2021年上海高考數(shù)學沖刺直通車03函數(shù)（詳解）（教師版）

考點03函數(shù)

，命題趨勢)

函數(shù)是高考每年的必考內(nèi)容，函數(shù)一直是高考的熱點和重點，客觀題以考查函數(shù)的基本性質(zhì)為主，解

答題常與其他知識結合起來進行考查.

，考點考向1

一、函數(shù)及其性質(zhì)

1.函數(shù)的概念

設A,B是兩個非空數(shù)集,如果按照確定的法則了,對A中的任意數(shù)x,都有唯一確定的數(shù)y

與它對應，那么就稱￡上且為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=/(x),xGA.

2.函數(shù)的定義域'值域

(1)函數(shù)y=/U)自變量取值的范圍(數(shù)集A)叫做這個函數(shù)的定義域；所有函數(shù)值構成的集合

=/U),xGA)叫做這個函數(shù)的值域.

(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同,并且對應法則完全一致,則這兩個函數(shù)為相等函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

4.分段函數(shù)

(1)在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應法則,這種函數(shù)稱為

分段函數(shù).

(2)分段函數(shù)是一個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.

5.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

設函數(shù)y=/U)的定義域為A,區(qū)間如果取區(qū)間M中任

定義意兩個值Xi，%2，改變量AX=%2—占＞0，則當

△y="2)—/UD>0時,就稱△y=/U2)—/Ui)<0時,就稱函數(shù)

函數(shù))=.*X)在區(qū)間M上是增y=?x)在區(qū)間M上是減函數(shù)

函數(shù)

//(如)

圖象:火陽)；fix2)

-O|""^2*

亢*

描述-opi_

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

⑵如果一個函數(shù)在某個區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù),就說這個函數(shù)在這個區(qū)間M上具有單

調(diào)性，區(qū)間M稱為單調(diào)區(qū)間.

6.函數(shù)的最值

前提設函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足

(1)對于任意尤￡/,都有ZU)WM；(3)對于任意xG/,都有

條件

(2)存在x()￡/,使得7U))=M(4)存在的仁/，使得/UQ)=M

結論M為最大值M為最小值

7.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

設函數(shù)y=/(x)的定義域為。，如果對。內(nèi)的任意一個

奇函數(shù)X,都有一xG。，且x)=—ZU),則這個函數(shù)叫做關于原點對稱

奇函數(shù)

設函數(shù)y=g(x)的定義域為。，如果對。內(nèi)的任意一

偶函數(shù)個龍，都有一Xd。，且。一幻=?；?則這個函數(shù)叫關于y軸對稱

做偶函數(shù)

8.函數(shù)的周期性

⑴周期函數(shù)：對于函數(shù)y=/U),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，

都有/U+T)=/U),那么就稱函數(shù)y=/U)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

⑵最小正周期：如果在周期函數(shù)/U)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)

就叫做/U)的最小正周期.

二、一次函數(shù)、二次函數(shù)與指對幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.鬲函數(shù)

(1)備函數(shù)的定義

一般地，形如正￡的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù).

⑵常見的5種事函數(shù)的圖象

(3)疑函數(shù)的性質(zhì)

①基函數(shù)在(0,十8)上都有定義；

②當a>0時，塞函數(shù)的圖象都過點(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞增;

③當a<0時，幕函數(shù)的圖象都過點(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.

2.二次函數(shù)

⑴二次函數(shù)解析式的三種形式：

一般式：依)=/+fev+c(aW0).

頂點式：.*x)=a(x—〃2尸+”(。#0),頂點坐標為(〃?，〃).

零點式：_/U)=a(x—xi)(x—MXaWO),x\,檢為/U)的零點.

(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

3.根式

n

⑴概念：式子、仿叫做根式,其中〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

nnn

（2）性質(zhì)：（5），=4（。使g有意義）；當n為奇數(shù)時，亞=4,當n為偶數(shù)時，亞=同=

<

、一。，。<0?

4.分數(shù)指數(shù)塞

m旦_

⑴規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)累的意義是成=立（?！?,加，〃eN+,且〃〉1）；正數(shù)的負分數(shù)指

m1

數(shù)幕的意義是，：=:（。>0,加，“CN+,且心1）；0的正分數(shù)指數(shù)幕等于0；0的負分數(shù)指數(shù)

標

幕沒有意義.

