青海-兩角和與差的余弦

課例：角與差的弦青海省西寧市第十中學(xué)

趙永利教材：人教版普通高級中學(xué)教科書（必修）第一冊（下）第四章三角函數(shù)第六節(jié)，共需3課，本節(jié)課是第一時P一教分：㈠地和用兩角和與差的正弦、余弦、正切是本章的重要內(nèi)容，是正弦線、余弦線和誘導(dǎo)公式等知識的延伸后繼內(nèi)容二倍角公式和差化積、積化和差公式的知識基礎(chǔ)，對于三角變換、三角恒等式的證明和三角函數(shù)式的化簡、求值等三角問題的解決有重要的支撐作用。本課時主要講授平面內(nèi)兩點間距離公式、兩角和與差的余弦公式以及誘導(dǎo)公式。㈡、教目標：1知識目標：、能目：

使學(xué)生了解平面內(nèi)兩點間距離公式的推導(dǎo)并熟記公式；使學(xué)生理解兩角和與差的余弦公式和誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)；使學(xué)生能夠從正反兩個方向運用公式解決簡單應(yīng)用問題。培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意識和習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)意識，特殊值法的應(yīng)用意識；培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，邏輯推理能力和合作學(xué)習(xí)能力。、情目：通過觀察、對比體會公式的線形美，對稱美；培養(yǎng)學(xué)生不怕困難，勇于探索的求知精神。（設(shè)計依據(jù)：建構(gòu)主義理論認為，學(xué)生的能力培養(yǎng)不是單方面的知識教育，而應(yīng)該是知識、能力、情感三維一體的一個完整體系，因此，我在教學(xué)中設(shè)計三方面的目標要求。其中知識目標是近期目標，另兩個目標是遠期目標㈢教重難：1、平面內(nèi)兩點間的距離公式的推導(dǎo)和應(yīng)用是本節(jié)的一個重點；2兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)和應(yīng)用是本節(jié)的又一個重點也是本節(jié)的一個難點。（設(shè)計依據(jù)：平面內(nèi)兩點間的距離公式在本節(jié)課中是‘兩角和余弦公式推導(dǎo)’的主要依據(jù)，在后繼知識中也有廣泛的應(yīng)用，所以是本節(jié)的一個重點‘兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)和應(yīng)用’對后幾節(jié)內(nèi)容能否掌握具有決定意義，在三角變換、三角恒等式的證明、三角函數(shù)式的化簡求值等方面有著廣泛的應(yīng)用，因此也是本節(jié)的一個重點。由于其推導(dǎo)方法的特殊性和推導(dǎo)過程的復(fù)雜性，所以也是一個難點。）二教方：1、創(chuàng)設(shè)情境----提問-探索嘗----發(fā)引導(dǎo)---決問題。（設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)情境有利于問題自然、流暢地提出，提出問題是為了引發(fā)思考思考的表現(xiàn)形式是探索試索嘗試是思維活動中最有意義的部分激學(xué)生積極主動的思維動是我們每節(jié)課都應(yīng)追求的目標學(xué)生的思維以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)并不一定會降低學(xué)生思維的層次能夠提高思維的有效性。從而體現(xiàn)教師主導(dǎo)作用和學(xué)生主體作用的和諧統(tǒng)一2、教具：多媒體投影系統(tǒng)。本節(jié)課中‘平面內(nèi)兩點間距離公式’雖然以前曾經(jīng)用過，但其證明對學(xué)生來說仍然具有一定難度，為了使學(xué)生便于理解，采用幾何畫板動畫演示，增加直觀性，減少講授時間；兩角和的余弦公式的推導(dǎo)也通過幾何畫板動畫掩飾來幫助學(xué)生認識、理解、加深印象。（多媒體系統(tǒng)可以有效增加課堂容量，色彩的強烈對比可以突出對比效果；動畫的應(yīng)用可以將抽象的問題直觀化，體現(xiàn)直觀性原則三學(xué)指：1、要求學(xué)生做好正弦線、余弦、同一坐標軸上兩點間距離公式，特別是用角的余弦和正弦表示終邊上特殊點的坐標這些必要的知識準備現(xiàn)學(xué)習(xí)過程中循序漸進，溫故知新的認知規(guī)律2、讓學(xué)生注意觀察、對比兩角與差的余弦公式中正弦、余弦的順序；角的順序關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，并通過觀察體會公式的對稱美。四教過：教

