專題復(fù)習(xí)“隱形圓”問題

22221112222111“隱形圓”問題江蘇省通州高級中學(xué)一、問題概述江蘇省高考試說明圓的方程是級識點，每年都考，但些時候，條件中有直接給出方面的息隱在題目的過分析和轉(zhuǎn)或的方程從而最終可利用圓知識來求解我們稱這類問題為隱形圓問題．二、求解策略如何發(fā)現(xiàn)隱圓（或的方程）是鍵，常見的有以下略．策略一利圓的定（到定點的離等于定長的點的跡）確隱形圓例（）如果x2a

(－a－2＝上總存在兩點到原的距離為，則實數(shù)a的值范圍是．

略解原的距離的的軌跡是以原點為心的單位圓化到單位圓與知圓相交求解（（2016年南京二模）已知圓＋＝，圓M(x)y－4)＝．圓上存在點，過點作的條線，切點為AB使得APB＝，則a的值范圍為．解：題意OP

，所以在O為圓心2為徑的圓上，即此圓與M公共點，因此有≤a≤9

≤a．3、B是C:

y

=3，P是圓C:y4)

PB

略解：取AB的點，則CM=

1，所以在圓心半徑為

的圓上，且PM，化為兩圓上動點的離的最值．4）若對任直線lxsin

＋與圓C：x－)2(－m)＝無共點，實數(shù)的取值范圍是

．()22略解：直線l的程為(-y34，(1,到l距為，所以l是以M為心徑為4定圓切線系，轉(zhuǎn)化為圓M與圓C內(nèi)．1

00，200，23注：直線l(-x)cos-y為M()

xy)

的切線系．例（年通市模）在面直角坐標(biāo)xOy中已知，為圓xy上點，點

，且⊥AC，則線段BC的長取值范圍．解：法一（解BC的點為因為OM，

y所以4x

，

B

MC化簡得

13A所以點的跡以，為心，為半徑的

O

x圓以的取值范圍是

2，所

例以BC的值圍是62，法二：以、AC鄰邊作矩，則＝AN，由形幾何性形在平面上的任一點到對角線上的個頂點的距離的平和相等OBOCOA，所以＝，故N在O為心，半徑為的上，所以的值圍是2變式1（年州三期末卷）平面直坐標(biāo)系xOy中已圓O:x點P(,2)M為O上兩個不同點，且M，PPM，則PQ的最小值為．35已知圓C：，圓C：，點變式2B分在C和圓C上APB90，P,0)

A

y則線段的值范圍．[233

BO

x變式3已向量、b、c足)，范圍為．[23232

221212221212策略二動P對定點、張角是（

或PA）定隱形圓例（）北京卷已知圓C(xy和點A(0)

，(m0)

，若圓上存在，得APB，的值圍是．略解：由已以AB為直徑的圓與C有共．（）（海安2016屆三上期末）在平面直坐標(biāo)系中已知點P，0)，Q(2直線l：其實ac成差數(shù)列若點在線l上的射影為，則線的值圍是．[2,2]解由題意圓心(1在直線＋＋＝0上可得－2b＋＝0即＝2b．直線l：－b＋(2b)y＋(2c－a＝，即a(2x＋y3)＋－)，y由，得x＝4＝－，直線過定點M(4，－，由題意H在以PM為徑的圓，圓心為，2)，方(－

＋－2)，∵＝2，∴?。?＝，最大為4＋5＝2，∴線段CH長的取值圍[2，92]（）（通州區(qū)2017屆三下開學(xué)初檢測）R，直線l：x與線l：交點P)，則y

的值范圍是．[1210,12]略解l過定點(00)l過點(24)，則P在以為徑的圓除一點變式（2017年京二模）在平面直角坐標(biāo)系Oy，直線l：－y＋＝0與直線l：＋ky－＝0交點，則當(dāng)實數(shù)變時，點到直線x－y－＝0的離的最大值．策略三定A、B動滿PA隱形圓例（年通卷已點A3)點B點在線3xy上，若滿足等式的點P有個，則實數(shù)取范圍是解：設(shè)（，），則APx2,y，BP3)，

．根據(jù)AP

，有

x4

y

13

.由題意3

222c222c2圓：

13

132

圓與直線

xy

相交，圓心到直線距離

3

所

.（）年城三模已知線段AB的為2動點C滿常）且點C總在以點為心，為徑圓內(nèi)數(shù)最值是略解：動點滿方程

.