⑵有理指數(shù)幕的運算性質(zhì)：區(qū)排=/2；（0殖=f；（"）,=這,其中。>0,。>0,r,SWQ.

5.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

⑴概念：函數(shù)y="（a〉0且aWl）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a

是底數(shù).

（2）指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>\0<a<l

11,

圖象J04)K__.y=l—平)一產(chǎn)I

O|~1~o|~T~^

定義域R

值域(0,+8)

過定點（0,1）,即x=0時，y=1

當x>0時，y>l；當x<0時，y>l；

性質(zhì)

當x<0時，0<y<l當x〉0時，0<y<l

在（一8,+8）上是增函數(shù)在（一8,十8）上是減函數(shù)

6.對數(shù)的概念

一般地，對于指數(shù)式心=N,我們把“以。為底N的對數(shù)記作12&&,即b=lo&N（a>。，且

aWl）.其中，數(shù)里叫做對數(shù)的底數(shù)，”叫做真數(shù)，讀作“。等于以a為底N的對數(shù)”.

7.對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運算性質(zhì)

⑴對數(shù)的性質(zhì)：①*gd=&；②log“/=b(a〉0,且aWl).

⑵對數(shù)的運算法則

如果?！?且aWl,M>0,N>0,那么

①log"(M7V)=log*/+log.

Af

②10g“R=lOgqM—lOgqM

③log,"'=〃lo&MSeR)；

④log”〃?—=丁og“M>,〃￡R,且加WO).

⑶換底公式：leg世三髓(m匕均大于零且不等于1).

8.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)概念：函數(shù)y=log”x(a>0,且aWl)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0,

+°0).

(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>\0<a<l

)?

],1尸lo&AV=1

圖象41,0)4

o

1)=logi

定義域：(0,+8)

值域：R

當x=l時，y=0,即過定點(1,0)

性質(zhì)

當x>l時，y>0；當x>l時,y<0；

當0<x<l時，><0當0<x<l時，y>0

在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

9.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=/3>0,且a#l)與對數(shù)函數(shù)以2g甚(。>0,且。#1)互為反函數(shù)，它們的圖象關

于直線y=x對稱.

10.利用描點法作函數(shù)的圖象

步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡函數(shù)解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周

期性、對稱性等）；（4）列表（尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點

等），描點，連線.

11.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

⑴平移變換

|吃）+」|

上個單位

移

ML＜」：：單M丑…）?

下

移A〃＞0）個單位

I

⑵對稱變換

y=*x）的圖象——關于坤I對稱一?y=一/U）的圖象:

y=*x）的圖象——關于“軸對稱?y=U—x）的圖象:

y=/U）的圖象-----關于原點對稱----?v=—"一x）的圖象；

y="（a〉O,且aWl）的圖象一關于直線了=尤對稱》丫=10二壯（丁〉0,且。工1）的圖象.

（3）伸縮變換

縱坐標不變

y=/U）----------------------;----------^y=Aajc）.

各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼摹辏ā＃?）倍

橫坐標不變

y=於）-----------------------------------=A/2.

各點縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁（A〉O）倍

（4）翻折變換

x軸下方部分翻折到上方

y=/（x）的圖象一」十——》，=此創(chuàng)的圖象；

x軸及上萬部分不變

y軸右側部分翻折到左側

y=/"）的圖象七二二八上玷上/向才加》丁=?的圖象.

原y軸左側部分去掉，右側不變

三、函數(shù)的綜合運用

1.函數(shù)的零點

（1）函數(shù)零點的概念

如果函數(shù)y=y（x）在實數(shù)a處的值等于雯，即4a）=0,則a叫做這個函數(shù)的零點.

（2）函數(shù)零點與方程根的關系

方程危）=0有實數(shù)根=函數(shù)y=於）的圖象與小|有交點Q函數(shù)y=段）有零點.

（3）零點存在性定理

如果函數(shù)y=/U）在區(qū)間口，句上的圖象不間斷，并且在它的兩個端點處的函數(shù)值異號,即

.血）畫<0,則這個函數(shù)在這個區(qū)間上，至少有一個零點，即存在一點的6（。，b）,使y（xo）=O.

