高考總復習新課標a版數學理學案部分全解全析

參考答案

學案部分

第一章集合與常用邏輯用語

第一節(jié)集合

課本導讀

1.⑴確定性互異性⑵屬于不屬于e4(3)NN*或N+ZQR(4)列舉

法描述法圖示法(5)有限集無限集空集

2.相同A=BAB或BA子集真子集

3.xd/1或xGAKxGBxG。且扁

4.BUAAUBU0A

基礎自評

1.解析SU7={1,2,3}.故選C.

答案C

2.解析由圖知即求(C〃)nB,而{4,6,7,8},8={2,4,6},所以([4)03={4,6}.故

選B.

答案B

3.解析集合"中的元素為方程.危)=0的根，集合N中的元素為方程g(x)=O的根，

但有可能M中的元素會使得g(x)=0沒有意義，同理N中的元素也有可能會使得危)=0沒有

意義.如：於)=[x-2,g(x)=W-x,大x)-g(x)=7x-2-、1-x=0解集為空集.這里容易錯

選A或C.

答案B

4.解析4=&+8),5=(-1,1),=1).

答案(51)

5.解析集合8中，，-5%+420,或xWl.

又??,集合4中Q-IWxWl+a

'.'/lI-I5=o,.,?<7+1<4JLa-1>1,■,■2<a<3.

答案（2,3）

研考點?知規(guī)律

x=0,x=0,

【例1】解析(1)因為x,y€A,所以或

7=0卜=1

x=0,x=1,x=1,Jx=},或1x=2,x=2,x=2,

或八或'或“或所以B

V=2y=0「1y=0y=i卜=2,

={0,-1,-2,1,2),所以集合8中有5個元素，應選C.

(2)若。+2=1,則。=-1,代入集合得4={1,0,1},與集合元素的互異性矛盾；

若("1)2=1,得“=0或-2,代入集合/,得/={2,1,3}或/={0,1,1},后者與集合的

互異性矛盾，故。=0符合要求；

若/+3(7+3=1,則a=-l或-2,代入集合得/={1,0,1}或者力={0』,1},都與

集合的互異性相矛盾.

綜上可知只有a=0符合要求，故集合3中只有一個元素，應選B.

答案(1)C(2)B

變式思考1解析={z[z=盯，x￡/,y^B},

又/={1,2},B={0,2},

{0,2,4},其所有元素之和為6,故選D.

(2)'.'A=0,二方程水2-3》+2=0無實才艮，

2

當4=0時，X=§不合題意，

9

當時，J=9-8a<0,二哄.

O

答案(1)D(2)(1,+8)

【例2】解析(1)因為4U8=4所以8U4

所以m=3或/%=yj~m.

若加=3,則4={1,3,小},8={1,3},滿足4U8=4

若m=M^，貝1J機=0或〃？=1.當機=0時，A={1,3,0},B={1,0},滿足ZU8=4;當加

=1時，4={1,31},3={1,1},不滿足集合中元素的互異性，舍去.

2aa+3-1x

42aa+3x

綜上，，〃=0或機=3.應選B.

(2)當8=0時，只需2a>a+3,即a>3;

a+322。,

當8#0時，根據題意作出如右圖所示的數軸，可得

,i?+3<-1

］。+322。，

或"{解得-4或2<aW3.

綜上可得，實數a的取值范圍為-4或q>2.

答案(1)B(2){他<一4或心2}

變式思考2解析(1)由f-3x+2=0,得x=l或x=2,

?"={1,2}.

由題意知8={1,2,3,4},

???滿足條件的C可為{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.

(2)由log2X<2,得0<xW4,

即/={x|0〈xW4},而8=(-8,0,

由于/U8,如右圖所示，則a>4,則c=4.

答案(1)D(2)4

【例3】解析(1)；/=}因《31,

當a=-4時，B={x\-2<x<2},

???/nB={x|gwxv2},/U8={x|-3}.

(2)CR/=1，X§或x>3]，當([/)08=8時，

①當8=0,即a20時，滿足8=[近；

②當8羊即a<0時,8={x|--\]-a<x<yj-a],要使8U[R/l,需.二解得-；Wa<0.

