5，10），[10，15），[15，20].估計樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是A.14 B.15 C.16 D.1711.已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長為4，P是AA1中點，過點D1作平面，滿足CP⊥平面，則平面與正方體ABCD﹣A1B1C1D1的截面周長為A. B. C. D.12.若圓錐W的底面半徑與高均為1，則圓錐W的表面積等于A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13若復(fù)數(shù)滿足方程，則

.14如圖，在平行四邊形ABCD中，分別為AD，AB上的點，且，交于點.若，則的值為

.15.向量是單位向量，，，則16.如圖，在正方體中，點為線段的中點，設(shè)點在線段上，直線與平面所成的角為，則的最小值

，最大值

.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖.（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）分別求出成績落在[50，60）與[60，70）中的學(xué)生人數(shù)；18.（本小題滿分12分）如圖，在矩形中，和分別是邊AC和BC上的點，滿足，，若，其中∈R，求的值.19.（本小題滿分12分）已知在四面體中，，，點分別為棱上的點，且.（Ⅰ）當(dāng)時，求證：∥平面；（Ⅱ）當(dāng)變化時，求證：平面⊥平面.20.（本小題滿分12分）如圖，在棱長均為1的直三棱柱中，是的中點.

（1）求證：⊥平面

（2）求直線與平面所成角的正弦值.21.（本小題滿分12分）“肥桃”因產(chǎn)于山東省泰安市肥城市境內(nèi)而得名，已有1100多年的栽培歷史.明代萬歷十一年（1583年）的《肥城縣志》載：“果亦多品，惟桃最著名”.2016年3月31日，原中華人民共和國農(nóng)業(yè)部批準(zhǔn)對“肥桃”實施國家農(nóng)產(chǎn)品地理標(biāo)志登記保護.某超市在旅游旺季銷售一款肥桃，進價為每個10元，售價為每個15元銷售的方案是當(dāng)天進貨，當(dāng)天銷售，未售出的全部由廠家以每個5元的價格回購處理.根據(jù)該超市以往的銷售情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）估算該超市肥桃日需求量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）已知該超市某天購進了150個肥桃，假設(shè)當(dāng)天的需求量為x個（x∈N，0≤x≤240），銷售利潤為y元.（?。┣髖關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（ⅱ）結(jié)合上述頻率分布直方圖，以頻率估計概率的思想，估計當(dāng)天利潤y不小于650元的概率.22.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，⊥平面，，，分別是的中點.（1）求證：∥平面；（2）若異面直線與所成的角為，求三棱錐的體積.大地學(xué)校高一數(shù)學(xué)第三次月考試題答案一、單選題（本大題共12小題，共60分）復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，直接由復(fù)數(shù)求出在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)得答案．【解答】解：復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為：，位于第四象限．

故選D．2在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：42，43，46，52，42，50，若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都減5后所得數(shù)據(jù)，則A、B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是（）A．平均數(shù)B．標(biāo)準(zhǔn)差C．眾數(shù)D．中位數(shù)【分析】根據(jù)樣本A，B中數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，結(jié)合眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)樣本A中的數(shù)據(jù)為xi，則樣本B中的數(shù)據(jù)為yi＝xi﹣5，則樣本數(shù)據(jù)B中的眾數(shù)和平均數(shù)以及中位數(shù)和A中的眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)相差5，只有標(biāo)準(zhǔn)差沒有發(fā)生變化，故選：B．3已知一個三棱柱的高為3，如圖是其底面用斜二測畫法畫出的水平放置的直觀圖，其中，則此三棱柱的體積為A.2

B.4

C.6

D.12【答案】C【解析】【分析】本題考察直觀圖與原圖的關(guān)系，以及棱柱的體積公式，屬于基礎(chǔ)題．

依據(jù)直觀圖可知原圖的底面三角形的底邊長為2，高為2，可求出柱體的底面面積，再依據(jù)棱柱體積公式可求出答案．【解答】解：設(shè)三棱柱的底面三角形為，由直觀圖可知，，

