連續(xù)梁的矩陣位移法

關(guān)于連續(xù)梁的矩陣位移法第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三

結(jié)構(gòu)矩陣分析方法的廣泛應(yīng)用是近年來結(jié)構(gòu)力學(xué)最重要的發(fā)展之一，這與計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展有直接的關(guān)系。它是以傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)力學(xué)作為理論基礎(chǔ)，以矩陣作為數(shù)學(xué)表述形式，以電子計(jì)算機(jī)作為計(jì)算手段的三位一體的方法。

一、結(jié)構(gòu)矩陣分析方法§

3.1概述

結(jié)構(gòu)矩陣分析方法的基本思想是：把整個(gè)結(jié)構(gòu)看作是由若干單個(gè)桿件(稱為單元)所組成的集合體。

1）單元分析：在進(jìn)行分析時(shí)，首先把結(jié)構(gòu)拆散成有限數(shù)目的桿件單元（結(jié)構(gòu)的離散化），寫出各單元桿端的力與位移兩者的關(guān)系式；

2）整體分析：即將這些單元再集合一起，使其滿足平衡條件和位移連續(xù)條件也就是保證離散化了的桿件單元重新集合后仍恢復(fù)為原結(jié)構(gòu)；

3）解方程組：求出結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移和內(nèi)力。第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三二、結(jié)構(gòu)矩陣分析方法的分類

矩陣位移法又分為剛度法和直接剛度法。兩者的基本原理并無本質(zhì)的區(qū)別，只是在形成所謂整體剛度矩陣時(shí)使用的方法不同。直接剛度法比較簡便得多，因此得到廣泛的應(yīng)用。這里就只介紹矩陣位移法中的直接剛度法。

與傳統(tǒng)的力法、位移法和混合法對(duì)應(yīng)，也有矩陣力法、矩陣位移法和矩陣混合法。矩陣位移法具有易于實(shí)現(xiàn)計(jì)算過程程序化的優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用，我們主要介紹矩陣位移法。

三、矩陣位移法的基本思路

矩陣位移法的作法同上所述：是先把結(jié)構(gòu)拆散成有限數(shù)目的桿件單元進(jìn)行單元分析而后進(jìn)行整體分析也就是將這些單元再集合一起，使其滿足平衡條件和位移連續(xù)條件恢復(fù)為原結(jié)構(gòu)。第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三基本思路及過程

矩陣位移法分析問題的過程是，首先進(jìn)行離散化和單元分析，然后進(jìn)行整體分析，考慮單元的集合得出基本方程組，通過解線性方程組求出結(jié)構(gòu)的位移并求出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。分析過程：

1．對(duì)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)和單元進(jìn)行編號(hào)；

2．進(jìn)行結(jié)構(gòu)的離散化：將結(jié)構(gòu)拆成兩個(gè)桿件單元①和②；

3．進(jìn)行單元分析：建立單元?jiǎng)偠染仃嚕?/p>

4．進(jìn)行整體分析：將離散化的各單元重新集合，滿足原結(jié)構(gòu)的平衡條件和位移連續(xù)條件，而得到整體剛度方程。我們利用已求得的各單元?jiǎng)偠染仃囆纬烧w剛度矩陣。形成整體剛度矩陣的方法，以直接剛度法最為常用?？偨Y(jié)為：“化整為零，積零為整”第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三123①②i1i2xy1①i12②i23單元①：單元②:由位移連續(xù)條件得：§

3.2連續(xù)梁的單元?jiǎng)偠染仃嚨谖屙?，共三十頁，編輯?023年，星期三由結(jié)點(diǎn)平衡條件：再將(d)式代入，得：即為位移法方程引入矩陣形式（式a、b)可寫為：第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三其中：------稱為單元?jiǎng)偠染仃嚒＞仃囍械母髟胤Q為單元?jiǎng)偠扔绊懴禂?shù)。------稱為單元桿端力列陣。簡寫為：------稱為單元?jiǎng)偠确匠?-----稱為單元桿端位移列陣。第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三將方程組也用矩陣表示：簡寫為：------稱為整體剛度方程------稱為整體剛度矩陣------為結(jié)點(diǎn)位移列陣------為結(jié)點(diǎn)力（荷載）列陣§