綜上可得，實數a的取值范圍是

變式思考3解析(1)集合4={小>2或x<0},所以4UB={小>2或工<0}U3-小

<x<V5}=R,選擇B.

(2)由題意可知,集合4={小20},8={x|2WxW4},所以[6={x|x<2或x>4},此時4rl

CRB={W2或x>4},故選C.

答案(1)B(2)C

自主體驗

1.解析本題在給出新的運算法則的前提下，考查學生的運算求解能力.在B選項中，

[a*(b*a)]*(a*b)=b*(a*b)=a,故B項正確；在C選項中,將a*(b*a)=6中的a換成6,即得

b*(b*b)=b成立，故C項正確；在D選項中，令a*b=c,則c*(b*c)=b成立，故D項正確；

只有A選項不能恒成立.

答案A

2.解析本題考查歸納推理，集合的性質，

若(x,y,z)€S,則令A/:x,y,z,x,y,z,???,則A/中任意三個連續(xù)的數組成的元素

均在集合S中；

同理，由⑵w,x)€S,知令N:z,iv,x,z,w,x,z,w,x,???,則N中任意三個連

續(xù)的數組成的元素均在集合S中；則令。：x,y,z,w,x,y,z,w,?,,,則0中任意四個

連續(xù)的數中的任意三個數(順序不變)組成的元素在集合s內，.由此分析，知選士

答案B

第二節(jié)命題及其關系、充分條件與必要條件

課本導讀

1.判斷真假判斷為真判斷為假

2.(1)若q,則p若㈱p,則榷q,則(2)①相同②無關

3.(1)充分條件必要條件(2)充要條件

基礎自評

1.解析逆命題只需將原命題的條件與結論交換即可.

答案D

2.解析“x+y是偶數”的否定為“x+y不是偶數”,“x,y都是偶數”的否定為“x,

y不都是偶數”.因此其逆否命題為“若x+y不是偶數，則x,y不都是偶數”，故選C.

答案C

3.解析由4=2,得力反過來，由4n8=4且得4U8.因此，

AQB^AOB=A成立的充要條件.

答案C

4.解析原命題的條件：在△/BC中，ZC=90°,

結論：N/、N8都是銳角.否命題是否定條件和結論.

即“在△/8C中，若NCW90。，則N4N8不都是銳角”.

答案”在中，若NCW90。，則//、NB不都是銳角”

5.解析①由2>-3/=22>(-3)2知，該命題為假；②由。2>爐=同2>回2n同>聞知，該

命題為真；?a>b^a+c>b+c,又a+c>6+c=〃>6,是"a+c>b+c”的充要條件為

真命題.

答案②③

研考點?知規(guī)律

【例1】解析①中否命題為“若。=0,則/=0"，正確；②中逆命題不正確；③

中，A-\+4m,當加>0時，/>0,原命題正確，故其逆否命題正確；④中原命題正確故逆否

命題正確.

答案B

變式思考1解析(1)原命題與逆否命題等價，而原命題為真，所以逆否命題為真命

題.原命題的逆命題為：若夕=y(x)的圖象不過第四象限，則函數y=/(x)是賽函數.顯然此命

題為假.

又?.?逆命題與否命題同真假，，否命題為假.

(2)①的逆命題為“若x,y互為相反數，貝L+y=0"，為真命題；②的否命題為“不全

等的三角形面積不相等"，為假命題；在③中，逆否命題與原命題同真假，易知原命題為真，

則其逆否命題也為真命題，故③為真命題；④的逆命題為“三個內角相等的三角形不是等邊

三角形"，為假命題.故填①③.

答案(1)C⑵①③

【例2】解析當夕=兀時，y=sin(2x+兀)=-sin2r,則曲線y=-sin2x過坐標原點，

所以"夕=兀"="曲線y=sin(2x+夕)過坐標原點"；當9=2兀時，y=sin(2x+2兀)=sin2x,則

曲線y=sin2x過坐標原點，所以曲線y=sin(2x+0)過坐標原點=/夕=兀，所以"夕=兀"是"曲

線了=sin(2x+0)過坐標原點”的充分而不必要條件，故選A.

'答案A

變式思考2解析(1)由題可知而/=?等價于p=>^q,但密q/=p.故p

是的充分不必要條件.選A.