2.二次函數(shù)尸加+b:+c3>0）的圖象與零點的關系

A=tr—AacJ>0J=0/<0

二次函數(shù)V

一

1AM

y=ax-\-hx+cV

0]■戶2元

（?！?）的圖象

與X軸的交點3，0）,（也，0）3,0)無交點

零點個數(shù)210

3.指數(shù)、對數(shù)'募函數(shù)模型性質(zhì)比較

函數(shù)y=ay=logM尸/

性質(zhì)(?>1)(。>1)(n>0)

在（0,+°°）

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表隨X的增大逐漸表隨n值變化

圖象的變化

現(xiàn)為與y軸平行現(xiàn)為與X軸平行而各有不同

4.幾種常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型j(x)=ax+b(a、h為常數(shù)，a#0)

二次函數(shù)模型j{x}=ajc+bx+c{a,b,c為常數(shù)，aWO)

與指數(shù)函數(shù)

j{x}=ba+c{a,b,c為常數(shù)，a>0且a#l,bWO)

相關模型

與對數(shù)函數(shù)

j{x)=b\o%ax+c(a,b,c為常數(shù)，a〉0且aWl,0W0)

相關模型

與暴函數(shù)fix)=a^+b(a,b,〃為常數(shù)，aWO)

一、單選題

1.(2020.上海交通大學附屬中學浦東實驗高中高三期中)下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間卜1,1］上單調(diào)

遞減的是()

A./(x)=(g)，B./(x)=lg|x|C.f(x)=-xD./*)=1

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，排除選項得到答案.

【詳解】

A./(%)=(1)\非奇非偶函數(shù)，排除：

B.f(-x)=1g|-x|=1g|x|=f(x),函數(shù)為偶函數(shù),排除：

C./(-x)=x=—/(x),函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，正確；

D.y(-x)=--=-/(%),函數(shù)為奇函數(shù)，在［—1,0)和(0,1］單調(diào)遞減，排除.

X

故選：C

【點睛】熟悉函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是解題關鍵.

2.(2020?上海高三專題練習)函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(-8,0］上是減函數(shù)且/(2)=0,則使

的x的取值范圍().

A.(—8,2)B.(2,+co)C.(―oo,—2)D(0,2)D.(—2,2)

【答案】C

,x>0［x<0

【分析】由函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性可得/。)<0、/(x)>0的解，轉化條件為乙、八或乙、八

即可得解.

【詳解】因為函數(shù)/(幻是定義在R上的偶函數(shù)，且在(f0,0］上是減函數(shù)，f(2)=o,

所以函數(shù)f(x)在((),+8)上單調(diào)遞增，/(-2)=/(2)=0,

所以當XG(2,+?)(—,—2)時，f(x)>0,當xw(—2,2)時，/(x)<0,

x>0x<0

不等式獷'。)<0等價于或4°八，解得工<一2或0cx<2.

l/W<0-|[/U)>0

所以使xf(x)〈。的x的取值范圍為(―,一2)5。，2).

故選：C.

3.(2020?上海南匯中學高三期中)下列函數(shù)中，在其定義域上是減函數(shù)的是()

1

A.y=——B.y=%2+2x

x

—x+2,%W0

D.y=<

—x—2,x>0

【答案】D

【分析】由復合函數(shù)單調(diào)性的判斷，結合指數(shù)函數(shù)、基函數(shù)的單調(diào)性可判斷AC,結合二次函數(shù)的性質(zhì)可判

斷B,由一次函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.

【詳解】解：A:因為y為減函數(shù)，所以丁=一4為增函數(shù)；

XX

B:y=d+2x對稱軸為x=-l,圖象開口向上，所以在(―1,+幻)上為增函數(shù);

C:因為y=在定義域上為減函數(shù)，所以y=—在定義域上為增函數(shù);

D:當xVO時，y=-x+2為減函數(shù)，當x>0時，y=一%—2為減函數(shù)，且2>-2,

-x+2,x<0

所以y=<在定義域上.為減函數(shù).

—九一2,x>0

故選:D.

