相似三角形證明技巧專題

3．如圖，平行四邊形ABCD中，E為BA延長線上一點(diǎn)，∠D=∠ECA.求證：AD·EC=AC·EB.（此題為陷阱題，應(yīng)注意條件中唯一的角相等，考慮平行四邊形對邊相等，用等線替代思想解決）4．如圖，AD為△ABC中∠BAC的平分線，EF是AD的垂直平分線。求證：FD2FC=·FB。（此題四點(diǎn)共線，應(yīng)積極尋找條件，等線替代，轉(zhuǎn)化為證三角形相似。）5．如圖，E是平行四邊形的邊DA延長線上一點(diǎn)，EC交AB于點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)F,求證：FC2=FG·EF.（此題再次出現(xiàn)四點(diǎn)共線，等線替代無法進(jìn)行，可以考慮等比替代。）6．如圖，E是正方形ABCD邊BC延長線上一點(diǎn)，連接AE交CD于F,過F作FM∥BE交DE于M.求證：FM=CF.(注：等線替代和等比替代的思想不局限于證明等積式，也可應(yīng)用于線段相等的證明。此題用等比替代可以解決。)7．如圖，△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，CE∥AB,BE分別交AD、AC于點(diǎn)F、G，連接FC.求證：（1）BF=CF.(2)BF2FG=·FE.8．如圖，∠ABC=90°,AD=DB,DE⊥AB,求證：DC2=DE·DF.9．如圖，ABCD為直角梯形，AB∥CD,AB⊥BC,AC⊥BD。AD=BD，過E作EF∥AB交AD于F.是說明：（1）AF=BE;(2)AF2=AE·EC.10．△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E為AC中點(diǎn)。求證：AB:AC=DF:AF。11．已知，CE是RT△ABC斜邊AB上的高，在EC延長線上任取一點(diǎn)P,連接AP,作BG⊥AP,垂足為G，交CE于點(diǎn)D.試證：CE2=ED·EP.(注：此題要用到等積替代，將CE2用射影定理替代，再化成比例式。)七、證比例式和等積式的方法：對線段比例式或等積式的證明：常用“三點(diǎn)定形法”、等線段替換法、中間比過渡法、面積法等．若比例式或等積式所涉及的線段在同一直線上時，應(yīng)將線段比“轉(zhuǎn)移”(必要時需添輔助線)，使其分別構(gòu)成兩個相似三角形來證明．可用口訣：遇等積，改等比，橫看豎看找關(guān)系；三點(diǎn)定形用相似，三點(diǎn)共線取平截；平行線，轉(zhuǎn)比例，等線等比來代替；兩端各自找聯(lián)系，可用射影和園冪．例1如圖5在△ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，DF⊥AB于F，交AC的延長線于H，交BE于G，求證：(1)FG/FA＝FB/FH(2)FD是FG與FH的比例中項(xiàng)． A E FG B 圖5D C H1說明：證明線段成比例或等積式，通常是借證三角形相似．找相似三角形用三點(diǎn)定形法(在比例式中，或橫著找三點(diǎn)，或豎著找三點(diǎn))，若不能找到相似三角形，應(yīng)考慮將比例式變形，找等積式代換，或直接找等比代換例2如圖6，□ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，已知BE：EC＝3：1，S?FBE＝18，求：(1)BF：FD(2)S?FDADF圖6E C2說明：線段BF、FD三點(diǎn)共線應(yīng)用平截比定理．由平行四邊形得出兩線段平行且相等，再由“平截比定理”得到對應(yīng)線段成比例、三角形相似；由比例合比性質(zhì)轉(zhuǎn)化為所求線段的比；由面積比等于相似比的平方，求出三角形的面積．例3如圖7在△ABC中，AD是BC邊上的中線，M是AD的中點(diǎn)，CM的延長線交AB于N．求：AN：AB的值； E A N M B D C說明：求比例式的值，可直接利用己知的比例關(guān)系或是借助己知條件中的平行線，找等比過渡．當(dāng)已知條件中的比例關(guān)系不夠用時，還應(yīng)添作平行線，再找中間比過渡．例4如圖8在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BE⊥AC交AC于F，過F作FG∥AB交AE于G．求證：AG2＝AF×FC D E CGGF AB說明：證明線段的等積式，可先轉(zhuǎn)化為比例式，再用等線段替換法，然后利用“三點(diǎn)定形法”確定要證明的兩個三角形相似．、例5如圖在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，且AD＝AC，DE⊥BC，交AB于點(diǎn)E，EC交AD于點(diǎn)F．(1)求證：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的長． A E F B DM C說明：要證明兩個三角形相似可由平行線推出或相似三角形的判定定理得兩個三角形相似．再由相似三角形的面積比等于相似比的平方及比例的基本性質(zhì)得到線段的長．例6如圖10過△ABC的頂點(diǎn)C任作一直線與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和E．過點(diǎn)D作DM∥FC交AB于點(diǎn)M．(1)若S△AEF：S四邊形MDEF＝2：3，求AE：ED；(2)求證：AE×FB＝2AF×ED CEED A F M B 圖例5、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延長線上截取BE，使AD=BE，求證：DF?AC=BC?FE例6：如圖△ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。