(2)由題意得ZU8={x￡Rk〈O或x>2},C={x￡R|x〈0或x>2},故/U8=C,則“x￡/

U8”是“x￡C”的充要條件.

答案(1)A(2)C

【例3】解由題意p:-20-3W2,二1&^5.

.,檎p:x〈l或x>5.又‘：夕：zn-lWxWw+1,

q:x<m-1或x>m+1.

又；㈱p是㈱q的充分而不必要條件，

-1^1,

"'.1.'.2W?MW4.

[m+1W5.

變式思考3解析(1)設q,p表示的范圍為集合4B

則/=(2,3),8=(。-4,a+4).

因為令是p的充分條件，則有

q-4W2,

則所以-1W〃W6.

a+423,

mm

(2)4x+m<0,?"-x<--'-p:x<一了

'■'x2-x-2>0,?'?x<-1或x>2.■'■(］：x<-1或x>2.

p=q，」，-不〈-1,：.?724.

即機的取值范圍是[4,+8).

答案(D-lWaW6(2)[4,+8)

自主體驗

1.解析本題考查原命題的否命題的寫法.“a+b+c=3”的否定是“a+6+cW3”，

''J+y+c223”的否定是“/+戶+。2<3”.原命題是“若p,貝，]q”,則其否命題是“若

女弟夕，則，故命題“若a+Z>+c=3,則/+/+°223”的否命題是“若q+6+cW3,

則/+/+°2<3”.

答案A

2.解析“x,y中至少有一個數大于1”成立的充分不必要條件是x+y>2,因為若x,

y都不大于1,則x+y>2不成立.但是x,y中至少有一個數大于1,不一定有x+y>2,如x

=4,y=~8,貝|Jx+y=-4,故選B.

答案B

第三節(jié)簡單的邏輯聯結詞、

全稱量詞與存在量詞課本導讀

1.真真假假真假假真真假假真

2.所有的任意一個全稱量詞VxSM,p(x)存在一個

至少有一個存在量詞3xoew,P(xo)

3.B.r0GA/,p(xo)V.rGAf,p(x)

基礎自評

1.解析由真值表知，是真命題，故選D.

答案D

2.解析全稱命題的否定是特稱命題，"sinxWl”的否定是“sinx>l"，故選C.

答案C

3.解析"pNq”為真，則命題p、q中至少有一個為真，"p!\q"為假，則命題p、q

中至少有一個為假，則“pVg為真,pAg為假”的充要條件是“p、q中有且只有一個為真”.

答案C

4.答案所有的三角形都不是等邊三角形

5.解析三網€R,2^-3oxo+9<0為假命題，則VxER,2.F-3辦+920恒成立，有/

=9J-72W0,解得-2色WaW2巾.

答案[一2啦，2啦]

研考點?知規(guī)律

【例1】解析由/(》)=(2*-2->=ln2[2"+&>0知，命題“是真命題，是

Vvv

假命題；g'(x)=(2+2)=ln2[2-(1)],當x￡(0,+8)時，g'(x)>o,故命題p2是假命

題，是真命題，從而命題41、44是真命題，故選C.

答案c

變式思考1解析因為函數y=X2-2x的單調遞增區(qū)間是[1,+8),所以P是真命題;

因為函數卜=》-：的單調遞增區(qū)間是(-8,0)和(0,+8),所以q是假命題.所以pAq為假

命題，pVq為真命題，為假命題，</為真命題，故選D.

答案D

【例2】解析對于A,1-a?=a(n+\)+h-(an+b)=a,。是常數.A項正確；對

于B,Vxf(-8,o),2X>3X,B不正確；對于C,易知3、#0,因此C項正確；對于D,注

意到lgl=0,因此D項正確.

答案B

變式思考2解析(1)由于Vx￡R,都有』20,因而有』+222>0,即？+2>0.所以

命題“V.r€R,f+2>0"是真命題.

(2)由于OSN,當x=0時，不成立，所以命題“Vx€N,是假命題.

(3)由于-1EZ,當x=-l時，能使fvl,所以命題“mx￡Z,丁<1”是真命題.

(4)由于使f=3成立的數只有人標，而它們都不是有理數.因此，沒有任何一個有理數

的平方能等于3,所以命題“mx￡Q,￥=3”是假命題.