4.(2020?上海市南洋模范中學高三期中)已知函數(shù)/(x)=x2.sinx各項均不相等的數(shù)列｛%,｝滿足

1%區(qū)g(i=l,2,3,,〃).令/(〃)=(3+w+L+X?)-[/(X1)+/(JC2)+L+/(X“)](〃GN*).給出下列三

個命題：(1)存在不少于3項的數(shù)列｛七｝,使得尸(〃)=0；(2)若數(shù)列[x?]的通項公式為x?=(-1)n(?eN*),

則/(2左)>0對左wN*恒成立；(3)若數(shù)列｛玉｝是等差數(shù)列，則F(〃)NO對〃eN*恒成立，其中真命題的

序號是()

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

【答案】D

jr

【分析】由題意，函數(shù)/(x)=d.sinx是奇函數(shù)，只需考行函數(shù)在xe0,-的性質(zhì)，此時y=/，y=sinx

都是增函數(shù)，所以/(x)=x2.sinx在xe上也是增函數(shù)，即石+/。0時,

TT7T

%

(玉+工2〉"(工1)+/(毛)]>0，對于(1),-y<X,=~f<y2=0，即可判斷；對于(2),運用等比

數(shù)列求和公式和和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷；對于(3),運用等差數(shù)列求和公式，及不等式的性質(zhì)，結

合函數(shù)/0)的單調(diào)性，即可判斷；

【詳解】

由題意得/(-%)=(-x)2-sin(-x)=-x2-sinx=-/(x),所以/(x)=xLsinx是奇函數(shù)，只需考查函數(shù)在

rcTC

xe0,—的性質(zhì)，此時丁=k，y=sinx都是增函數(shù)，所以/(幻=/小詁》在xe0,—上也是增函數(shù),

冗冗兀冗

即函數(shù)/(x)=f.sinx在xe上也是增函數(shù)，設-y,—

若辦+9<。,則王(一々,.?./(%)</(—9)=—/(9),即/(玉)+/(赴)<。

若辦+工2>。,則玉>一9,?.?/(%)>/(—又2)=—/(工2)，即/(石)+/(七)>。

所以XI+A2Ho時，(%+^2)-[/(^)+/(^2)]>0,

JT7T

對于(I),取一,4玉=一七4耳，々=0,F\3)=(玉+々+芻),"(％)+/(%)+/(七)]=0,故(1)正

對于(2),Qx.=("ZEN)

.\X]+%2+L+%=

2(21)

又/(wH+Aj)

/1

+sin—

l2；

則y=-4sin=Tsin2a+sin。

=-8sinacoscz+sincz=sina(l-8cosa)

又女EN*，知0<a<一,則sina>0,cos—Wcosavl,則一7<1-8cosa41-8cos一,

444

八九(717TA7T71.71.715/2+yf61

Qcos—=cos-----=cos—cos--Fsin—sin—=--------->一，

12(34)343448

乂y=cosx在f0,工)上單減，.,.cosL>cos2,B|Jcos—>-,?.l-8cos—<0

I2J412484

.,.sina(l-8cosa)<0,即Tsin[g)+sin(；)<0，則)+/(wJ<0，

由k的任意性可知,)+f(x2)+L+f(x2k)<0,

又X]+%+L+%?<0,所以？(2左)=(%+工2+1+工2%>[/(七)+/(工2)+1+./'(工2*)]>0，故(2)正

確；

對于(3),數(shù)列｛x,J是等差數(shù)列,

若不+々++X"=0,則/(")=0：

若不+x,,>0,即七>一天，又八外是奇函數(shù)也是增函數(shù)有7口0壬門一工小二一/"“)，可得

/(x,)+/(x?)>0：同理：

X

若兀2+當-1>。，可得f(2)+fU?.1)>0：

若毛+Xn-2>0，可得，⑷+/U?,2)>0;

相加可得：若不+&+L+X“>0,可得/(玉)+/(看)+1+/(%“)>0,即E⑺>0;

同理若X+w+L+xn<0,可得/(X1)+/(%2)+L+/(X?)<0,即F(")>o,故⑶正確；

故選：D.

【點睛】關鍵點睛：本題考查真假命題的判斷，關鍵是要理解新定義的函數(shù)的性質(zhì)及應用，考查了函數(shù)的

單調(diào)性與奇偶性的問題，考查了等差等比數(shù)列的性質(zhì)與應用，考查了學生的邏輯推理能力與運算求解能力,

屬于難題.

5.（2020?上海市奉賢區(qū)曙光中學高三期中）已知=~-（2>0）.若對于任意（2,4）,總存在正

數(shù)加，使得/（—根）+〃"m）=。成立，則實數(shù)2的取值范圍是（）

A.（0,4]B.（0,4）C.（0,16）D.（0,16]

【答案】C

【分析】分析函數(shù)”X）為奇函數(shù)，由/（一加）+/。+加）=。推導出一病有解，求得加的取值范

圍，進而可求得正實數(shù)2的取值范圍.

