20182019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章變化率與導(dǎo)數(shù)1變化快慢與變化率教案(含解析)北師大版

變化的快慢與變化率均勻變化率下表是某病人吃完退燒藥，他的體溫變化狀況：x(min)0102030405060y(℃)3938.738.53837.637.336.9問題1：察看上表，每10分鐘病人體溫變化同樣嗎？提示：不同樣．問題2：哪段時間體溫變化較快？提示：從20min到30min變化快．問題3：怎樣刻畫體溫變化的快慢？提示：用單位時間內(nèi)的溫度變化的大小，即體溫的均勻變化率．均勻變化率(1)定義：對一般的函數(shù)y＝f(x)來說，當(dāng)自變量x從x1變成x2時，函數(shù)值從f(x1)變成fx2－fx1f(x2)，它的均勻變化率為21.x－x此中自變量的變化x2－x1稱作自變量的改變量，記作x，函數(shù)值的變化f(x2)－f(x1)稱作函數(shù)值的改變量，記作y.這樣，函數(shù)的均勻變化率就能夠表示為函數(shù)值的改變量與fx2－fx1自變量的改變量之比，即y＝2－1.xxx(2)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢.剎時變化率一質(zhì)點的運動方程為s＝10t2，此中s表示位移，t表示時間．問題1：求該質(zhì)點從t1＝1到t2＝2的均勻速度v1.提示：v1＝10×4－10×12－1＝30.問題2：問題1中所求得的速度是t＝1或t＝2時的速度嗎？提示：不是，是均勻速度．問題3：求該質(zhì)點從t1＝1到t1＝1.1的均勻速度v2.提示：v2＝10×1.12－10×1＝21.1.1－1問題4：v1，v2中哪一個值較靠近t＝1時的剎時速度？提示：v2，因為從t1＝1到t2＝1.1的時間差短．剎時變化率(1)定義：關(guān)于一般的函數(shù)y＝f(x)，在自變量x從x0變到x1的過程中，若設(shè)x＝x1－x0，y＝f(x1)－f(x0)，則函數(shù)的均勻變化率是yfx1－fx0＝10＝xx－xfx0＋x－fx0.而當(dāng)x趨于0時，均勻變化率就趨于函數(shù)在x0點的剎時變化率．x作用：刻畫函數(shù)在一點處變化的快慢．函數(shù)的均勻變化率可正可負，反應(yīng)函數(shù)y＝f(x)在[x1，x2]上變化的快慢，變化快慢是由均勻變化率的絕對值決定的，且絕對值越大，函數(shù)值變化得越快．均勻速度和剎時速度都是反應(yīng)運動物體的位移隨時間變化而變化的狀況．均勻速度是運動物體在一個時間段里位移的改變量與這段時間的比值，而剎時速度是運動物體在某一時刻的速度，當(dāng)一個時間段趨于0時的均勻速度就是剎時速度．求函數(shù)均勻變化率[例1]已知函數(shù)f(x)＝2x2＋1.求函數(shù)f(x)在[2,2.01]上的均勻變化率；(2)求函數(shù)

f(x)在[x0，x0＋

x]上的均勻變化率．[思路點撥

]

先求

x，

y，再利用均勻變化率的定義求解．[精解詳析

]