(5)假命題，因為只有42或%<1時滿足.

(6)假命題，因為不存在一個實數x使f+1=0成立.

答案(1)真⑵假(3)真(4)假(5)假⑹假

【例3】解⑴3x€R,x2-x+^<0,假命題.

(2)^4：至少存在一個正方形不是矩形，假命題.

(3懈r:Vx€R,X2+2X+2>0,真命題.

(4踴s:Vx€R,d+iwo,假命題.

變式思考3解析(1)全稱命題的否定為特稱命題，故選D.

(2)已知此命題是一個特稱命題，根據特稱命題的否定影式，可知其否定是一個全稱命題,

然后把"e'x"改為"e*Wx”即得答案.

答案(1)D(2)C

自主體驗

1.解析由于命題的否定是假命題，所以原命題為真命題，結合圖象知/=/-4>0,

解得a>2或a<-2.

答案(一8,-2)U(2,+8)

2.解若p是真命題，貝

若夕是真命題，則將出＞1，又Mnin=2。，

，q為真命題時懸

又「pV1為真，pAq為假「.p與q一真一假.

若P真q假，則O〈QW；；若p假q真，則

故a的取值范圍為OvaW/或1.

第二章函數、導數及其應用

第一節(jié)函數及其表示

課本導讀

1.⑴非空唯一x(2)自變量函數值{y[y=J(x),x^A}(3)定義域對應法則值

域

2.任意有一個且僅有一個元素A-B定義域值域

3.不同的對應法則

基礎自評

1.解析Xx)=g(x+2)=2(x+2)+3=2x+7.

答案D

2,2、13

2.解析7(3)=?.歡3))=(J『+1=豆

答案D

3.解析B中一個x對應兩個函數值，不符合函數定義.

答案B

4.解析對于函數①②，A/中的2,4兩元素在N中找不到象與之對應，對于函數③，M

中的-1,2,4在N中沒有象與之對應，故選D.

答案D

5.解析/[g(l)]=X3)=1.___________________________

X123

加X)]131

頒X)]313

故/[g(x)]＞g[/(x)]的解為x=2.

答案12

研考點?知規(guī)律

【例1】解析⑴由函數的定義知①正確.②中滿足兒:)=也=3+產7的x不存在，

所以②不正確.③中y=2x(x6N)的圖象是一條直線上的一群孤立的點，所以③不正確.④中

於)與g(x)的定義域不同，，④也不正確.故選A.

(2)對于①，當0￡/時，y=OG8,故①所給的對應法則不是4到8的映射，當然它不是

力上的函數關系；對于②，當2￡/時，＞/=也在8,故②所給的對應法則不是4到8的映射，

當然它不是力上的函數關系；對于③，對于Z中的任一個數，按照對應法則，在8中都有唯

一元素0和它對應，故③所給的對應法則是4到8的映射，這兩個數集之間的關系是集合N

上的函數關系.

答案(1)A(2)B

變式思考1解析(1)選項A,B中，定義域不同，選項C中，對應法則不同，只有選

項D中的兩個函數的三要素相同.故選D.

(2)由函數定義可知，自變量x對應唯一的y值，所以③④錯誤，①②正確.

答案(1)D(2)①②

22

【例2】解析(1)令貝=

22

=即./U)=ig7T7

(2)iSlXx)=ax+bx+c(a^0)9由＜0)=2,得c=2,

f{x+1)-fix)=a(x+I)2+b(x+1)-ax-bx=x-1,

即lax+a+h=x-1,

2a=1,J67=2,

?,「即R

a+b=-1,乙3

1,3

/企)=/-干+2.

⑶??/x)+斑)=x,，心+2Ax)=1-

f/(x)+2/(^)=x,

解方程組彳得段)=石-資力0).

氏)+2段)=：

變式思考2解⑴令/=也+1,x=(t-I)2.

則</)=?-1)2+2?_】)='_1,

.??/x)=x2-1(X>1).

(2)設Xx)=ax-+hx+c(aWO),又/(O)=c=3.

=ax+bx+3,

+2)-j[x)=a(x+2)2+6(x+2)+3-(of++c)=4ax+4Q+26=4x+2.

4。=4,fa=15

?<?<

14。+2h=2,16=-1.