【詳解】當2>0時，函數(shù)/（x）=正W的定義域為｛x\x豐0｝，f（—X）=㈢三=一立2=二/〈X），

%—XX

所以，函數(shù)/（X）為奇函數(shù).

/（%）=%--,則函數(shù)/（X）在區(qū)間（一8,0）和（0,+8）上均為增函數(shù)，

c/、八/\幾4444（X7—M）

若芯W(wǎng)%2且，即％---=X2----，即玉—工2=-------=----------，

%x2Xx%2x｛x2

所以，4=一％%,

對于任意，?2,4）,總存在正數(shù)〃2,使得/?-加）+〃，+加）=0成立，

則/（，+加）=—f（t—m）=/（m—f）,：,A=—（t+m）（m—7）=t2—m2>0,

/.rG（2,4）,m>0,：,m<t,即有Ovm42,

:.A=t2—zn2G（0,16）,

故選：c.

【點睛】對于函數(shù)的新定義的問題，應準確理解新定義的實質(zhì)，緊扣新定義進行推理論證，把其轉化為我

們熟知的函數(shù)的基本性質(zhì)的問題.

6.（2020?徐匯區(qū)?上海中學高三期中）給出下列命題：

⑴若|/（x）+/。2）*（x）-g（x\]對任意X,工2eR恒成立，且y=/（x）是奇函數(shù)，則函數(shù)丁=g（x）

也是奇函數(shù)；

(2)若|/(內(nèi))一/(%2)以g(%)-g(X2)l對任意X|，WeR恒成立，且y=/(x)是周期函數(shù)，則函數(shù)

y=g(x)也是周期函數(shù);

(3)若1/(%)-/(%)|>|g(X,)—g(X2)I對任意不相等的實數(shù)不、々恒成立，且y=/(x)是R上的增函

數(shù)，則函數(shù)y=/(x)+g(x)與函數(shù)y=/(x)-g(x)也都是R上的單調(diào)遞增函數(shù)；

(4)若|/(x)4(x)1|凝/長功2對任意Xi,^eR恒成立，且y=/(x)在R上有最大值和最小值,

則函數(shù)y=g(x)在R上也有最大值和最小值；

其中真命題的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】(1)根據(jù)已知條件，依據(jù)函數(shù)的奇偶性，周期性的定義，不難證明48正確；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定

義，結合不等式的性質(zhì)可以證明C；根據(jù)已知條件和/(x)既有最大值又有最小值的定義，利用不等式的基本

性質(zhì)，可以證明g(x)既有最大值又有最小值.

【詳解】

對于(1),取%=x,%2=-x,則|/(x)+/(—x)以g(x)+g(-y=/(x)是奇函數(shù)，

???/(x)+/(-x)=0,:.02|g(x)+g(_x)|,.*.g(x)+g(—x)=0,.?.g(x)為奇函數(shù)；

對于(2)設外)的周期為7(7>0),取A,=x,/=x+TJliJ|/(x)-f(x+T)|>|g(x)-(x+T)|,Vy=/(x)以

7為周期，；./3_/(工+7)=0,.?.0之年(工)一(_￥+7)|,；.g(x)—g(x+T)=O,「.ga)為以T為周

期；

對于(3)設內(nèi)<工2，y=/(x)是Rk的增函數(shù)，.：/(%)</(9)，l/(X1)-/(W)l>lg(X1)-g(%)^|l

為/(X)-/(x,)<g(X)-g(W)</(W)-/(X)即為/(X)-g(X)</(/)-g(%)，

g(X)+/(不)<g(W)+/(%,),

函數(shù)y=f(尤)+g(x)與函數(shù)y=f(x)-g(x)也都是R上的單調(diào)遞增函數(shù)；

對于(4)y=/(x)在R上有最大值和最小值，，存在。力，使得對于任意實數(shù)X恒

成立，...Ig(x)—g(a)1<1成立-成a)1=/(X)-成a),|g(x)-g(b)兇f(x)-f(b)\=成。)-成x)

即g(x)—g(a)K/(x)-/(?)①，g(x)—g(a)2f(a)~/(x)②，g(x)-g(b)<f9)-f(x)③，

g(x)-g(b)>f(x)-f(b)@.