學(xué)

程

序

圖

設(shè)計意課題引入

引言：同學(xué)們，前面我們學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，我們知道它也是一種運算。在以前的運算中有乘法對加法的分配律：a(b+c)=ab+ac，那么：cos（α+β）

通過創(chuàng)設(shè)問題情境，自然流暢地提出問題，揭示課題，引發(fā)=cos+cosβ是也成立呢？果成立為學(xué)生復(fù)習(xí)提問

什么？如果不成立，它又等于什么呢？這正是我們今天要研究的內(nèi)容。揭示課題：兩角和與差的余弦。畫出一個銳角、一個鈍角的正弦線、余弦線。如果角的終邊與單位圓相交于點，點P的坐能否用角α的三角函數(shù)值表示？怎樣表示？3、寫出同一坐標軸上兩點間距公式。1回“（+β=cosα+cos是否成立”這個問題之前學(xué)生先論“cos

思考。使學(xué)生目標明確、迅速進入角色。通過復(fù)習(xí)使學(xué)生熟悉基礎(chǔ)知識、特別是用角的正、余弦表示特殊點的坐標，為新課的推進做準備。學(xué)生通過獨立思考和分（45）=cos45+cos30是否成立？組討論，可以（學(xué)生可能通過計算器余線的長度、用特殊值法引入

特殊角三角函數(shù)值和余弦函數(shù)的值域三種途徑解決問題。出cos（45+30）≠cos45+cos30。進而得出cos+β）

證明猜想不成立，三種方法的出現(xiàn)，培新

≠cos+cos這結(jié)論再次提出那養(yǎng)學(xué)生多角課

么cos（α+β）又等于什么呢？

度考慮問題2、在解決上面的問題之前，我先來解決的發(fā)散維“平面內(nèi)兩點間距離的求法”這一問題。通過上面的復(fù)習(xí)，我們已經(jīng)熟悉了同一坐標軸上兩點間距離公式。那么，平面內(nèi)兩點間距離與坐標有什么樣的關(guān)系呢？（通

能力，合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣。隨后的提問會激發(fā)學(xué)生想過動畫演示讓學(xué)生體會平面內(nèi)兩點間距離和同一坐標軸上兩點間距離的關(guān)系。

要解決問題的主觀需要，提高思維的主動性。1、析：設(shè)P（x，（）則、通過幾何有M（，（，）,N（0y畫板動態(tài)演N（0，通過演示課件提出問題：PP

示，給學(xué)生以直觀感受，讓教

的長度與什么有關(guān)？（請設(shè)計出算法）

他們認識到：平面內(nèi)兩點學(xué)過

根據(jù)右圖寫出MM和NN。PQ=MM=│x-x│QP=NN=│y-y│根據(jù)勾股定理寫出P=PQ+QP=(x)+(y

間距離和同一坐標軸上兩點間距離總能構(gòu)成一個直角三角程

由此得平面內(nèi)P（，（點間的距離公式:

，）兩形利用勾股定理即可解PP=(x-x)+(y-y)

決。

2、在直角坐標系內(nèi)做單位圓，做出任意2、兩角和余角,α+和的邊分別交單位弦公式的證圓于PP和P點單位圓與X軸于明中存兩

則：P(1,0)、P（αsinα個困難：①三P（（+βα+）、角函數(shù)表示例2、已知sinα=，∈，π單位圓上點

62的cosβ=-,β∈（π，cos（-β（α+β公式提示：（-β）=αβsinαsinβ（+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

的坐標，它雖然算理簡單，但學(xué)生由于陌生而很不習(xí)慣，通過前面習(xí)環(huán)節(jié)應(yīng)該有所熟悉。②在用到：

目的在于熟悉公式，同時對同角三角函數(shù)關(guān)系有復(fù)習(xí)的作用，其難度不是很大，cos（αβ）在供了+sin（β）=1時要師特別指出，公式中只要求是“同角并不在乎角的具