且，，

故．

故答案選C．4已知非零向量，，若，且，則與的夾角為A.B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了向量的數(shù)量積，考查了向量垂直的關(guān)系，考查了向量夾角的求解本題的關(guān)鍵是由垂直求出數(shù)量積為0．由向量垂直可得，結(jié)合數(shù)量積的定義表達(dá)式可求出，又，從而可求出夾角的余弦值，進而可求夾角的大小．【解答】解：因為，

所以，因為，

所以，

．故選：B．5設(shè)為平面，a，b為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則【答案】B【解析】【分析】本題考查命題的真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．利用空間線線、線面、面面間的關(guān)系對每一個選項逐一分析判斷得解．【解答】解：若，，則a與b相交、平行或異面，故A錯誤；若，，則由直線與平面垂直的判定定理知，故B正確；若，，則或，故C錯誤；若，，則，或，或b與相交，故D錯誤．故選：B．6已知圓錐的頂點為P，母線PA，PB所成角的余弦值為，PA與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為A.B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查線面角的概念、三角形面積公式、圓錐的體積公式，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力、運算求解能力．設(shè)底面半徑為，根據(jù)線面角的大小可得母線長為2r，再根據(jù)三角形的面積得到r的值，最后代入圓錐的體積公式，即可得答案．【解答】解：如圖所示，設(shè)底面半徑為，與圓錐底面所成角為，，，母線PA，PB所成角的余弦值為，，，，故選：C．7已知數(shù)據(jù)的方差為4，若，則新數(shù)據(jù)的方差為A.16B.13C.D.【答案】A【解析】【分析】本題考查利用方差的性質(zhì)求解方差的問題，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)方差的性質(zhì)直接計算可得結(jié)果．【解答】解：由方差的性質(zhì)知：新數(shù)據(jù)的方差為：．故選：A．8．如圖是一個正方體的表面展開圖，則圖中“有”在正方體中所在的面的對面上的是（）A．者B．事C．竟D．成【分析】直接把正方體的展開面圖復(fù)原為空間圖，進一步求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)正方體的表面展開圖，復(fù)原成正方體．如圖所示：其中“者”在最里面，“有”在最外面．構(gòu)成對面關(guān)系．故選：A．9．已知向量不共線，，，若，則m＝（）A．﹣12B．﹣9C．﹣6D．﹣3【分析】由向量平行的性質(zhì)得3+＝λm+λ（m+2），由此能求出m．【解答】解：∵向量不共線，，，，∴3+＝λm+λ（m+2），∴，解得λ＝﹣1，m＝﹣3．故選：D．10．如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖，樣本數(shù)據(jù)共分3組，分別為[5，10），[10，15），[15，20]．估計樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是（）A．14B．15C．16 D．17【分析】由頻率分布直方圖，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)列方程求出即可．【解答】解：由頻率分布直方圖知，第1組的頻率為0.04×5＝0.2，第2組的頻率為0.10×5＝0.5，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是x，則0.2+0.10（x﹣10）＝0.6，解得x＝14，所以估計樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是14．故選：A．11．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長為4，P是AA1中點，過點D1作平面α，滿足CP⊥平面α，則平面α與正方體ABCD﹣A1B1C1D1的截面周長為（）A．4B．12 C．8D．8【分析】取AD中點E，AB中點F，連接PD，D1E，EF，B1F，B1D1，AC，先證明E，F(xiàn)，B1，D1四點共面，再由EF⊥CP，D1E⊥CP證明CP⊥平面EFB1D1可知平面EFB1D1為平面α與正方體ABCD﹣A1B1C1D1的截面，根據(jù)正方體的棱長即可求得EFB1D1的周長．【解答】解：取AD中點E，AB中點F，連接PD，D1E，EF，B1F，B1D1，AC，如下圖所示：E為AD中點，F(xiàn)為AB中點，則EF∥BD，BD∥B1D1所以EF∥B1D1所以E，F(xiàn)，B1，D1四點共面．根據(jù)正方形性質(zhì)可知CD⊥平面ADD1A1，而D1E?平面ADD1A1，所以CD⊥D1E，A△D1DE≌△DAP，可知∠ED1D＝∠PDA，而∠PDA+∠PDD1＝90°，所以∠ED1D+∠PDD1＝90°，即PD⊥D1E為CD∩PD＝D，所以D1E⊥平面PDC，而CP?平面PDC，所以D1E⊥CP；E為AD中點，F(xiàn)為AB中點，由正方形和正方體性質(zhì)可知EF⊥AC，PA⊥EF，且PA∩AC＝A，所以EF⊥平面PAC，而CP?平面PDC，所以EF⊥CP，又因為D1E⊥CP，D1E∩EF＝E所以CP⊥平面EFB1D1即平面EFB1D1為平面α與正方體ABCD﹣A1B1C1D1的截面，正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長為4所以EFB1D1的周長為B1D1+D1E+EF+B1F＝＝，故選：A．12．若圓錐W的底面半徑與高均為1，則圓錐W的表面積等于（）A． B．C．2π D．【分析】求出圓錐的母線長，再計算圓錐的側(cè)面積和表面積．【解答】解：圓錐的軸截面如圖所示，則圓錐的母線為l＝＝，所以該圓錐的側(cè)面積為S側(cè)面積＝πrl＝π?1?＝π，圓錐的表面積為S表面積＝S側(cè)面積+S底面積＝π+π?12＝（+1）π．故選：A．二、填空題（本大題共4小題，共20分）13若復(fù)數(shù)z滿足方程，則．【答案】【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的計算，屬基礎(chǔ)題．根據(jù)題意可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法可得結(jié)果．【解答】解：由，則，所以，