①+③得2g(x)-g(a)-g(b)<f(b)-f(a),

即g(x)⑷7⑷+gs)；

②+④得2g(x)-g(a)-g(b)>f(a)-f(b),

即g(x)J-"g⑷+gS),

由可知函數(shù)y=g(x)在R上也有最大值和最小值；

綜上，真命題的個數(shù)為4,

故選：D.

【點睛】本題考查命題的真假判定，涉及函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，周期性，最值，不等式和絕對值不等式,

屬于難題.關鍵在于將奇偶性、周期性、單調(diào)性和最大值最小值的定義與已知不等式相結合，利用不等式的

基本性質(zhì)進行推導和論證.

二、填空題

15-|x—l|,O<x<2，幾

7.(2020?上海閔行區(qū)?高三一模)已知定義在［0,+=o)上的函數(shù)/(X)滿足〃尤)=/(x-2)-2,x>2.設

/(x)在［2〃-2,2〃乂〃eN*)上的最大值記作a“,S”為數(shù)列｛q｝的前〃項和，則S”的最大值為

【答案】64

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，分別求得4，&，4，，得出4=17—2”，結合等差數(shù)列的性質(zhì)和前篦項和

公式，即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)小)=/_2)二22'

當〃=1時，XG［0,2),此時〃%)=15-,一1|,

此時函數(shù)/(x)在似2)上的最大值為==所以q=15,

當〃=2時，xe[2,4),此時/(x)=/(x-2)-2,此時x—2e[0,2),

所以/■(1)=f(x_2)_2=15_|x_2_l|_2=13_k_3|,

此時函數(shù)J(x)在[2,4)[0,2)上的最大值為/(3)=13-|3-3|=13,所以4=13,

當xe[2〃_2,2〃)時，/(x)=15-/[x-(2n-2)]-2(n-l)=15-|x-(2n-2)-l|-2(n-l),

此時函數(shù)“X)的最大值為/(〃)=17-2〃,所以q=17—2%

當lW〃W8,〃eN+時，?！?gt;0，當時，an<0,

所以的最大值為火）=

S?58=8"8x（1；+1）=64

故答案為：64.

15-|x-l|,0<x<2

【點睛】方法點撥：根據(jù)函數(shù)的解析式/（%）=?分別求得各段上相應的最大值，得

/(x-2)-2,x>2

出q=17—2〃，結合等差數(shù)列的求和公式進行計算.

8.（2020?上海市三林中學高三期中）若基函數(shù)/（此=（加一〃?+］）￡卜2人,“+7）（加€2）是偶函數(shù)，則

m—.

【答案】±1

【分析】由基函數(shù)定義求出加值，再代入后判斷奇偶性即得.

【詳解】由/（X）是基函數(shù)得m3-m+1=1,解得機=0或加=±1,

7

加=0時，八幻=產(chǎn)是奇函數(shù)，不合題意.

46

機=7時，〃幻=必是偶函數(shù)，機=1時，/"）=必是偶函數(shù).

故答案為：±1.

9.（2020?上海市三林中學高三期中）函數(shù)y=正的定義域是.

x-\

【答案】［0,l）U（l,+<?）

【分析】根據(jù)分母不為零和偶次根式非負列式求解即可.

x>0

【詳解】解：要使函數(shù)有意義，則需滿足《八，解得xN0且1w1.

工一1工0

故函數(shù)的定義域為［(),l)u(l,+s).

故答案為：［O,l)u(l,+s)

3

10.(2020?上海虹口區(qū)?高三一模)已知數(shù)列｛%｝滿足4=-2,且5“=14+〃(其中5.為數(shù)列｛?！保啊?/p>

和)，/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足/(2-x)=/(x),則/(%02i)=.

【答案】0

【分析】首先求出函數(shù)的周期性，再利用構造法求出數(shù)列｛《,｝的通項公式，即可得到&⑼=l—32°2i,再根

據(jù)二項式定理判斷32叫被4除的余數(shù)，即可計算可得；

【詳解】解：因為/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足/(2-x)=/(x)

所以/(—x)=/(x+2)=—/(x),/(x+4)=-/(x+2)=/(x)

所以〃x)的最小正周期為4

又因為數(shù)列｛4｝滿足4=—2,且5“=14+〃①：

3

當2時，S“_|=1a,i+"-1②；

33

①減②得%=］%—5/T+1,所以a“=3a,i-2,-1=3(??.,-1)

所以｛6,一1｝以—3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以4—1=—3",即a“=l-3”

所以％g=1一32°21

2020

又3的=(4叫曲=42必++C*021-(-l)-4-l

所以32°2i被4除余3

所以/(/必)=川—32⑼)=-/(32⑼_1)=_/(_1-1)=/(2)=〃0)=0

故答案為：0

【點睛】本題考查函數(shù)的周期性的應用，若存在非零常數(shù)T,若對定義域內(nèi)任意的x都有/'(x+T)=/(1)，

則7為函數(shù)的周期；

11.(2020.上海高三一模)設/(x)='—lgx,則不等式/(,一1)<1的解集為.

