01-2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念(教師版)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認(rèn)識(shí)向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別.2.會(huì)用有向線段作向量的幾何表示，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別，會(huì)用字母表示向量.3.理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會(huì)辨識(shí)圖形中這些相關(guān)的概念.知識(shí)點(diǎn)一向量的概念1.向量：既有大小，又有方向的量叫做向量.2.數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量稱為數(shù)量.知識(shí)點(diǎn)二向量的表示方法1.向量的幾何表示：向量可以用一條有向線段表示.帶有方向的線段叫做有向線段，它包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度，如圖所示.以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作AB→.2.向量的字母表示：向量可以用字母a,b,c，…表示(印刷用黑體a，b，c，書寫時(shí)用→a，b，c).→→3.向量AB→的大小，也就是向量AB→的長(zhǎng)度(或稱模)，即有向線段AB→的長(zhǎng)度，記作|AB→|.長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作0；長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量，叫做單位向量.思考“向量就是有向線段，有向線段就是向量”的說(shuō)法對(duì)嗎？錯(cuò)誤.理由是：①向量只有長(zhǎng)度和方向兩個(gè)要素；與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只要長(zhǎng)度和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量；②有向線段有起點(diǎn)、長(zhǎng)度和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管長(zhǎng)度和方向相同，也是不同的有向線段.知識(shí)點(diǎn)三相等向量與共線向量1.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)記法：向量a平行于b，記作a∥b.(2)規(guī)定：零向量與任一向量平行.3.共線向量：由于任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，所以平行向量也叫做共線向量.也就是說(shuō)，平行向量與共線向量是等價(jià)的，因此要注意避免向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段的平行和共線相混淆.思考(1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)與零向量相等的向量必定是什么向量？(4)與任意向量都平行的向量是什么向量？(5)若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)零向量；(5)平行向量.第1頁(yè)1.如果|AB→|>|CD→|，那么AB→>CD→.(×)提示向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小.2.若a，b都是單位向量，則a＝b.(×)提示a與b都是單位向量，則|a|＝|b|＝1，但a與b方向可能不同.3.若a＝b，且a與b的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同.(√)提示若a＝b，則a與b的大小和方向都相同，那么起點(diǎn)相同時(shí)，終點(diǎn)必相同.4.零向量的大小為0，沒(méi)有方向.(×)提示任何向量都有方向，零向量的方向是任意的.題型一向量的概念例1下列說(shuō)法正確的是()A.向量AB→與向量BA→的長(zhǎng)度相等B.兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同C.零向量都是相等的D.若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等考點(diǎn)向量的概念題點(diǎn)向量的性質(zhì)答案A解析兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的方向不一定相同，終點(diǎn)也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不確定；兩個(gè)單位向量也可能反向，則不相等，故B，C，D都錯(cuò)誤，A正確.故選A.反思感悟解決向量概念問(wèn)題一定要緊扣定義，對(duì)單位向量與零向量要特別注意方向問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練1下列說(shuō)法中正確的是()A.