--Ax)=x2-x+3.

【例3】解析⑴由于如)=12,所以3?-1)1=12,解得/=5.

于是<-S)=log2[(-小尸+1]=2,因此加-5))=/(2)=3X42=48,故選B.

1/

一.

Z?記FKx

(2)在平面直角坐標系中畫出函數/(X)的圖象如右圖，令上])=/2)=/(%3)=。，則由題意

知危)=。有三個不相等的實根修，必，"3,即函數加)的圖象與直線y=。的圖象有三個交點，

由圖叁可以看出，只有當2vz<4時，兩個圖象才看三個交點.這時不妨設燈蟲嗎，則一定

有、2+%3=4,且-15<0,于是3<修+工2+了3<4,即修+工2+》3的取值范圍是(3,4).

答案(1)B(2)(3,4)

變式思考3解析⑴由題意得/&=log3t=-2,

11

XA9))=X-2)=2-27=4.

(2)當xWl時，令3*=2,解得x=log32;

當x>l時，令-x=2,解得x=-2,與x>l矛盾，舍去.

故x的值為log32.

答案(1)B(2)log32

自主體驗

+i=O

1.解析依題意有+2

父+23

cos|=r

,(一§=cos(-?兀)=cos(_兀_=一1

25

所以I,故選D.

答案D

2.解析當x￡(-8,1］時，函數值域為+8)當x￡([,+8)時,值域為(0,4-

8).因為火工)=；￡(0,+8),所以工￡(1,+8),所以log8]X=:,工=81；=3.故選8.

答案B

第二節(jié)函數的定義域與值域

課本導讀

1.⑴不等于零(2)大于或等于0(3)R(4)R(5)(0,+~)(6){小W0}

4方24

2.(DR(3)W^0}(4)W>0}(5)R

基礎自評

1.解析Xx)=qr=7的定義域A/即1-feo的解集，故A/={x|-IWxWl}.由補集

的運算知[RM=(-8,-1)11(1,+8).

答案D

2.解析畫出圖象可求值域.

答案A

2

3.解析?■-X+2>2,.".0<^27^<|..--0<^5-

答案D

x-420,

4.解析由,得x24且xN5.

|x|-5WO,

答案{x|x24且xW5}

5.解析?.?也有意義，「.上》。.

5C^=x2+3x-5=(x+y)2-^-5,

?,?當，=0時,ymin=-5.

答案[-5,+8)

研考點?知規(guī)律

2x720,

2%+1>0,

{log1(2x+1)^0,

X>_1'X斗’/(x)的定義域為g+8).

、2x+1^1.

(2)/=｛小片1｝，7=用切，.m,且於)#1,故2=｛x|xWl且x#0｝.4故NAB

=B,選D.

答案(1)[1.+°°)(2)D

[x2-2x>0?

變式思考1解(1)要使該函數有意義，需要、

[9-x>0,

Y<T0式丫>?.

則有一-解得-3*0或2*3,

-3<x<3,

所以所求函數的定義域為(-3,0)U(2,3).

(2)-."函數人x)的定義域是[-1,1],

，-IWxWl,-lWlog2X〈l,.'HWXWZ.

故4Og2X)的定義域為仕，2.

【例2】解析(1)由3+2x-f20得函數定義域為[-1,3]，又，=3+2x-f=4-(x-

I)2.

.“￡[0,4],業(yè)[0,2]，從而將加=2(當x=l時)；

'max=4(當工=-1或X=3時).故值域為[2,4].

_____j

(2)方法1:4^1-2x=/(/20),則x=—一.

“1-~=-(/+外方

??.二次函數對稱軸為/=一/

???在[0,+8)上，y=-Q+；)2+'是減函數.

故Pmax="(0+￡)2+4=晨

故函數有最大值1,無最小值，其值域為(-8,1].

方法2:.「y=2%與^=-2x均為定義域上的增函數，故y=2x-41-2x是定義域為

｛小W；｝上的增函數,故ymax=2xT-[1-2X3=1,無最小值.

故函數的值域為(-8,1],

4

(3)方法1::函數y=x是定義域為｛xkWO｝上的奇函數，故其圖象關于原點對稱，故

只討論x>0時，即可知x<0時的最值.

