專題訓練 圓周角的三種綜合運用

專題訓練一)圓周角的三種綜合運用類型一勾股定理與圓周角的綜合運用．資縣一模如圖1－－1，是O的條弦，⊥AB，垂足為，⊙O于D，在O上(1)若∠AOD，求DEB的數(shù)；(2)若＝3，OA5求AB的．圖1－．如圖－ZT－，AB是圓O的直徑，是半圓上兩點，且OD∥，與BC相于點E.(1)求證：EBC的點；(2)若BC＝，DE，求AB的長．圖1－．如圖－ZT3是⊙O的直徑，是的條弦，且⊥于點(1)求證：∠BCO＝∠；(2)若CD，＝，⊙O的徑．圖1－

．如圖1－，以△ABC的一邊為直徑的半圓與其他兩邊AC，BC的交點分︵︵別為DE，且DE＝BE.(1)試判斷△ABC的狀并說明理由；(2)已知半圓的半徑為5＝，求∠的．圖1－類型二全等三角形與圓周角的綜合運用．如圖1－5在O中AC與BD是的直徑⊥ACCF⊥BD垂足分別為EF.(1)四邊形ABCD是么特殊的四邊形？請判斷并說明理由；(2)求證：BE＝圖1－︵．如圖1－6，等邊三角形ABC內接于⊙O是C的一點端點除)，延長BP點，BDAP，連接CD.(1)若AP過心，如圖①，請你判斷是什么三角形，并說明理由；(2)若AP不圓心O，圖eq\o\ac(△,，)又什么三角形？并說明理由．圖1－

類型三相似三角形與圓周角的綜合運用．如圖－－7，AB⊙O的徑，AC是⊙O的，直徑DEAC點若︵點D在優(yōu)ABC上，AB＝8，BC＝3則＝________．圖1－．如圖－ZT，已知，以AB為直徑的⊙O分交AC于，交BC于點E，連接ED若＝(1)求證：ABAC(2)若＝，＝23求CD的．圖1－．如圖－ZT9已知圓內接四邊形ABCD的角線ACBD交于點N點對角線BD上且滿足BAM＝DAN，BCM∠求證：為BD的點；ANAM＝圖1－

222222222222222222222詳解詳析．解：(1)∵AB是的條弦，⊥AB，︵︵∴AD＝BD∴∠DEB＝∠AOD×52°＝2(2)根據(jù)勾股定理得AC＝OA－＝5－＝∵AB是⊙O一條弦，⊥AB，∴AB2AC＝2＝．解：(1)證明：∵是半圓的徑，∴∠C90°.∵ODAC，∴∠OEBC＝90°，即OD⊥BC，∴＝，即E為的點．(2)設半圓的徑為x，＝ODx，OE＝x－3，BE＝BC在eq\o\ac(△,Rt)中＝＋，∴x＝＋－，得x＝

，∴AB2x＝．解：(1)證明：∵OB＝，∴∠BCO＝∠︵∵所對的周角是B，∠，∴∠∠，∴∠BCO∠(2)∵AB是⊙O的直徑，且CD⊥于，∴＝＝×22.設⊙O半徑為r，則OCr，OE＝OA－AEr－在eq\o\ac(△,Rt)OCE中，＝＋OE，即r＝＋(r2)，解得＝3，故O的徑為3.．解：(1)△為腰三角形．理由如下：連接AE，如圖．︵︵∵＝，∴∠DAE∠，即AE平∠BAC.∵AB為圓O直徑，∴AEB＝，∴AE⊥，∴AC＝，

222222即△為腰角形．(2)∵△ABC為腰三角形，⊥，∴＝＝＝×＝6.在eq\o\ac(△,Rt)ABE中，∵AB，＝，∴AE－＝8.∵AB為圓O直徑，1∴∠＝，∴×＝BD×，2AE848∴＝＝＝.AC5在eq\o\ac(△,Rt)ABD中AB10，BD，則AD－BD＝

，AD∴sin∠ABD＝＝＝.1025．解：(1)四邊形ABCD是形．理由如下：∵BD是的徑，∴∠ABC∠＝90°，∠BAD∠＝90°，∴四邊形ABCD是矩形．(2)證明：∵BE⊥AC點，CFBD于，∴∠BEO＝90°.在△BOE△COF，

BEO∠，＝COF，

＝OC∴△BOE，∴＝．解：(1)△PCD為邊三角形．理由如下：∵△為邊角形，∴＝在⊙O，有PAC＝PBC.又∵＝BD∴△APC△BDC∴＝DC.又∵四邊形ABPC是的接四邊形，

22∴∠＝BAC，∴△是邊三角形．(2)△PCD仍等邊三角形．理由如下：同(1)可證明APC≌△，得PCDC；同(1)可證明＝∠BAC＝60°∴△PCD是等邊三角形．．[答]5.5[解析]∵DE是⊙O的徑AB8∴OA＝OD4，∠C又∵⊥AC∴OP∥，AO∴△AOPABC，＝，BCAB即

＝，解OP，則DP＝OD＋OP＝5.5.．解：(1)證明：∵＝EC∴∠＝C.又∵四邊形ABED是的接四邊形，∴∠＝∠B∴∠＝∠C，∴AB(2)如圖，連接∵AB為⊙O直徑，∴AE由(1)知ABAC，∴BE＝CEBC易知△∽△，∴

CECD3＝，＝，得CDCBCA4．證明：(1)根據(jù)同弧所對的圓周角等，得＝∠DBC∠DCN＝∠DBA.又∵∠＝∠，DCN∴∠BAM＝∠MBC，∠＝∠BCM∴△BAM∽△CBM，∴

BMAM＝，即BMCM

2

＝AM·CM.∵∠DCMDCN∠＝∠BCM＋∠＝∠ACB，∠＝∠＋＝MAC＋∠BAC＝∠CDM，∴△DAM△CDM則

AM＝，即DMAM·CM.②CMDM由①、②得BM＝，