XX

【答案】fo,1j

【分析】根據(jù)初等函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)f(x)=工-Igx為單調(diào)遞減函數(shù)，旦/(1)=1,把不等式

X

/(L-1)<1轉化為,一1>1,即可求解.

XX

【詳解】由題意，函數(shù)/(x)=L-lgx,

X

根據(jù)初等函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，R/(l)=l,

則不等式/(工-1)<1等價于,一1〉1，即工一2=>在>0,解得0<x<,，

xxxx2

所以不等式的解集為(0,；)

故答案為：(°，；)

2'+|+2mx>0

12.(2020?徐匯區(qū)?上海中學高三期中)已知函數(shù)/(%)=〈,~的最小值為2相，則實數(shù)

2x-mxx<0

【答案】T6

【分析】根據(jù)已知函數(shù)解析式，分別討論加20,旭<0兩種情況，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，結合函數(shù)最值列出方

程求解，即可得出結果.

【詳解】

2x+J+2m(x>0)

因為/(x)=<

2x2-mx(x<0)

當xNO時,f(x)=+2加單調(diào)遞增，則f(x)^n=f(0)=2+2m>2m；

當x<0時，f(x)=2x2-mx是開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為x=—,

若帆20,則/。)=2X2-做在(-0,0)上單調(diào)遞減，所以/(工)>/(0)=0,無最小值，不滿足題意;

m

若加<0,則f(x)=/m2m，解得m二-16或機=0(舍).

1nhiJ

綜上，m=-16.

故答案為：—16

13.(2020.上海交通大學附屬中學浦東實驗高中高三期中)偶函數(shù)/(x)在［0,”)上單調(diào)遞增，則滿足

/(X-1)</(2)的龍的取值范圍是.

【答案】(-1,3)

【分析】因為x-1不一定在單調(diào)遞增區(qū)間［0,48)內(nèi)，所以不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，要先利用

偶函數(shù)的性質(zhì)將f(x—1)變成然后再利用函數(shù)在［0,48)上的單調(diào)性解不等式

【詳解】因為函數(shù)/5)為偶函數(shù)，所以/。-1)=/(k一1|),

所以不等式/(x-l)<〃2)等價于/(|x-l|)</(2),

乂因為函數(shù)Ax)在區(qū)間［0,中?)單調(diào)遞增，所以|x-1|<2,解得-1cx<3,

所以x的取值范圍是(一1,3).

故答案為：(一1,3).

【點睛】方法點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及抽象函數(shù)不等式的解法，抽象函數(shù)不等式的解法,

都是用函數(shù)的單調(diào)性來解，利用函數(shù)的單調(diào)性時，一定要保證自變量在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，不滿足這一點

的，往往利用偶函數(shù)的性質(zhì)變形后，再用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.

14.(2020?上海交通大學附屬中學浦東實驗高中高三期中)設，(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/。)=3且

/(x)=f(x+5),則/(2019)+〃2020)=.

【答案】-3

【分析】根據(jù)/(x)=/(x+5)得到周期T=5,進而得到根(2019)=〃-1)和/(2020)=/(0),最后再

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到/(0)和/(-1)的值，從而得到答案.

【詳解】因為/(x)滿足/(x)=/(x+5),所以/(x)是周期函數(shù)，周期T=5,

所以/(2019)=〃404x5_l)=/(—l),,

又因為/*)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(1)=3,

所以/(0)=0,/(-1)=-/(1)=-3.

所以〃2019)+/(202())=/(-l)+/(0)=-3.

故答案為：-3.

【點睛】方法點睛：本題考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性求函數(shù)的值，此類題的一般的解法為：先根據(jù)題

設可得出函數(shù)的周期，然后根據(jù)周期性對所給式子進行化簡，最后再根據(jù)函數(shù)的奇偶性計算函數(shù)值，屬于

?？碱}.