所以，故答案為：14如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為AD，AB上的點，且，MN交于點若，則的值為．【答案】【解析】【分析】本題考查平面向量共線定理的推論，涉及向量的線性運算，屬基礎(chǔ)題．

用向量表示，結(jié)合三點共線，即可求得參數(shù)值．【解答】解：根據(jù)題意，

，因為三點共線，

所以，解得．故答案為．15．向量是單位向量，||＝2，⊥，則||＝．【分析】由題意可得，進行向量的模的運算帶入求值即可得答案．【解答】解：∵?；∴||＝＝．故答案為：．16如圖，在正方體中，點O為線段BD的中點，設(shè)點P在線段上，直線OP與平面所成的角為，則的最小值，最大值．

【答案】,11【解析】【分析】此題考查正方體的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系，線面角的求法，考查推理能力，屬于中檔題。由題意，直線OP與平面所成的角的最小值為和中的最小者，然后利用正方體的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系，求出的取值范圍，再確定其最值【解答】解：連接，，

因為，平面，所以平面，

又平面所以平面平面，所以直線OP與平面所成的角的最小值為和中的最小者，不妨設(shè)，在中，，，所以的取值范圍為，所以的最小值為，最大值為1，故答案為：；1．三、解答題（本大題共6小題，共70分）22(10分）．20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）分別求出成績落在[50，60）與[60，70）中的學(xué)生人數(shù)；【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出a的值；（2）由圖可知，成績在[50，60）和[60，70）的頻率分別為0.1和0.15，用樣本容量20乘以對應(yīng)的頻率，即得對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，從而求出所求．【解答】解：（1）根據(jù)直方圖知組距＝10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10＝1，解得a＝0.005．（2）成績落在[50，60）中的學(xué)生人數(shù)為2×0.005×10×20＝2，成績落在[60，70）中的學(xué)生人數(shù)為3×0.005×10×20＝3．17（12分）如圖，在矩形OACB中，E和F分別是邊AC和BC上的點，滿足，，若，其中，R，求，的值．【答案】解：因為，，

