【步步高】高中數(shù)學(xué)北師大版必修5練習(xí)：2.2三角形中幾何計(jì)算(含答案解析)

§2三角形中的幾何計(jì)算課時(shí)目標(biāo)1.可以運(yùn)用正弦定理、余弦定理辦理三角形中的計(jì)算問題.2.可以運(yùn)用正弦定理、余弦定理進(jìn)行平面幾何中的推理與證明．1．正弦定理和余弦定理abc(1)正弦定理：sinA＝sinB＝sinC＝2R(R為△ABC外接圓半徑)；(2)余弦定理：a2＝____________________或cosA＝______________(其他形式略)2．在△ABC中，有以下常用結(jié)論：(1)a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b；(2)a>b?______?____________；A＋BπC(3)A＋B＋C＝π，2＝2－2；(4)sin(A＋B)＝__________，cos(A＋B)＝____________________________________，sinA＋B＝______________，cosA＋B＝___________________________________.223．三角形常用面積公式(1)S＝____________(ha表示a邊上的高)；1(2)S＝2absinC＝____________＝______________；abc(3)S＝4R(可由正弦定理推得)；(4)S＝2R2sinAsin·Bsin·C(R是三角形外接圓半徑)；1(5)S＝2r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．一、選擇題1．△ABC

的兩邊長(zhǎng)分別為

2,3，其夾角的余弦值為

1，則其外接圓的直徑為3

(

)92

92

92A.

2

B.

4

C.

8

D．922．在△ABC

中，AB＝7，AC＝6，M

是

BC

的中點(diǎn)，

AM＝4，則BC等于(

)A.21

B.106

C.69

D.1543．在△ABC

中，a，b，c分別為角

A、B、C

的對(duì)邊，假如

a、b、c成等差數(shù)列，∠

B＝30°，△ABC的面積為3，那么b等于()2A.1＋32＋3D．2＋32B．1＋3C.24．平行四邊形中，AC＝65，BD＝17，周長(zhǎng)為18，則平行四邊形面積是()1A．16B．172C．18D．18.535．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝6，cosA＝7，則△ABC的面積S為()815815A.2B.15C.5D．635，sinB＝3，則cosC的值為()6．在△ABC中，已知cosA＝1351656A.65B.6516和5616C.6565D．－65二、填空題7.如圖，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且AB＝4，∠ACB＝45°，則圓O的面積等于________．8．若平行四邊形兩鄰邊的長(zhǎng)分別是43和46，它們的夾角是45°，則這個(gè)平行四邊形較長(zhǎng)的那條對(duì)角線的長(zhǎng)是________．9．△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面積為103，則其周長(zhǎng)為________．10．已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為6，一腰長(zhǎng)為12，則它的內(nèi)切圓面積為________．三、解答題11．在△ABC

中，AC

邊上的角均分線

BD

交

AC

邊于點(diǎn)