二、作延長線例7.如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點(diǎn)，AE的延長線交BC于F，F(xiàn)GAB于G，求證：FG2=CF?BF例8．如圖4-1，已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，ADAF31，連E、F交AC于G．求AG：3．如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點(diǎn)P、Q同時從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動，其中點(diǎn)P運(yùn)動的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s），解答下列問題：（1）當(dāng)t＝2時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；（2）設(shè)△BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；4.如圖（10）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點(diǎn)的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1.⑴請你探究：ACCDABDB，1111ACCDABDB錯誤!未指定書簽。是否都成立？⑵請你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請問ACCDABDB一定成立嗎？并證明你的判斷.證：QC證：QCPEBQDP．（2）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個頂點(diǎn)在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點(diǎn)．①如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長；10．如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)．且滿足AD＝AB，∠ADE＝∠C．（1）求證：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；（2）求證：AB2＝AE?AC．EABDC11．學(xué)習(xí)《圖形的相似》后，我們可以借助探索兩個直角三角形全等的條件所獲得經(jīng)驗(yàn)，繼續(xù)探索兩個直角三角形相似的條件。（1）“對與兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應(yīng)相等，或兩直角邊對應(yīng)相等，兩個直角三角形全等”。類似地，你可以等到：“滿足，或，兩個直角三角形相似”。3（2）在圖8中，聯(lián)結(jié)AP．當(dāng)AD，且點(diǎn)Q在線段AB上時，設(shè)點(diǎn)B、Q之間的距離為x，2S△APQy，其中S 表示△APQ的面積，S 表示△PBC的面積，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并S △APQ △PBC△PBC寫出自變量的取值范圍；D A D A D P PPQC B（Q） CB C圖8 圖9 圖10 Q FGDC16．如圖，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，F(xiàn)GDC寫出圖中三對相似三角形，并證明其中的一對；連結(jié)FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的長．第22題圖E17.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8，0)，直線BC經(jīng)過點(diǎn)B(8，6)，C(0，6)，將四邊形OABC繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)度得到四邊形OABC，此時直線OA、直線BC分別與直線BC相交于點(diǎn)P、Q．四邊形OABC的形狀是當(dāng)90°時，BP的值是；BQBP①如圖2，當(dāng)四邊形OABC的頂點(diǎn)B落在y軸正半軸時，求的值；BQ②如圖3，當(dāng)四邊形OABC的頂點(diǎn)B落在直線BC上時，求△OPB的面積．18.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動，設(shè)AP=x，現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，得折痕EF（點(diǎn)E、F為折痕與矩形邊的交點(diǎn)），再將紙片還原。（1）當(dāng)x=0時，折痕EF的長為；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時，折痕EF的長為；（2）請寫出使四邊形EPFD為菱形的x的取值范圍，并求出當(dāng)x=2時菱形的邊長；溫馨提示：用草稿紙折折看，或許對你有所幫助哦！（Q）CBAOxPAC（圖3）yBQCBAOxPABC（圖2）yCBAOyx（備用圖）（第10題）19．正方形ABCD邊長為4，M、N