在矩形OACB中，，

又，

所以，，

所以．【解析】本題考查平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意得出，則，由此即可求出結(jié)果．18（12分）．已知在四面體ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，點E，F(xiàn)，G，M分別為棱AD，BD，DC，BC上的點，且BM＝MC，DF＝2FB，DG＝2GC，AE＝λAD（0≤λ≤1）．（Ⅰ）當(dāng)λ＝時，求證：AM∥平面EFG；（Ⅱ）當(dāng)λ變化時，求證：平面ADM⊥平面EFG．【分析】（Ⅰ）當(dāng)λ＝時，，推導(dǎo)出EF∥AB，EG∥AC，從而平面ABC∥平面EFG，由此能證明AM∥平面EFG．（Ⅱ）推導(dǎo)出AM⊥BC，DM⊥BC，BC∥GF，從而BC⊥平面ADM，GF⊥平面ADM，由此能證明當(dāng)λ變化時，平面ADM⊥平面EFG．【解答】證明：（Ⅰ）當(dāng)λ＝時，，∵四面體ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，點E，F(xiàn)，G，M分別為棱AD，BD，DC，BC上的點，BM＝MC，DF＝2FB，DG＝2GC，∴EF∥AB，EG∥AC，又EF∩EG＝E，AB∩AC＝A，∴平面ABC∥平面EFG，∵AM?平面ABC，∴AM∥平面EFG．（Ⅱ）∵AB＝AC，DB＝DC，點E，F(xiàn)，G，M分別為棱AD，BD，DC，BC上的點，BM＝MC，DF＝2FB，DG＝2GC，AE＝λAD（0≤λ≤1）．∴AM⊥BC，DM⊥BC，BC∥GF，∵AM∩DM＝M，∴BC⊥平面ADM，∵GF∥BC，∴GF⊥平面ADM，∵GF?平面EFG，∴當(dāng)λ變化時，平面ADM⊥平面EFG．19（12分）如圖，在棱長均為1的直三棱柱中，D是BC的中點．

求證：平面

求直線與平面所成角的正弦值．

【答案】證明：直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，

，

，D是BC的中點，

，

又，BC、平面，

平面．

解：如圖，連接，

由可知，平面，

則即為直線與平面所成角，

因為平面，平面，

所以，

在中，，，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為．【解析】本題考查線面垂直的判定，直線與平面所成角，屬于中檔題．

由題意，可得到，并且，從而由線面垂直的判定定理可得到平面；

連接，可得到為直線和平面所成角，即可得解．本題考查線面垂直的判定，直線與平面所成角，屬于中檔題．

由題意，可得到，并且，從而由線面垂直的判定定理可得到平面；

連接，可得到為直線和平面所成角，即可得解．20（12分）“肥桃”因產(chǎn)于山東省泰安市肥城市境內(nèi)而得名，已有1100多年的栽培歷史．明代萬歷十一年（1583年）的《肥城縣志》載：“果亦多品，惟桃最著名”.2016年3月31日，原中華人民共和國農(nóng)業(yè)部批準(zhǔn)對“肥桃”實施國家農(nóng)產(chǎn)品地理標(biāo)志登記保護．某超市在旅游旺季銷售一款肥桃，進價為每個10元，售價為每個15元銷售的方案是當(dāng)天進貨，當(dāng)天銷售，未售出的全部由廠家以每個5元的價格回購處理．根據(jù)該超市以往的銷售情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）估算該超市肥桃日需求量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）已知該超市某天購進了150個肥桃，假設(shè)當(dāng)天的需求量為x個（x∈N，0≤x≤240），銷售利潤為y元．（?。┣髖關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（ⅱ）結(jié)合上述頻率分布直方圖，以頻率估計概率的思想，估計當(dāng)天利潤y不小于650元的概率．【分析】（1）先利用各組頻率之和為1，求出a的值，再利用每組區(qū)間的中點值乘以該組的頻率依次相加，即可估算出平均數(shù)；（2）（i）分情況討論，得到y(tǒng)關(guān)于x的分段函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式即可；（ii）利潤y≥650，當(dāng)且僅當(dāng)日需求量x∈[140，240]．由頻率分布直方圖求出x∈[140，240]的頻率，以頻率估計概率的思想，能估計當(dāng)天利潤y不小于650元的概率．【解答】解：（1）由題意可知：（0.00125+a+0.0075+0.00625+a+0.0025）×40＝1，解得a＝0.00375；所以平均數(shù)＝（20×0.00125+60×0.00375+100×0.0075+140×0.