策略四

兩定點、，點滿足

是定值確定形圓例（）平面直角標(biāo)系中，已知圓：(x＋(ya2)＝，點(0，圓C上在M滿足MA＋＝，則實取值范是略解：滿的方程y，化為兩圓有公點

．，（）年京、鹽一模）在中，，BC所對的邊分別為ac

，若c，面積的最大為

．

5解：以的點為原點所直線為x軸建.設(shè)(,0)，,0)

，(,

，則由a

c

，c得))c，c，cc5所以點C在此圓上≤r(4c≤24策略五兩點B動點P滿足

PAPB

,

確定隱形圓阿波羅斯圓）例61）略解：點滿足圓的方為x

y

轉(zhuǎn)化直線與圓相.（）屆州一模在平面直角標(biāo)系xOy中已圓：x＋＝1，O(－4)＋y＝，動點P在線xy，過點作圓OO的條線，14

PA(PA(整理得，，A3切點分別為，，滿足PA的P有且僅有兩個則b的值范圍．－3

例（年南二模一緝私艇巡航距領(lǐng)海界線（一條南北方向的直海里的A處發(fā)在其北偏向相距4海里的B處一走私船正欲跑，緝私艇立即追擊已緝艇的最航速是走私最大航的3倍假設(shè)緝私艇和私船均按直方向以最大航航行．（）若走私船沿東方向離，試確緝私艇追擊方向，得用最時間在領(lǐng)內(nèi)攔截成功；參考數(shù)據(jù)：sin17

，）（）問：無論走船沿何向逃跑，私艇是總能在領(lǐng)海成功攔？并說明由．北

l領(lǐng)海公海B30°A解：1略

(7（）如圖乙，以為點，正方向所在的線為y軸立面直角坐標(biāo)xOy．則3，緝私艇(y處緝艇恰好截住私船的置）與走船相遇，則，即PB

xy

．

y

l領(lǐng)海海4所以點(的跡是以點4

B為半徑的圓．圖乙因為圓心，3到海邊界線l：的離1.55，大于圓半徑，42所以緝私艇在領(lǐng)海截住走私船．策略六由周角的性質(zhì)確隱形圓

x例（）已知,b,分別為的個內(nèi)角

,B,

的對邊，a

，(ab)(sinA-)=(cbC則ABC面積的最大值為5

．

o22o22略解∠＝

，A60°，設(shè)ABC的外接圓的圓為O外圓的半為，則O到BC的離為為3．

3則上的高的最大值為+則面積的最大值3（年州一模eq\o\ac(△,)中＝45

eq\o\ac(△,)的心OC(，∈，則＋n的值范圍是．[略解：∠AOB＝∠C90，點C在O圓，半徑OA的上（在弧AB上）．三、同步練習(xí)．知直線l:x上在點滿與兩點A,(2,連的斜率之積為，則實數(shù)m的取值范圍．[5]．年州一)知實數(shù)b，c滿

，c0，則的值圍33,]為．[33．已(cos

(sin

的取值范圍[22．已知圓C:(x)

)

和兩點(0B(m0(m)．圓C上在點，得PA，m的取值范圍是．[15,2016年無錫一模）已知圓C:x2)，段EF在線l:y運，點P為線段任意一，若圓C上在兩點A、，使得PA≤，線段EF長度的最大值是．

．圖，已知點A(1,0)點(1,0)，是x＋y＝1上的動點(點A重)，連接延至，使CD6

99＝，線段PD的值范．(2)．平面直角坐系xOy中，已點A(t0)

，(

，點C滿，且點C到線lx最小離為，則實數(shù)的值是5

．（年蘇卷第題編）在平面直角坐系Oy中已知點(0)(03)如圓C:(x)

y)

上總存在點M使MA則圓心C的坐標(biāo)a

的取值范圍是

．[0,

]．已知向量bc足，=，c)(2，則b的最大值是．12．設(shè)點AB是xy4上兩，點C,0)如果ACB，線段AB長度的取值范圍為．[7．在中BC，AC，為作腰直角三角為角頂CD兩在直線AB的)．當(dāng)C變化時，線段CD長最大值為

．．（年通三模