數(shù)學(xué)建模中的微分方程模型

關(guān)于數(shù)學(xué)建模中的微分方程模型第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

在研究實際問題時，常常會涉及到某些變量的變化率或?qū)?shù)，這樣所得到變量之間的關(guān)系式就是微分方程模型。微分方程模型反映的是變量之間的間接關(guān)系，因此，要得到直接關(guān)系，就得求解微分方程。

求解微分方程有三種方法：1）求精確解；2）求數(shù)值解（近似解）；3）定性理論方法。第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一建立微分方程模型的方法：（1）根據(jù)規(guī)律列方程利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或經(jīng)過實驗檢驗的規(guī)律等來建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知的定理與規(guī)律尋找微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對微元而不是直接對函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律。第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一（3）模擬近似法在生物、經(jīng)濟等學(xué)科的實際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，建模時在不同的假設(shè)下去模擬實際的現(xiàn)象，建立能近似反映問題的微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實際情況對比，檢驗此模型能否刻畫、模擬某些實際現(xiàn)象。第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一觀眾廳地面設(shè)計1問題的提出在影視廳或報告廳，經(jīng)常會為前邊觀眾遮擋住自己的視線而苦惱。顯然，場內(nèi)的觀眾都在朝臺上看，如果場內(nèi)地面不做成前低后高的坡度模式，那么前邊觀眾必然會遮擋后面觀眾的視線。試建立數(shù)學(xué)模型設(shè)計良好的報告廳地面坡度曲線。第五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一o—在臺上的設(shè)計視點b—第一排觀眾的眼睛到x軸的垂直距離a—第一排觀眾與設(shè)計視點的水平距離d—相鄰兩排的排距—視線升高標(biāo)準(zhǔn)x—表示任一排與設(shè)計視點的水平距離求任一排x與設(shè)計視點o的垂直距離函數(shù)使此曲線滿足視線的無遮擋要求。問題：建立坐標(biāo)系obxyadd第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一2問題的假設(shè)（1）觀眾廳地面的縱剖面圖一致，只需求中軸線上地面的起伏曲線即可。（2）同一排的座位在同一等高線上。（3）每個坐在座位上的觀眾的眼睛與地面的距離相等。（4）每個坐在座位上的觀眾的頭與地面的距離也相等。（5）所求曲線只要使觀眾的視線從緊鄰的前一個座位的人的頭頂擦過即可。第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一3建模設(shè)眼睛升起曲線應(yīng)滿足微分方程初始條件xobyadd1）從第一排起，觀眾眼睛與o點的連線的斜率隨排數(shù)的增加而增加，而眼睛升起曲線顯然與這些直線皆相交，故此升起曲線是凹的。第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一yoC1(x-d,0)C(x,0)C2(x+d,0)MM2M1xN1ABND2）選擇某排和相鄰排，則由知：相似于由得：第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一再計算相似于得：由于是所以又因第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一4模型求解定義在某個區(qū)域D上，且微分不等式（比較定理）設(shè)函數(shù)1）在D上滿足存在唯一性定理的條件；2）在D上有不等式則初值問題與的解在它們共同存在區(qū)間上滿足第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一由于令于是第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一所求曲線的近似曲線方程為：折衷法第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一5總結(jié)與討論有時只需求近似解。方法：利用微分不等式建模；模型討論：obxyadd1）視點移動時升起曲線如何求得？2）怎樣減少地面的坡度？調(diào)整參數(shù)、相鄰排錯位。3）衡量經(jīng)濟的指標(biāo)？座位盡量多、升起曲線占據(jù)的空間盡量少等。第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

一古尸年代鑒定問題

在巴基斯坦一個洞穴里，發(fā)現(xiàn)了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科學(xué)家把它帶到實驗室，作碳14年代測定，分析表明，與的比例僅僅是活組織內(nèi)的6.24%，能否判斷此人生活在多少年前？第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

年代測定：活體中的碳有一小部分是放射性同位素，這種放射性碳是由于宇宙射線在高層大氣中的撞擊引起的，經(jīng)過一系列交換過程進入活組織內(nèi)，直到在生物體內(nèi)達到平衡濃度，這意味著在活體中，的數(shù)量與穩(wěn)定的的數(shù)量成定比，生物體死亡后，交換過程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一的速度減少。背景：第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一則，當(dāng)設(shè)為死后年數(shù)，時，即活體中與數(shù)量的比例積分得：當(dāng)時，求得：此即所求死亡年數(shù)。第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一年代測定的修訂：