3.3整體剛度矩陣第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三結(jié)構(gòu)剛度矩陣的性質(zhì)：1、對(duì)稱性：結(jié)構(gòu)剛度矩陣是一個(gè)對(duì)稱矩陣，即位于主對(duì)角線兩邊對(duì)稱位置的兩個(gè)元素是相等的。3、結(jié)構(gòu)剛度矩陣是一帶狀矩陣。2、由于連續(xù)梁結(jié)構(gòu)為幾何不變體系，因此其整體剛度矩陣為非奇異矩陣。第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三

綜上所述，可將直接剛度法的解算步驟歸納如下：

(1)將結(jié)點(diǎn)和單元進(jìn)行編號(hào)；選擇結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系。

(2)把所有結(jié)點(diǎn)力沿結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系分解；建立結(jié)點(diǎn)位移列向量和結(jié)點(diǎn)力列向量(兩者的分量要一一對(duì)應(yīng))。

(3)計(jì)算結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中各單元?jiǎng)偠染仃嚨乃膫€(gè)子塊。

(4)將各單元?jiǎng)偠染仃嚨乃膫€(gè)子塊，按其兩個(gè)下標(biāo)在結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣中“對(duì)號(hào)入座”。

(5)根據(jù)邊界條件修改結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣計(jì)算自由結(jié)點(diǎn)位移。

(6)計(jì)算在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中由桿端位移產(chǎn)生的桿端力；再計(jì)算單元在局部坐標(biāo)系中的桿端力。

(7)計(jì)算支座反力。

(8)校核。第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三§3.4非結(jié)點(diǎn)荷載的處理

以上關(guān)于矩陣位移法的討論，是說結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。在討論中，我們只考慮了作用結(jié)點(diǎn)荷載的情況。由此所得到的矩陣位移法基本方程，即整體剛度方程，表述了結(jié)點(diǎn)位移和給點(diǎn)荷裁的關(guān)系。而實(shí)際上，不論是恒載還是活載常常是作用在桿件單元上的均布荷載、分布荷載或集中荷載。對(duì)于這種非結(jié)點(diǎn)荷載的處理，一種方法是，不論均布或分布荷載都適當(dāng)?shù)馗挠萌舾杉泻奢d加以代替，并把集中荷載的作用點(diǎn)也看作結(jié)點(diǎn)。這樣處理的結(jié)果是，加多了單元和結(jié)點(diǎn)位移，從而增加了計(jì)算工作量。另一種則是目前通用的處理方法，即采用所謂的等效結(jié)點(diǎn)荷載。舉例說明如下：第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三1、在施加荷載之前先在結(jié)點(diǎn)處各加上一個(gè)剛臂用以限制結(jié)點(diǎn)角位移，這樣，單元即成為固端梁，而后施加荷載。由于荷載作用，在各桿端將產(chǎn)生固端剪力和固端彎矩。2、在原結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)處分別施加與約束反力數(shù)值相等、方向相反的外力、，將兩種情況進(jìn)行疊加，就可得到原來的荷載作用情況。12=12+12=a)b)c)

、稱為單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載(這里所識(shí)“等效”，是指圖c與圖a兩種情況的結(jié)點(diǎn)位移是相等的，因?yàn)閳Db情況的結(jié)點(diǎn)位移為零)。第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三