數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B.方向不同的向量不能比較大小，但同向的向量可以比較大小C.向量的大小與方向有關(guān)D.向量的?？梢员容^大小考點(diǎn)向量的概念題點(diǎn)向量的性質(zhì)答案D解析不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，故A，B不正確；向量的大小即為向量的模，指的是有向線段的長(zhǎng)度，與方向無(wú)關(guān)，故C不正確；向量的模是一個(gè)數(shù)量，可以比較大小，故D正確.題型二相等向量與共線向量例2如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點(diǎn).第2頁(yè)(1)寫出與EF→共線的向量；(2)寫出模與EF→的模相等的向量；(3)寫出與EF→相等的向量.考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)幾何圖形中的相等向量與共線向量解(1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，所以EF∥BC，EF＝12BC.又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以與EF→共線的向量有FE→，BD→，DB→，DC→，CD→，BC→，CB→.(2)模與EF→模相等的向量有FE→，BD→，DB→，DC→，CD→.(3)與EF→相等的向量有DB→，CD→.反思感悟相等向量與共線向量的探求方法(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量，再確定哪些是同向共線.(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心.(1)與OA→的模相等的向量有多少個(gè)？(2)是否存在與OA→長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？若存在，有幾個(gè)？(3)與OA→共線的向量有幾個(gè)？考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)幾何圖形中的相等向量與共線向量解(1)與OA→的模相等的線段是六條邊和六條半徑(如OB)，而每一條線段可以有兩個(gè)向量，所以這樣的向量共有23個(gè).(2)存在.由正六邊形的性質(zhì)可知，BC∥AO∥EF，所以與OA→的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有AO→，OD→，F(xiàn)E→，BC→，共4個(gè).(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，線段OD，AD與OA在同一條直線上，所以與OA→共線的向量有BC→，CB→，EF→，F(xiàn)E→，AO→，OD→，DO→，AD→，DA→，共9個(gè).題型三向量的表示及應(yīng)用例3一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100km到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向，向西偏北50°的方向走了200km到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100km到達(dá)D點(diǎn).(1)作出向量AB→，BC→，CD→；第3頁(yè)(2)求|AD→|.考點(diǎn)向量的表示方法題點(diǎn)向量的幾何表示解(1)向量AB→，BC→，CD→如圖所示.(2)由題意，可知AB→與CD→方向相反，故AB→與CD→共線，∵|AB→|＝|CD→|，∴在四邊形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD→＝BC→，∴|AD→|＝|BC→|＝200km.反思感悟準(zhǔn)確畫出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練3在如圖的方格紙上，已知向量a，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.(1)試以B為終點(diǎn)畫一個(gè)向量b，使b＝a；(2)在圖中畫一個(gè)以A為起點(diǎn)的向量c，使|c|＝5，并說(shuō)出向量c的終點(diǎn)的軌跡是什么？考點(diǎn)向量的表示方法題點(diǎn)向量的幾何意義及其應(yīng)用解(1)根據(jù)相等向量的定義，所作向量b與向量a平行，且長(zhǎng)度相等(作圖略).(2)由平面幾何知識(shí)可知所有這樣的向量c的終點(diǎn)的軌跡是以A為圓心，半徑為5的圓(作圖略).特殊向量的作用典例給出下列命題：①若a∥b，則a與b的方向相同或相反；②若a∥b，b∥c，則a∥c；③若兩個(gè)模相等的向量互相平行，則這兩個(gè)向量相等；④若a＝b，b＝c，則a＝c，其中正確的是________.(填序號(hào))考點(diǎn)向量的概念題點(diǎn)向量的性質(zhì)答案④解析由于零向量的方向是任意的，且規(guī)定與任意向量平行，故取a＝0，則對(duì)于任意的向量b，都有a∥b，知①錯(cuò)誤；取b＝0，則對(duì)于任意的向量a，c都有a∥b，b∥c，知②錯(cuò)誤；兩個(gè)模相等的向量互相平行，第4頁(yè)方向可能相反，知③錯(cuò)誤；由兩個(gè)向量相等的概念可知④正確.