4/-4

???當x>0時，y=x+~^2A/x--=4,

等號當且僅當x=2時取得；

當x<0時，yW-4,等號當且僅當x=-2時取得.

綜上，函數的值域為(-8,-4]U[4,+8),無最值.

方法2：任取X],切，且工1<》2，Ax=X2-X\>0,

因為4y=人外)-加)

_(X2-XA)(X}X2-4)

x\x2.

所以當xW-2或x22時，./)遞增；

當-2<x<0或0<x<2時，y(%)遞減.

故x=-2時，段)極大位=/(-2)=-4,

x=2時,左)極小值=7(2)=4,

所以所求函數的值域為(-8,-4]U[4,+8),無最大(小)值.

(4)由y=*，得3*=亡？

YV

■■■y>0,>0,.,-0<y<1.

i-y

...原函數的值域為(0,1),無最值.

變式思考2解(1)方法1:(分離常數法)

1~X22

廣工廠一1十五異

2

"20,.,.x2+1>1,/.Oc：---5W2.

1+x

2

-1<_1+[2W1.

1+x

即函數值域為(-1,1].

方法2:(反解法)

1+y

.1即函數值域為(T,l1

(2)(配方法)y=yj-2(x-1)2+y,

.,?值域為[0,分§].

(3)由y=x+：+1。/0),得y-l=x+±

「?卜-1|22,即-1或y23.

故函數的值域為(-8,-1]U[3,+8)

「2x20，

(4)考慮函數單調性，由、解得0?6,

［6-xNO,

即函數的定義域為［0,6］.

因為函數y=-港在［0,6］上單調遞增，

所以將出=_祗,在x=0處取得；

Nmax=2小，在X=6處取得,

故函數的值域為［-#,2?。?

【例3】解(1)方程於)=X,即中2+以=》，

亦即ax2+(b-l)x=0,

由方程有兩個相等的實根，得/=(6-1)2-44X0=0,

:.b=1.

由＜2)=0,得4Q+2b=0.

由①、②得，a=-6=1,

故/(x)=-^x2+x.

⑵假設存在實數加、〃滿足條件，由(1)知，

〃、121,1、22

Ax)=_2X+%=+］W］，

則2〃wg,即

,-*Xx)=--1)2+g的對稱軸為X=1'

.,.當〃W；時，/(x)在阿，網上為增函數.

-5m2+加=2m,

⑼=2m,

于是有

ri)-2〃，1,

{~2n~+〃=2m

m=-2或〃7=0,1［m=-2,

又「?］

4［n=0.

故存在實數加=-2,〃=0,使加)的定義域為［〃?，川，值域為［2加,2〃］.

變式思考3解y(x)=x2-4ax+2。+6=(x-2a)2+2。+6-4a2.

(1)???函數值域為［0,+8),??.2a+6-4o2=0.

3

解得a=-］或a=三.

(2)??.函數值域為非負數集,...2〃+6-4/N0.

即2a?-Q-3W0,解得-iWaW,

317

「?義夕)=2-司白+3|=2-a(a+3)=-(a+1)27+—.

319

」./(a)在［-1,］］上單調遞減.「?-彳〈/(4戶4.

19

即人4)值域為［-7"，4］.

自主體驗

\x+1|,Q］，

1

{\x-2|,x<2,

由圖象知函數的值域為I，+8).

答案|，+8)

2.解析根據絕對值的意義，

|x2-1|\x+1(%>1或%<_1),

y=--------="

X-1［-X-1(-1<X<1).

在直角坐標系中作出該函數的圖象，如圖中實線所示.根據圖象可知,

當0<A<1或1<K4時有兩個交點.

答案(0,1)U(1,4)

第三節(jié)函數的單調性與最值

課本導讀

1.(1貿X1)5/(X2)逐漸上升逐漸下降

(2)增函數減函數區(qū)間。

2.AXQ)=M段)2/Jlxn)=M

基礎自評

1.解析結合函數的圖象易知選D.

答案D

2.解析由殊+1<0,得k<-故選D.

答案D

1[|x|<1,

3.解析由已知條件：->1,不等式等價于解得-1<工<1,且xWO.