1966年，耶魯實驗室的MinzeStuiver和加利福尼亞大學(xué)圣地亞哥分校的HansE.Suess在一份報告中指出：在2500到10000年前這段時間中測得的結(jié)果有差異，其根本原因在于那個年代，宇宙射線的放射性強度減弱了，偏差的峰值發(fā)生在大約6000年以前。他們提出了一個很成功的誤差公式，用來校正根據(jù)碳測定出的2300年到6000年前這期間的年代：真正的年代＝第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

二范.梅格倫（VanMeegren）偽造名畫案

第二次世界大戰(zhàn)比利時解放后，荷蘭保安機關(guān)開始搜捕納粹分子的合作者，發(fā)現(xiàn)一名三流畫家H.A.Vanmeegren曾將17世紀(jì)荷蘭著名畫家Jan.Vermeer的一批名貴油畫盜賣給德寇，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了此人。Vanmeegren被捕后宣稱他從未出賣過荷蘭的利益，所有的油畫都是自己偽造的，為了證實這一切，在獄中開始偽造Vermeer的畫《耶穌在學(xué)者中間》。當(dāng)他的工作快完成時，又獲悉他可能以偽造罪被判刑，于是拒絕將畫老化，以免留下罪證。第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

為了審理這一案件，法庭組織了一個由化學(xué)家、物理學(xué)家、藝術(shù)史學(xué)家等參加的國際專門小組，采用了當(dāng)時最先進的科學(xué)方法，動用了X-光線透視等，對顏料成份進行分析，終于在幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代物質(zhì)諸如現(xiàn)代顏料鈷藍(lán)的痕跡。這樣，偽造罪成立，Vanmeegren被判一年徒刑，1947年11月30日他在獄中心臟病發(fā)作而死去。但是，許多人還是不相信其余的名畫是偽造的，因為，Vanmeegren在獄中作的畫實在是質(zhì)量太差，所找理由都不能使懷疑者滿意。直到20年后，1967年，卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的科學(xué)家們用微分方程模型解決了這一問題。第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一原理：著名物理學(xué)家盧瑟夫（Rutherford）指出：物質(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù)。設(shè)時刻的原子數(shù)為，則有為物質(zhì)的衰變常數(shù)。初始條件求解得：第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一能測出或算出，只要知道就可算出這正是問題的難處，下面是間接確定的方法。年代。半衰期釙-210鈾-238鐳-226鉛-210討論涉及半衰期的相關(guān)知識：第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一油畫中的放射性物質(zhì)

白鉛（鉛的氧化物）是油畫中的顏料之一，應(yīng)用已有2000余年，白鉛中含有少量的鉛(Pb210)和更少量的鐳(Ra226)。白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的，而鉛金屬是經(jīng)過熔煉從鉛礦中提取來出的。當(dāng)白鉛從處于放射性平衡狀態(tài)的礦中提取出來時，Pb210的絕大多數(shù)來源被切斷，因而要迅速蛻變，直到Pb210與少量的鐳再度處于放射平衡，這時Pb210的蛻變正好等于鐳蛻變所補足的為止。第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一鈾238鐳226鉛210釙210鉛206（放射性）（無放射性）第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一假設(shè)（2）釙的半衰期為138天容易測定，鉛210的半衰期為22年，對要鑒別的300多年的顏料來說，每克白鉛中每分鐘釙的衰變原子數(shù)與鉛210的衰變原子數(shù)可視為相等。（1）鐳的半衰期為1600年，我們只對17世紀(jì)的油畫感興趣，時經(jīng)300多年，白鉛中鐳至少還有原量的90%以上，所以每克白鉛中每分鐘鐳的衰變原子數(shù)可視為常數(shù)，用表示。第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一建模設(shè)時刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量為，為制造時刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量。

為鉛210的衰變常數(shù)。則在時間內(nèi)油畫中鉛210的含量變化了，它們有如下關(guān)系：從而第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一求解從而可算出白鉛中鉛的衰變率，再與當(dāng)時的礦物比較，以鑒別真?zhèn)巍＞蓽y出。其中第二十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一測定結(jié)果與分析：