15.(2020?上海閔行區(qū)?高三一模)已知函數(shù)/(x)=x+g,給出下列命題:

①存在實數(shù)a,使得函數(shù)y=/(x)+/(x-a)為奇函數(shù)；

②對任意實數(shù)a,均存在實數(shù)/〃，使得函數(shù)y=/(x)+/(x-a)關于％=相對稱；

③若對任意非零實數(shù)a，/(x)+/(x—a)2人都成立，則實數(shù)人的取值范圍為(-w,4］；

④存在實數(shù)k,使得函數(shù)y=f(x)+f(x-a)-k對任意非零實數(shù)a均存在6個零點.

其中的真命題是.(寫出所有真命題的序號)

【答案】②③

【分析】利用特殊值法可判斷①的正誤；驗證g(a-x)=g(x),可判斷②的正誤；利用基本不等式可判斷

③的正誤；當a>0時，分析出函數(shù)g(x)在(a,+?)上先遞減再遞增，記g(x)1rfli=g($)，可得出

f44

人>max〈a+—,g(玉))｝，利用R>a+—不恒成立判斷④錯誤，同理得知當。<0時，命題④也不成立，

IaJa

從而得出命題④為假命題.綜合可得出結論.

【詳解】

令g(x)=/(x)+.“x-a)，

函數(shù)/(X)的定義域為｛x|xH()｝，貝-X--=x+-=/(%),

XX

所以，函數(shù)“X)為偶函數(shù).

對于①，若a=0,則g(x)=2x+：,則g⑴=2=g(—l),此時，函數(shù)g(x)不是奇函數(shù);

(T+4

若"0,則函數(shù)g(x)的定義域為｛x|x關0且xwa｝,>0,

8加右卜同

綜上所述，對任意的awR,函數(shù)y=/(x)+/(x—a)都不是奇函數(shù);

對于②，g(a-x)=f(a-x)+f(-x)=f(x-a)+f(x)=g(x),

所以，函數(shù)y=/(x)+/.(x-a)關于直線x=|'對稱.

因此，對任意實數(shù)a,均存在‘義：數(shù)機，使得函數(shù)y=/'(x)+/(x-a)關于x=對稱，②正確;

對于③，〃x)=x+1當且僅當x=±l時，等號成立,

當P.僅當x=a±l時，等號成立,

所以，g(x)=/(x)+/(x-a)N4

因為。力0，當。=±2時，兩個等號可以同時成立，所以，k<4.

因此，實數(shù)攵的取值范圍是(f,4],③正確；

對于④，假設存在實數(shù)上，使得直線y=%與函數(shù)g(x)的圖象有6個交點,

g(x)=x+—+a-x+----

若a>0,當0<x<a時,xa-x

此時，函數(shù)g(x)在區(qū)間(。，3單調(diào)遞減，在區(qū)間(會“上單調(diào)遞增,

w八?/+44

當0<x<a時，=—=?+

當X>a時，任取王、與€(。,+00),且須>工2，即工1>々>“，

則

(1I1111、

g(M)—g(*2)=X---FXj-U-\------X2-----FX2-6ZH-----

(xxxx—aJIx2x2-ai

11}(11

=2(玉_々)+—十

X2)、％-Qx2-a

xxx—x

2(%)+2~}j2]

XjX2(3一〃)(入2-a)

x1>x2>a隨著陽、々的增大而增大，

當%f。且吃—。時,

當XjT+<Q且%2―>4-00時，2-------------------..............----------------r—>2.

x}x2(Xj-a)[x2-a)

2-表一(…)；則8⑷"㈤，

所以，存在九。〉。，使得當。V工2＜%＜玉)時，

所以，函數(shù)g(尤)在區(qū)間(",％)上單調(diào)遞減;

當X]＞尤2＞王)時，2-4(x去h〉。,則g(%)>g(W)，

A]IAj_uH^2_ClI

所以，函數(shù)g(%)在區(qū)間,+8)上單調(diào)遞增,

所以,當x＞a時,5Wmin=^(^)).

若存在實數(shù)人使得函數(shù)y=〃x)+/(x—a)一左對任意非零實數(shù)。均存在6個零點,

即直線丁=上與函數(shù)g(x)的圖象有6個交點，

由于函數(shù)g(x)的圖象關于直線x=]對稱，

則直線