高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.5向量的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案蘇教版必修4課件

2.5向的用課導(dǎo)三剖1.數(shù)問題的向量方法【例1】如右圖平行四邊形中，已知AD=1，AB=2，對(duì)角線BD=2.求對(duì)角線AC的長思分：題要求線段長度問題，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模來解.解設(shè)

AD

=a，

AB

=b，

BD

=a-b，

=a+b.而

BD

|=|a-b|=

|2b|

∴|又

BD

|=5-2a·（）|=|a+b|=a·b+b=|a|+2a·b+|b|·b.由（*）得2a·，∴|

|=6,∴|

|=

,即

=

.溫提在解決本題中不用解斜三角形用向量的數(shù)量積及模的知識(shí)解決過程中采取整體代入，使問題解決簡捷明.2．物理問題中的向量方法【例2】如甲所示，在細(xì)繩O處水平力緩拉起所受重力為G的物體，繩子與鉛垂方向的夾角為，繩子所受到的拉力為F，：甲(1)|F|、|隨角θ的變化而變化的情況；（）|F|≤2|G|時(shí)，角取值范.思分：題主要是利用向量加法的平行四邊形法則解決物理問.1

乙解1如圖乙所示，由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則知G=F+F.解直角三角形得|F|=

|G

F|當(dāng)從0°向于90°時(shí)|F|、|F|皆漸增大|G（）||=≤2|G|cos得cos≥

12

,又0°≤<90°,∴0°≤≤60°.溫提在解決力的合成、力的分解問題時(shí)，一般是利用向量的平行四邊形法則解.3.向方法的綜合應(yīng)用【例3】已知兩恒力F（，（，）作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A（，）動(dòng)到點(diǎn)B（，）試：（）F，F(xiàn)分對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功；（）F，F(xiàn)的力對(duì)質(zhì)所做的.思分：題利用向量數(shù)量積知識(shí)解決物理中的功問題于給出各分力的坐標(biāo)用坐標(biāo)法計(jì)算，首先求出位移的坐標(biāo)，代入·s公式即可解

AB

=（，）（，）（，）（）W=F·

AB

=（3，）·（-13，-15）=3×(-15)=-99(),=F·=（6，-5）·，-15）=6×(-13)+(-5)×(焦.（）W=F·

AB

=（F+F）·

AB

=［(3,4)+(6,-5)］·（-13，）（，-1）·-13-15-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦.溫提力對(duì)物體所做的功實(shí)際是力與位移的數(shù)量積，即W=F·s，用坐標(biāo)運(yùn)算，應(yīng)當(dāng)注意首先求出位移s這向量的坐標(biāo)，即終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐.【例4】△ABC中，點(diǎn)M是BC的點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC，且AN=2NC，AM與BN相于點(diǎn)P.求：AP∶PM的值.思分：定系數(shù)法求定比的問.解設(shè)

BM

=e,

.則

AM

=

+

CM

=-3e-e,

=2e+e.2

2222∵A、、和B、P、分共線，BP∴存在實(shí)數(shù)λ，分別使==2e+μe

AP

=λ

AM

=-λeλe,故BABP-=(+2μ)e+(3λ+μ)e.而

BA

=

+

=2e+3e.由基本定理得345解得.5即

=

45

AM

.故AP∶PM=4溫提在解決有關(guān)定比問題時(shí)字母順易出錯(cuò)解決本題的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)囊粚?duì)基底選不好基底，會(huì)使題目進(jìn)入誤區(qū).各擊類演1已知：在△ABC中AB=a=(x,y),AC=b=(x,y).求證：的積S=

12

|xy-xy|.證明：由=eq\o\ac(△,S)

12

|a|·|b|sinA=

12

(|

aA

=

12

(|||)

a)

=

12

(yy)2xx)2211

==

1212

(y)11|x-xy|.

變提1如圖為的外心為角形內(nèi)一點(diǎn)足

OE

=

OA

+

OB

+

OC

求證：

AE

⊥

.3

證明：∵=OC-OBAE=-=(++OC)-=OB+OC∴

AE

·

=（

OC

-

OB

）·（

OC

+

OB

）=|

OC

|-|.∵O為心，∴|OB|，AE·BC=0，⊥BC.類演2在重300N的體上系兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分別為30°,60°,圖，求重物平衡時(shí)，兩根繩子拉力的大.解作ABCB，使∠AOC=30°,∠BOC=60°.在△O中，AC∠BOC=60°,∠O=90°,|

OA

|=|

OC

|cos30°=1503N

|=|

OC

|sin30°=150(N),|

OB

|=|

|=150(N).答鉛垂線成角的繩子的力是503N鉛垂線成60°的繩子的拉力是150變提2某人在靜水中游泳，速度為

千米/時(shí)，水流速度為4千/時(shí)（）果他垂直游向河對(duì)岸，那么他實(shí)際沿什么方向游？速度是多少？（）必須往哪個(gè)方向游，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)？實(shí)際速度是多少？解1如圖，水流速度v=4km/h,游速度v=3km/h.4

設(shè)合速度v與v所角為，于是tanθ

44

，∴=60°.|v|=

v

v|

3)

=8km/h.（）圖，v=

(43)2

42

，sin=

33

，≈35.26°,則方向?yàn)榕c水流方向成125.26°角實(shí)際速度是

km/h.類演3如圖所示，求兩個(gè)力f、f的力的小和方向（精確到一位小數(shù).解設(shè)f=(a,a),f,b),則=300cos30°=259.8,=300sin30°=150,=-200cos45°=-141.4,b=200sin45°=141.4,所以=(259.8,150),f=(-141.4,141.4),=(259.8,150)+(-141.4,141.4)=(118.4,291.4),|f|=

2

(291.4)

2

=314.5.設(shè)與x的正向夾角為θ，tanθ=

291.4118.4

=2.4611.由的坐知θ是一限的角，所以θ=67°53′.答個(gè)力的合力是314.5N,與x軸正方向的夾角為67°53′y軸的夾角為22°7變提3如圖，質(zhì)量為m的體靜止地放在斜面上，斜面與水平面的夾角為α，求斜面對(duì)于物體的摩擦力的大小f.解：圖，物體受三個(gè)力：重力w（方向豎直向下，大小為）斜對(duì)物體的支持力p(方向垂直于斜面斜向上，設(shè)其大為pN),摩擦力f(沿斜面支持力的方向，大小為，5

由于物體靜止，這三個(gè)力平衡，合力為；（）記垂直于斜面斜向下方、大小為1的力，沿面下降方向、大小為1的力為，、為底，寫出所涉及的三個(gè)力的坐標(biāo)，則p=（-p,0）,f=(0,-f),由旋到方向的角為，則坐標(biāo)為（mgcosα,mgsin）由（*w+p+f=（mgcos,mgsin）+(-p,0)+(0,-f)=(mgcos-p,mgsin-f)=(0,0).故mgsin-f=0,f=mgsin(N).類演4求證：直徑上的圓周角是直角.解：知AC為⊙的條直徑，∠ABC是圓角求證：∠ABC=90°.證：

AO

=a,

OB

=b.則

AB

=a+b,

OC

=a,

=a-b,|a|=|b|.由于AB·BC=（a+b）·(a-b)=|a|-|b|=0,所以

AB

⊥

.由此得∠ABC=90°.即直徑上的圓周角為直角.變提4已知