(1)由

f(x)＝2x2＋1，得y＝f(2.01)－f(2)＝0.0802，x＝2.01－2＝0.01，y0.0802x＝0.01＝8.02.(2)∵Δy＝f(x＋x)－f(x)00＝2(x0＋x)2＋1－220－1x＝2x(2x0＋x)，∴y＝2xx0＋x＝4x0＋2x.xx[一點通]求均勻變化率的步驟先計算函數(shù)值的改變量y＝f(x1)－f(x0)．(2)再計算自變量的改變量x＝x－x.10(3)yfx1－fx0.求均勻變化率x＝x1－x0[注意]x，y的值可正，可負，但x≠0，y可為零，若函數(shù)f(x)為常值函數(shù)，則y＝0.1．在曲線y＝x2＋1的圖像上取一點(1,2)及鄰近一點(1＋x,2＋y)，則y為( )x11x－2A．x＋x＋2B．x－C．x＋21D．2＋x－x分析：選C∵x1＝1，x2＝1＋x，即x＝x2－x1，222－(12＋1)＝2x＋(x)2，∴y＝(x2＋1)－(x1＋1)＝(1＋x)＋1y＝22∴x＋x＝2＋x.xx12．已知函數(shù)f(x)＝x＋x，分別計算f(x)在區(qū)間[1,2]和[3,5]上的均勻變化率，并比較在兩個區(qū)間上變化的快慢．解：自變量x從1變化到2時，函數(shù)f(x)的均勻變化率為y＝f－f1＝.x2－12自變量x從3變化到5時，函數(shù)f(x)的均勻變化率為y＝f－f1415－3＝.因為x15214<15，1所以函數(shù)f(x)＝x＋x在[1,2]的均勻變化比在[3,5]的均勻變化慢．運動物體的均勻速度與剎時速度[例2]已知s(t)＝5t2.求t從3秒到3.1秒的均勻速度；求t從3秒到3.01秒的均勻速度；求t＝3秒時的剎時速度．[精解詳析](1)當(dāng)3≤t≤3.1時，t＝0.1，s＝s(3.1)－s(3)＝5×(3.1)22－5×3＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)，∴5×0.1×6.1＝30.5(m/s)．s＝0.1t(2)當(dāng)3≤t≤3.01時，t＝0.01，s＝s(3.01)－s(3)，5×(3.01)2－5×325×(3.01－3)×(3.01＋3)，s5×0.01×6.01＝30.05(m/s)∴t＝0.01．(3)在t＝3鄰近取一個小時間段t，即3≤t≤3＋t(t>0)，∴s＝s(3＋t)－s(3)＝5×(3＋22t)－5×3＝5·t·(6＋t)，∴s＝5t＋t＝30＋5t.tt當(dāng)t趨于0時，s趨于30.t∴在t＝3時的剎時速度為30m/s.[一點通]在某一時間段內(nèi)的均勻速度與時間段t相關(guān)，隨t變化而變化；但求某一時刻的剎時速度時，t是趨于0，而不是t＝0，此處t是時間間隔，可隨意小，但絕不可以以為是0.3．一物體的運動方程是s＝3＋t2，則在一小段時間[2,2.1]內(nèi)相應(yīng)的均勻速度為()A．0.41B．3C．4D．4.1分析：選Ds3＋2.12－＋22＝4.1.t＝2.1－24．一輛汽車按規(guī)律s＝at2＋1做直線運動，若汽車在t＝2時的剎時速度為12，求a.解：∵s＝at2＋1，∴s(2＋t)＝a(2＋t)2＋1＝4a＋4a·t＋a·(Δt)2＋1.于是s＝s(2＋t)－s(2)＝4a＋4a·t＋a·(Δt)2＋1－(4a＋1)＝4a·t＋·(Δ)2.ats＝4a·t＋at2∴＝4＋·t.ttaa當(dāng)t趨于0時，s趨于4a.t依照題意有4a＝12，∴a＝3.剎時變化率的絕對值胸懷函數(shù)在某點處變化的快慢．(2)當(dāng)剎時變化率大于0時，說明函數(shù)值在增添；當(dāng)剎時變化率小于0時，說明函數(shù)值在減??；其絕對值大小才能說明變化的快慢．均勻變化率是曲線峻峭程度的“數(shù)目化”，曲線峻峭程度是均勻變化率的“視覺化”．1．設(shè)函數(shù)y＝f(x)＝x2－1，當(dāng)自變量x由1變成1.1時，函數(shù)的均勻變化率為( )A．2.1B．1.1C．2D．0yf－f0.21分析：選Ax＝1.1－1＝0.1＝2.1.2．向來線運動的物體，從時間t到t＋t時，物體的位移為s，那么t趨于0時，s為( )tA．從時間t到t＋t時物體的均勻速度B．在t時刻物體的剎時速度C．當(dāng)時間為t時物體的速度D．在時間t＋t時物體的剎時速度分析：選Bs中t趨于0時獲得的數(shù)值是物體在t時刻的剎時速度．t3．一輛汽車在起步的前10秒內(nèi)，按s＝32＋1做直線運動，則在2≤≤3這段時間內(nèi)tt的均勻速度是()A．4B．13C．15D．28分析：選Cs＝(3×32＋1)－(3×22＋1)＝15.s15∴t＝3－2＝15.4．一塊木頭沿某一斜面自由下滑，測得下滑的水平距離s與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式為s＝81t2，則t＝2時，此木頭在水平方向的剎時速度為()A．2B．111C.2D.4分析：選C因為s1＋t21211t2，所以s11＝(2)－×2＝()t＝＋t882t＋828t，當(dāng)無窮趨近于11t無窮趨近于1＝2時，木塊在水平方向的剎時速度為1，0時，＋8，所以t222應(yīng)選C.5．函數(shù)y＝x2－2x＋1在x＝－2鄰近的均勻變化率為________．分析：當(dāng)自變量從－2變化到－2＋x時，函數(shù)的均勻變化率為y＝x－2＋x2－－2＋x＋1－＋4＋x答案：x－6

＝x－6.16．質(zhì)點的運動方程是s(t)＝t2，則質(zhì)點在t＝2時的速度為________．11ss＋t－s＋t2－44t2分析：因為t＝＝＝－＋，tt＋t當(dāng)t→0時，s1t＝2時的速度為－1.→－，所以質(zhì)點在4t4答案：－147．已知函數(shù)f()＝22＋3－5.xxx(1)求當(dāng)x1＝4，且x＝1時，函數(shù)增量y和均勻變化率y；x(2)求當(dāng)x1＝4，且x＝0.1時，函數(shù)增量yy和均勻變化率.x解：f(x)＝2x2＋3x－5，∴y＝f(x＋x)－f(x)11＝2(x2＋3(x＋2＋3×x－5)1111＝2[(x)2＋2x1x]＋3x＝2(x)2＋(4x1＋3)x.(1)當(dāng)x1＝4，x＝1時，y＝2＋(4×4＋3)×1＝21，y21x＝1＝21.當(dāng)x1＝4，x＝0.1時，y＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，y＝1.92＝19.2.x0.18．若一物體運動方程以下(位移s的單位：m，時間t的單位：s)：s3t2＋2，t≥3，＝2求：29＋t－，0≤t＜3.物體在t∈[3,5]內(nèi)的均勻速度；物體的初速度v0；物體在t＝1時的剎時速度．解：(1)∵物體在t∈[3,5]內(nèi)的時間變化量為＝5－3＝2，物體在t∈[3,5]內(nèi)的位移變化量為22＝3×(522s＝3×5＋2－(3×3＋2)－3)＝48，∴物體在t∈[3,5]內(nèi)的均勻速度為s＝48＝24(m/s)．t2求物體的初速度v0，即求物體在t＝