結(jié)構(gòu)全部荷載的處理方法與剛度矩陣類似：首先，針對(duì)每一單元的非結(jié)點(diǎn)荷載建立單元等效結(jié)點(diǎn)荷載列矩陣；然后，遵循對(duì)號(hào)入座的方式，建立結(jié)構(gòu)整體等效結(jié)點(diǎn)荷載列矩陣；最后，將結(jié)構(gòu)直接作用在結(jié)點(diǎn)上的結(jié)點(diǎn)荷載矩陣與結(jié)構(gòu)等效結(jié)點(diǎn)荷載矩陣相加，得到整個(gè)結(jié)構(gòu)全部的荷載矩陣。

有非結(jié)點(diǎn)荷載作用時(shí)的單元桿端力，可以由兩部分疊加而得：一部分是結(jié)點(diǎn)受有約束、各桿件為固端梁情況下的桿端力(固端力)，另部分是綜合結(jié)點(diǎn)荷載作用下的桿端力，即第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三§3.5

直接剛度法的解題步驟和算例直接剛度法中后處理作法的解題步驟：

1．對(duì)各單元和結(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)

2．計(jì)算整體坐標(biāo)系的單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

3．將各單元?jiǎng)偠染仃嚨淖訅K“對(duì)號(hào)入座”形成整體剛度矩陣。

4．計(jì)算總的荷載列陣，建立整體剛度方程。

5．引入支承條件，修改整體剛度矩陣和整體剛度方程。

6．解整體剛度方程求各結(jié)點(diǎn)位移。

7．計(jì)算各單元的桿端力，并進(jìn)一步求各單元的其它內(nèi)力。。

8．校核。第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三例1:計(jì)算圖示梁,作彎矩圖解:1.離散化12123(1)(2)(3)2.計(jì)算總剛,總荷3.解方程,求位移4.求桿端力67/21/23M第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三M063

五.(零位移)邊界條件處理方法:先處理法后處理法12123(1)(2)(3)后處理法:置0置1法乘大數(shù)法(1)置0置1法00010作彎矩圖練習(xí):第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三作彎矩圖練習(xí):123(1)(2)(3)12M1/2121第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三12123(1)(2)(3)

五.(零位移)邊界條件處理方法:先處理法后處理法后處理法:置0置1法乘大數(shù)法(1)置0置1法(2)乘大數(shù)法若,則將總剛主對(duì)角元素乘以大數(shù)N.第三個(gè)方程變?yōu)?第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三EI作業(yè):1.作圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖2.推導(dǎo)圖示單元的單剛l3.計(jì)算圖示梁總剛中元素l2l3l2llEI2EI3EI4EI5EI4.思考題

(1).連續(xù)梁的總剛為何應(yīng)是一個(gè)三對(duì)角矩陣?(2).荷載不作用于結(jié)點(diǎn)上時(shí)怎么辦?(3).連續(xù)梁單剛和總剛是奇異還是非奇異矩陣?第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三例題2矩陣位移法解圖示梁,作M圖.解:1.離散化1234123(1)(2)(3)(4)2.求總剛第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三1234123(1)(2)(3)(4)例題2矩位移法解圖示梁,作M圖.解:1.離散化2.求總剛3.求總荷21第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三例題2矩位移法解圖示梁,作M圖.1234123(1)(2)(3)(4)解:1.離散化2.求總剛3.求總荷4.邊界條件處理第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三1234123(1)(2)(3)(4)例題2矩位移法解圖示梁,作M圖.解:1.離散化2.求總剛3.求總荷4.邊界條件處理5.解方程6.求桿端力第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三例題2矩位移法解圖示梁,作M圖.1234123(1)(2)(3)(4)解:1.離散化2.求總剛3.求總荷4.邊界條件處理5.解方程6.求桿端力7.作M圖1.2927.4319.439.71第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三邊界條件的先處理法解:1.離散化1234123(1)(2)(3)(4)2.求總剛1234123(0)(1)(2)(0)3+8448+34.解方程先處理法后處理法其它過程同后處理法3.求總荷第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三九.

無結(jié)點(diǎn)線位移的剛架計(jì)算1(0)2(1)3(2)4(0)123解:1.離散化2.求總剛3.求總荷2312第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三1(0)2(1)3(2)4