[素養(yǎng)評(píng)析](1)本題主要考查相等向量，共線向量與零向量的概念，需要準(zhǔn)確理解概念進(jìn)行推理，這正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中邏輯推理的核心素養(yǎng).(2)特殊向量的性質(zhì)往往與一般向量有所不同，在解題中應(yīng)單獨(dú)加以驗(yàn)證，不能混淆，否則在解決相關(guān)問(wèn)題過(guò)程中容易出錯(cuò).(3)零向量與任意向量平行，解題時(shí)要驗(yàn)證取零向量時(shí)是否成立.1.在同一平面內(nèi)，把所有長(zhǎng)度為1的向量的始點(diǎn)固定在同一點(diǎn)，這些向量的終點(diǎn)形成的軌跡是()A.單位圓考點(diǎn)向量的表示方法題點(diǎn)向量B.一段弧C.線段D.直線答案A2.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()①溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；②向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)；③向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；④若|a|>|b|，則a>b.A.0B.1C.2D.3考點(diǎn)向量的概念題點(diǎn)向量的性質(zhì)答案B解析①溫度沒(méi)有方向，所以不是向量，故①錯(cuò)；②向量的模也可以為0，故②錯(cuò)；④向量不可以比較大小，故④錯(cuò)；③若a，b中有一個(gè)為零向量，則a與b必共線，故a與b不共線，則應(yīng)均為非零向量，故③對(duì).→→→→3.若|AB|＝|AD|且BA＝CD，則四邊形ABCD的形狀為()A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.等腰梯形考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)相等向量與共線向量的應(yīng)用答案C解析因?yàn)锽A→→＝CD，所以四邊形ABCD為平行四邊形，又|AB→→|＝|AD|，即鄰邊相等，所以四邊形ABCD為菱形，故選C.4.如圖所示，設(shè)O是正方形ABCD的中心，則下列結(jié)論正確的有________.(填序號(hào))→→→→→→→→①AO＝OC；②AO∥AC；③AB與CD共線；④AO＝BO.考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)幾何圖形中的相等向量與共線向量答案①②③第5頁(yè)解析AO→與OC→方向相同，長(zhǎng)度相等，∴①正確；∵A，O，C三點(diǎn)在一條直線上，∴AO→∥AC→，②正確；∵AB∥DC，∴AB→與CD→共線，③正確；AO→與BO→方向不同，∴二者不相等，④錯(cuò)誤.5.已知A，B，C是不共線的三點(diǎn)，向量m與向量AB→是平行向量，與BC→是共線向量，則m＝________.考點(diǎn)單位向量與零向量題點(diǎn)零向量的性質(zhì)答案0解析AB→與BC→不共線，零向量的方向是任意的，它與任意向量平行，所以唯有零向量才能同時(shí)與兩個(gè)不共線向量平行.1.向量是既有大小又有方向的量，從其定義可以看出向量既有代數(shù)特征又有幾何特征，因此借助于向量，我們可以將某些代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，又將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，故向量能起到數(shù)形結(jié)合的橋梁作用.2.共線向量與平行向量是一組等價(jià)的概念.兩個(gè)共線向量不一定要在一條直線上.當(dāng)然，同一直線上的向量也是平行向量.3.注意兩個(gè)特殊向量——零向量和單位向量，零向量與任何向量都平行，單位向量有無(wú)窮多個(gè)，起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)在平面內(nèi)形一成個(gè)單位圓.一、選擇題1.給出下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度.其中是向量的有()A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)考點(diǎn)向量的概念題點(diǎn)向量的判定答案A解析速度、位移、力、加速度，這4個(gè)物理量是向量，它們都有大小和方向.2.下列說(shuō)法正確的是()A.向量AB→與BA→是相等向量C.零向量與任一向量共線考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)相等向量與共線向量的性質(zhì)和判定答案CB.共線的單位向量是相等向量D.兩平行向量所在直線平行解析向量AB→與BA→方向相反，不是相等向量，故A錯(cuò)；共線的單位向量可能是相等向量，也可能不是，故B錯(cuò)；零向量與任一向量共線，故C正確；兩平行向量所在直線可能平行，也可能重合，故D錯(cuò).第6頁(yè)3.設(shè)O是△ABC的外心，則AO→，BO→，CO→是()A.