D.求證：

BA＝AD.BCDC12．已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圓內(nèi)接四邊形ABCD的面積．能力提高13．一條直線上有三點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)C在點(diǎn)A與B之間，P是此直線外一點(diǎn)，設(shè)∠APC＝α，∠BPC＝β求.證：sin(α＋β)sinαsinβ＝PB＋PCPA.14．如下圖，在平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，而△BCD是正三角形．(1)將四邊形ABCD的面積S表示為θ的函數(shù)；(2)求S的最大值及此時(shí)θ的取值．解三角形寬泛應(yīng)用于解各樣平面圖形，如平行四邊形、梯形、扇形及一些簡(jiǎn)單的不規(guī)則圖形．辦理時(shí)，可增添適合的協(xié)助線結(jié)構(gòu)三角形，將問題歸入到某個(gè)三角形中，再選擇正、余弦定理加以解決．第二章解三角形§2三角形中的幾何計(jì)算答案知識(shí)梳理1．(2)b2＋c2－2bccosAb2＋c2－a22.A>BsinA>sinB(4)sinC－cosCcosC2bc2sinC1(2)1acsinB1bcsinA23.(1)aha222作業(yè)設(shè)計(jì)1．B[設(shè)另一條邊為x，則x2221＝2＋3－2×2×3×，3∴x2＝9，∴x＝3.設(shè)cosθ＝1，則sinθ＝223＝3＝92.]33.∴2R＝sinθ2243a2．B[設(shè)BC＝a，則BM＝MC＝2.在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AMcos∠AMB，即2122a×4·cos∠AMB.①7＝a＋4－2×42在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC即2212a·cos∠AMB.②6＝4＋a＋2×4×42222212①＋②得：7＋6＝4＋4＋a，∴a＝106.]23．B[∵2b＝a＋c，S＝12acsinB＝32，∴ac＝6.b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2accosB－2ac.b2＝4b2－63－12，b2＝23＋4，b＝1＋3.]4．A[設(shè)兩鄰邊AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，則a＋b＝9，a2＋b2－2abcosα＝17，a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65.解得：a＝5，b＝4，cosα＝3或a＝4，b＝5，cosα＝3，∴S?ABCD＝absin＝α16.]555．A[由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0.b＝2c，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，2227即6＝4c＋c－4c·.∴c＝2，進(jìn)而b＝4.8∴S△ABC111－72＝15＝bcsinA＝×2×4×8.]222π6．A[∵cosA＝13，0<A<2，sinA＝1213.∵sinA>sinB，進(jìn)而a>b，故A>B，∴cosB＝45，16∴cosC＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝65.]7．8π分析∵2R＝AB＝4＝42，∴R＝22.∴S＝πR2＝8π.sin∠ACBsin45°8．415分析較長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)為：(43)2＋(46)2－2×43×46×cos135°＝415.9．20分析設(shè)AB＝8k，AC＝5k，k>0，12則S＝AB·AC·sinA＝103k＝103.2∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理：222221BC＝AB＋AC－2AB·AC·cosA＝8＋5－2×8×5×＝49.2BC＝7，∴周長(zhǎng)為AB＋BC＋CA＝20.27π10.5分析不如設(shè)a＝6，b＝c＝12，由余弦定理得：222222＝7，cosA＝b＋c－a＝12＋12－62bc2×12×128∴sinA＝1－72＝1588.11315.由(a＋b＋c)·r＝bcsinA得r＝52227πS內(nèi)切圓＝πr＝5.11．證明如下圖，在△ABD中，利用正弦定理，AB＝sin∠ADB.①ADsin∠ABD在△CBD中，利用正弦定理，BC＝sin∠BDC②CDsin∠DBC∵BD是角B的均分線，∴∠ABD＝∠CBD，又∵∠ADB＋∠CDB＝180°，∴sin∠ADB＝sin∠CDB，因此①＝②，得AB＝BC.即BA＝AD建立.ADCDBCDC12．解連結(jié)BD，則四邊形面積11S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD·sinA＋BC·CD·sinC.22A＋C＝180°，∴sinA＝sinC.1S＝2(AB·AD＋BC·CD)·sinA＝16sinA.由余弦定理：在△ABD中，BD2＝22＋42－2×2×4cosA＝20－16cosA，在△CDB中，BD2＝42＋62－2×4×6cosC＝52－48cosC，20－16cosA＝52－48cosC.1又cosC＝－cosA，∴cosA＝－2.∴A＝120°.∴四邊形ABCD的面積S＝16sinA＝83.13．證明S△ABP＝S△APC＋S△BPC，111β∴PA·PBsin(＋αβ)＝2PA·PCsin＋αPB·PCsin22兩邊同除以1sin(α＋β)sinαsinβ＝PB＋2PA·PB·PC，得PCPA.14．解

(1)△ABD

的面積11S1＝2×1×1×sinθ＝2sin

θ，因?yàn)椤鰾DC

是正三角形，則△BDC

的