答案C

4.解析要使y=log5(2x+1)有意義，則2x+l〉0,即元〉-；，而y=log5〃為(0,+°°)

上的增函數，當時，〃=2%+1也為增函數，故原函數的單調增區(qū)間是(-；，+8)

答案+8)

5.解析0/1-x(l-x)=x2~x+1=(x-1)2+

144

，0<

*1-x(l-X)^V故./(X)max=『

4

答案3

研考點?知規(guī)律

【例1】解方法1：設0vxi<、2，則

.*修)一危2)=ex1+e-Xj-ex2-e-X2

=(ex2-e%i7)V(---------1).

exi+x2

*'0<X|<X25-'-ex2-exi>0,又e>l,修+切>0.

1

?*.exi+X2>1故一-l<0.

?ex]

???Ai)-於2)<0，由單調函數的定義知函數段)在區(qū)間(0，+8)上為增函數.

方法2:對危)=廿+「求導，得

f(x)=ev-e-x=e-x(e2Y-l).

當xE(O,+8)時，有e'>0,e2t-1>0,此時/(x)>0.

???函數Xx)=e*+e-*在區(qū)間(0,+8)上為增函數.

設-1<Xi<X2<I，7W=JX1]1="(1+

變式思考1解

/3)-Hx2)=a(i+Ur)-《+UT)

X2~X\

=ci-------------------------

(%1-l)(x2-1)

當。>0時，人修)-./(冷)>0,即^X|)>/(X2),函數兀V)在(-1,1)上遞減;

當a<0at,./(%,)-/x2)<0,即/(修)<./2)，函數段)在(-1,1)上遞增.

【例2】解

(1)先作出函數》=》2-敘+3的圖象，由于絕對值的作用，把x軸下方的部分翻折到上方，

可得函數>=,2-4%+3|的圖象.如右圖所示.

由圖可知，<x)在(-8,1)和(2,3］上為減函數，在［1,2］和(3,+8)上為增函數，故4》)

的增區(qū)間為［1,2］,(3,+8),減區(qū)間為(-8,1),(2,3］.

(2)函數的定義域為x2-1>0,

即{x|x>l或xvT}.

令u(x)=x2-1,圖象如右圖所示.

由圖象可知，〃(x)在(-8,-1)上是減函數，在(1,+8)上是增函數.

而/(〃)=log2w是增函數.

故段)=10g2(f-1)的單調增區(qū)間是(1,+8),單調減區(qū)間是(-8,-1).

［x2-2x,x22,

變式思考2解析(1)由于危)=k-28=2.。

〔一x+2x,x<2.

結合圖象可知函數的單調減區(qū)間是［1,2］.故選A.

(2)容易作出函數兀r)的圖象(圖略)，可知函數40在(一8,-多上單調遞減，在

-/+8)上單調遞增.又已知函數/(X)的單調遞增區(qū)間是［3,+8),所以-^=3,解得Q

=-6.

答案(1)A(2)-6

【例3】解析

(1)可以畫出函數的圖象求解，也可以轉化為不等式求解.

x2+1,x20,

畫出的圖象，如右圖.

11,x<0

1-x2>0,

由圖象可知，若川-？)次涮，則,

1-x>2x,

m得工￡(-1,也-1).

I-1-Vr2<x<-1+^/r2,

⑵;當時，y=lo&x單調遞減，「?0<a<l；而當x〈l時，兀。=(3丁-l)x+4a單調遞

減，又函數在其定義域內單調遞減，故當x=l時，(3a-1.+4〃24o&x，得QN；,

綜上可知，

答案(1)(-1,--1)晤D.

變式思考3解析(1)因為函數7(x)=(2a-l)x+6是R上的減函數，

所以解得0弓，

所以a的取值范圍是(-8,；).

/、x-5a-3

2?x-a-2］+工_伍+2)，

由函數在(-1,+8)上單調遞增，

［。一3<0,

有r—1解得-3.

答案(1)(一8,(2)C

4

【例4】解⑴當。=4時，m)=x+1+2.

.4x2-4

??/⑴…/丁，

二小:)在［1,2］上是減函數，在(2,+8)上是增函數.

-'-Ax)min=/2)=6.

(2)當°=3時，Xx)=x+^+2.

易知，危)在［1,+8)上為增函數.

7

?'-/Wmin=/1)=2-

(3)函數<x)=x+W+2在(0,g］上是減函數，

在［F，+8)上是增函數.