相等向量考點(diǎn)向量的表示方法題點(diǎn)向量的模答案BB.模相等的向量C.平行向量D.起點(diǎn)相同的向量解析因?yàn)镺是△ABC的外心，所以|AO→|＝|BO→|＝|CO→|，故選B.4.在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則()A.AB→與AC→共線B.DE→與CB→共線C.AD→與AE→相等D.AD→與BD→相等考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)幾何圖形中的相等向量與共線向量答案B解析如圖所示，因?yàn)镈，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，由三角形的中位線定理可得DE∥BC.所以DE→與CB→共線.5.(2018·安徽安慶質(zhì)檢)下列說(shuō)法正確的是()A.若|a|＝|b|且a∥b，則a＝bC.若a＝b，則a與b共線考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)相等向量與共線向量的性質(zhì)和判定答案CB.若|a|＝|b|，則a＝bD.若a≠b，則a一定不與b共線解析A中，當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，A不正確；B中，向量的模相等，但a與b的方向不確定，B不正確；D中，a≠b，a可與b共線.6.如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.與AB→相等的向量只有1個(gè)(不含AB→)B.與AB→的模相等的向量有9個(gè)(不含AB→)D.CB→與DA→不共線C.BD→的模恰為DA→的模的3倍考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)幾何圖形中的相等向量與共線向量答案D解析由于AB→＝DC→，因此與AB→相等的向量只有DC→，而與AB→的模相等的向量有DA→，DC→，AC→，CB→，AD→，第7頁(yè)CD→，CA→，BC→，BA→，因此選項(xiàng)A，B正確.而Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，∴|DO→|＝23|DA→|，故|DB→|＝3|DA→|，因此選項(xiàng)C正確.由于CB→＝DA→，因此CB→與DA→是共線的，故選D.7.如圖所示，四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，則下列結(jié)論中不一定成立的是()A.|AB→|＝|EF→|B.AB→與FH→共線C.BD→與EH→共線→→D.CD＝FG考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)幾何圖形中的相等向量與共線向量答案C二、填空題8.若A地位于B地正西方向5km處，C地位于A地正北方向5km處，則C地相對(duì)于B地的位移是________.考點(diǎn)向量的表示方法題點(diǎn)向量的幾何意義及其應(yīng)用答案西北方向52km9.已知在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，則|BD→|＝________.考點(diǎn)向量的表示方法題點(diǎn)向量的模答案23解析由題意知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，∴在Rt△ABO中，|BO→|＝|AB→|·cos30°＝2×23＝3，∴|BD→|＝2|BO→|＝23.10.在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點(diǎn)O為圓心，C為半圓上一點(diǎn)，且∠OCB＝30°，|AB→|＝2，則|AC→|＝________.考點(diǎn)向量的表示方法題點(diǎn)向量的模答案111→→解析連接AC，由|OC→|＝|OB→|得∠ABC＝∠OCB＝30°，又∠ACB＝90°，則|AC|＝|AB|＝×2＝1.2211.已知在四邊形ABCD中，BC→＝AD→且|AB→|＝|BD→|＝|BC→|＝2，則該四邊形內(nèi)切圓的面積是________.考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)幾何圖形中的相等向量與共線向量第8頁(yè)3π4答案解析由BC→＝AD→知四邊形ABCD為平行四邊形，由|AB→|＝|BD→|＝|BC→|知四邊形ABCD為菱形，△ABD為等邊三角形，故∠ABC＝120°，菱形的內(nèi)切圓圓心O在對(duì)角線BD的中點(diǎn)處，令其半徑為r，則r＝12|BD→|sin60°＝23，所以S＝πr2＝π×＝.33π224圓12.如圖，若四邊形ABCD為正方形，△BCE為等腰直角三角形，則：(1)圖中與AB→共線的向量有________；(2)圖中與AB→相等的向量有________；(3)圖中與AB→的模相等的向量有________；(4)圖中與EC→相等的向量有________.考點(diǎn)相等向量與共線向量題點(diǎn)幾何圖形中的相等向量與共線向量→→答案(1)DC→，BE→，BA→，CD→，EB→，AE→，EA→；(2)DC，BE(3)BA→，BE→，EB→，DC→，CD→，AD→，DA→，BC→，CB→；(4)BD→三、解答題13.一輛消防車從A地去B地執(zhí)行任務(wù)，先從A地向北偏東30°方向行駛2千米到D地，然后從D地沿