若金〉1,即4〉1時，犬幻在區(qū)間［1,+8)上先減后增，

TWmin=大6)=2G+2.

若gwi,即0<aWl時，道X)在區(qū)間口，+8)上是增函數，二次0疝11=")=4+3.

變太思考4解方法1：設1號￥1〈］20,

於2)一"1)=應_已_(修_/)

11X-Xi

=X2-X\+~-~=X2-X\+-2----

XjX2X\X2

=(x-x,)(l+—),

2修工2

1WXI<X2<3,,加2)-外1)>0.

.\/(x)=x-：在［1,3］上為增函數.

Q

最小值為/(I)=0,最大值為義3)=丁

方法2:在［1,3］上，y=x為增函數，y為減函數，

「.y=工-：為增函數，以下同方法1.

自主體驗

1.解析.函數=/一cosx為偶函數，.,*/(-0.5)=y(0.5),f(x)=2x+sinx,當0<工<5

時，/(x)=2x+sinx>0,，函數在(0,號上遞增，"(O)勺(0.5)勺(0.6),即義0)勺(-0.5)勺(0.6),

選B.

答案B

2.解析因為｛x)在［-1,0］上單調遞增，段)的圖象關于直線x=0對稱，所以<x)在［0,1］

上單調遞減；又大刈的圖象關于直線x=1對稱，所以<x)在［1,2］上單調遞增.由對稱性.43)

=X1)<AV2)</(2),即q〈Xc.

答案D

第四節(jié)函數的奇偶性與周期性

課本導讀

1.(l)/(-x)=Xx)(2)X-x)=-Xx)(3)原點y軸

2.(1)相同相反(2次0)=0

3.(l)/(x)(2)最小最小

基礎自評

1.解析兀0的定義域為(-8,0)U(O,+8),又八-x)=±-(-x)=-Q-X)=-危),

則大燈為奇函數，圖象關于原點對稱.

答案C

2.解析依題意6=0,且2。

.1./>=0JLa=1,貝+

答案B

3.解析.?先+4)=/),

.??/(X)是以4為周期的周期函數.

??貝8)=加).

又函數Xx)是定義在R上的奇函數，

=/(0)=0,故選B.

答案B

4.解析'.'7(1)=t/sinl+b+c,/(-1)=-osinl-b+c且c￡Z,

?\AD+_A-l)=2c是偶數，只有D項中兩數和為奇數，故不可能是D.

答案D

5.解析方法1:,.7(-幻=外)對于x￡R恒成立，

|-x+。|=|x+。|對于x￡R恒成立，兩邊平方整理得ax=0對于x￡R恒成立，故°=

0.

方法2:由.火-1)=火1),得|a-l|=|a+1|,得a=0.

答案0

研考點?知規(guī)律

【例1】解析(l)y=x:y=2sinx是奇函數，y=2"是非奇非偶函數，y=j?+1是偶函

數.故選C.

(2)；當x￡Q時，-x€Q,-x)=fix)=1;當X€[RQ時，€[RQ,?'./(-x)=y(x)

=-1.綜上，對任意x￡R,都有/(-x)=/(x),故函數外)為偶函數.

xxr

e--11-ee-1

,?.g(_x)=^T7y=Y7^=_^7^7=_g(x),二函數g(x)為奇函數.二/一幻=./(_》>8(_

x)=/(x)「g(x)]=-/(x)g(x)=-6(x),.,.函數%(x)=y(x>g(x)是奇函數???/⑴=川必⑴

Q?一][—e

/?(-1)=/(-l)-g(-1)==h(-l)^A(l),?.?函數/2(x)不是偶函數.

答案(1)C(2)A

x2-120,

變式思考1解(1)1.由得x=±1,

.1-*20,

.Jx)的定義域為{-1,1}.

又4D+火-1)=0,/1)-/-1)=0,

即7(x)=4>x).

???/(X)既是奇函數又是偶函數.

4-X2^0,

(2)，.,由得-2WxW2且xr0.

〔k+3|-3￥0,

???危)的定義域為[-2,0)U(0,2],

W_*2_小_fF

■■-Ax)=,+3|-3=(x+3)-3=x

''-A-x)=-加